時間1階微分と非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題

time-fractional diffusion,Caputo derivative,PDE

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Initial-boundary value problems for the time-fractional diffusion equations with the classical time derivatives.

今回の記事では, 次の初期値境界値問題
$\begin{matrix} (TFDE) & {\begin{cases} \partial_{t} u + \partial_{t}^{α} (u - u_{0}) = L u + f & i n Q_{T}, \\ u = 0 & o n Σ_{T}, \\ u = u_{0} & o n Ω \times {t = 0} \end{cases} \end{matrix}$
を考える. ここで, $\partial_{t}^{α}$ は $α$ 階Riemann-Liouville微分と呼ばれ,十分滑らかな $u$ と $α \in (0, 1)$ に対して
$\partial_{t}^{α} u (t) = \frac{d}{d t} I^{1 - α} u (t) = \frac{d}{d t} \int_{0}^{t} g_{α} (t - τ) u (τ) d τ, g_{α} (t) = \frac{t^{- α}}{Γ (1 - α)}$
と定義される. また, $I^{α}$ は $α$ 階Riemann-Liouville積分と呼ばれ,
$I^{α} u (t) = \int_{0}^{t} g_{1 - α} (t - τ) u (τ) d τ$
で定義される. $0 < α < 1$ のとき, Riemann-Liouville微分は十分滑らかな $u$ に対して,
$\partial_{t}^{α} (u - u_{0}) (t) = I^{1 - α} u^{'} (t) = \int_{0}^{t} g_{α} (t - τ) u^{'} (τ) d τ =:_{0}^{c} D_{t}^{α} u (t)$
と書き換えられ, $_{0}^{c} D_{t}^{α}$ は $α$ 階Caputo微分と呼ばれる. さらに, $L$ は一様楕円型作用素すなわち,
$L u (x, t) = \sum_{i, j = 1}^{N} \partial_{i} (a_{i, j} (x, t) \partial_{j} u (x, t)) + \sum_{j = 1}^{N} b_{j} (x, t) \partial_{j} u (x, t) + c (x, t) u (x, t), \partial_{i} := \frac{\partial}{\partial x_{i}}$
であり, 任意の $(x, t) \in {\overset{―}{Q}}_{T}$ に対して
$\begin{matrix} (1) & λ | ξ |^{2} ⩽ \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} (x, t) ξ_{i} ξ_{j} ⩽ μ | ξ |^{2} f o r ξ \in R^{N} \end{matrix}$
となる $λ, μ > 0$ が存在し, $a_{i, j} = a_{j, i}$ をみたす.

次に, 問題 $(TFDE)$ のweak solutionの定義を次のように与える.

weak solution

$u$ が次の(i), (ii), (iii)をみたすとき, 問題 $(TFDE)$ のweak solutionという.
(i) $u \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ ,
(ii) $u + I^{1 - α} [u - u_{0}] \in H^{1} (0, T; H^{- 1} (Ω))$ ,
(iii)任意の $φ \in H_{0}^{1} (Ω)$ に対して,
$\begin{matrix} \frac{d}{d t} \int_{Ω} (u (x, t) + I^{1 - α} [u (x, \cdot) - u_{0} (x)] (t)) φ (x) d x + \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j} (x, t) \partial_{j} u (x, t) \partial_{i} φ (x) d x \\ (2) & = \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j} (x, t) \partial_{j} u (x, t) φ (x) d x + \int_{Ω} c (x, t) u (x, t) φ (x) d x + \int_{Ω} f (x, t) φ (x) d x, a . e . t \in (0, T) \end{matrix}$
をみたす.

問題 $(TFDE)$ に対して, 次の定理が成立する.

Existence of weak solutions and energy estimate

$u_{0} \in L^{2} (Ω)$ , $f \in L^{2} (0, T; H^{- 1} (Ω))$ , $b, c \in L^{\infty} (Q_{T})$ とし, $(1)$ が成立すると仮定する.
このとき, 問題 $(TFDE)$ のweak solution
$u \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)) \cap L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω)) \cap H^{\frac{α}{2}} (0, T; L^{2} (Ω))$
が一意に存在し,
$\begin{matrix} ∥ u + I^{1 - α} [u - u_{0}] ∥_{H^{1} (0, T; H^{- 1} (Ω))} + ∥ u ∥_{L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))} + ∥ u ∥_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} + ∥ u ∥_{H^{\frac{α}{2}} (0, T; L^{2} (Ω))} \\ (3) & ⩽ C (∥ u_{0} ∥_{L^{2} (Ω)} + ∥ f ∥_{L^{2} (0, T; H^{- 1} (Ω))}) \end{matrix}$
が成立する.
ただし, $C$ は $α, λ, μ, T, N, ∥ b ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}, ∥ c ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ に依存する定数であり,
$∥ v ∥_{H^{β} (0, T)} = {(∥ v ∥_{L^{2} (0, T)}^{2} + \int_{0}^{T} \int_{0}^{T} \frac{| v (t) - v (s) |^{2}}{| t - s |^{1 + 2 β}} d s d t)}^{\frac{1}{2}}$
である.

Existence of regular solutions and second energy estimate

$u_{0} \in H_{0}^{1} (Ω)$ , $f \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$ , $b, c \in L^{\infty} (Q_{T})$ , $(1)$ が成立し,
$max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j} ∥_{L^{\infty} (Q_{T})} < \infty$
をみたすと仮定する.
このとき,
$u + I^{1 - α} [u - u_{0}] \in H^{1} (0, T; L^{2} (Ω)) \cap W^{1, \infty} (0, T; H^{- 1} (Ω))$
となる問題 $(TFDE)$ のweak solution
$u \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)) \cap L^{2} (0, T; H^{2} (Ω)) \cap H^{\frac{α}{2}} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
が一意に存在し,
$\begin{matrix} ∥ u + I^{1 - α} [u - u_{0}] ∥_{H^{1} (0, T; L^{2} (Ω))} + ∥ u + I^{1 - α} [u - u_{0}] ∥_{W^{1, \infty} (0, T; H^{- 1} (Ω)} \\ + ∥ u ∥_{L^{2} (0, T; H^{2} (Ω))} + ∥ u ∥_{L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))} + ∥ u ∥_{H^{\frac{α}{2}} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))} \\ (4) & ⩽ C (∥ u_{0} ∥_{H_{0}^{1} (Ω)} + ∥ f ∥_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))}) \end{matrix}$
が成立する.
ただし, $C$ は $α, λ, μ, T, N, ∥ b ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}, ∥ c ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ , $\partial Ω$ の正則性に依存する定数である.

Notations

まず最初に, $^{'} = \frac{d}{d t}$ と表す. 関数空間 $X$ を
$\begin{matrix} (6) & X = {h \in C^{2} ((0, T]) \cap C^{1} ([0, T]); t^{α} h^{″} \in C ([0, T])} \end{matrix}$
とし, ノルムを
$∥ h ∥_{X} = ∥ h ∥_{C ([0, T])} + ∥ h^{'} ∥_{C ([0, T])} + ∥ t^{α} h^{″} ∥_{C ([0, T])}$
と定める. このとき, $X$ はBanach空間となる. ここで, $η_{ε} = η_{ε} (t)$ をmollifier, すなわち
$η_{ε} \in C_{0}^{\infty} (- ε, ε), η_{ε} ⩾ 0, \int_{R} η_{ε} (t) d t = 1$
をみたすものとする. さらに,
$\begin{matrix} (7) & a_{i, j, n} = (η_{1 / n} * a_{i, j} (x, \cdot)) (t) \end{matrix}$
と定め,
$\begin{matrix} (8) & a_{i, j, n} \to a_{i, j} s t r o n g l y i n L^{2} (Q_{T}) a s n \to \infty \end{matrix}$
をみたすとする. さらに, 式 $(1)$ より, 任意の $(x, t) \in {\overset{―}{Q}}_{T}$ に対して
$\begin{matrix} (9) & λ | ξ |^{2} ⩽ \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j, n} (x, t) ξ_{i} ξ_{j} ⩽ μ | ξ |^{2} f o r ξ \in R^{N} \end{matrix}$
が成立する. 実際,
$\begin{array}{r} \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j, n} (x, t) ξ_{i} ξ_{j} = \int_{R} η_{1 / n} (t - s) (\sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} (x, s) ξ_{i} ξ_{j}) d s \end{array}$
であるので, 式 $(1)$ より
$λ | ξ |^{2} = \int_{R} η_{1 / n} (t - s) λ | ξ |^{2} d s ⩽ \int_{R} η_{1 / n} (t - s) (\sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} (x, s) ξ_{i} ξ_{j}) d s ⩽ \int_{R} η_{1 / n} (t - s) μ | ξ |^{2} d s = μ | ξ |^{2}$
となるので, 式 $(9)$ が得られる. 同様にして,
$b_{j, n} (x, t) = (η_{1 / n} * b_{j} (x, \cdot)) (t), c_{n} (x, t) = (η_{1 / n} * c (x, \cdot)) (t), f_{n} (x, t) = (η_{1 / n} * f (x, \cdot)) (t)$
と定義する.

Approximate solutions

本章では, 通常の放物型方程式に対するGalerkin methodと同様に, 式 $(TFDE)$ の近似解を構成することを目標とする.
${ϕ_{n} (x)}_{n \in N}$ を
${\begin{cases} - Δ ϕ_{n} = λ_{n} ϕ_{n} & i n Ω, \\ ϕ_{n} = 0 & o n \partial Ω \end{cases}$
をみたす $L^{2} (Ω)$ の正規直交基底, $H_{0}^{1} (Ω)$ の直交基底とし, 次のような問題 $(TFDE)$ の近似解
$\begin{matrix} (10) & u_{n} (x, t) = \sum_{k = 1}^{n} d_{n, k} (t) ϕ_{k} (x) \end{matrix}$
を求める. すなわち, 係数 $d_{n, k} (t)$ を決定する. そのため, 次の初期値境界値問題
$\begin{matrix} (11) & {\begin{cases} \partial_{t} u_{n} + \partial_{t}^{α} (u_{n} - u_{n, 0}) = L^{n} u_{n} + f_{n} & i n Q_{T}, \\ u_{n} = 0 & o n Σ_{T}, \\ u_{n} = u_{n, 0} & o n Ω \times {t = 0} \end{cases} \end{matrix}$
について考える. ただし,
$u_{n, 0} (x) = ϕ_{k} (x) (\sum_{k = 1}^{n} \int_{Ω} u_{0} (y) ϕ_{k} (y) d y),$
$L^{n} u (x, t) = \sum_{i, j = 1}^{N} \partial_{i} (a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u (x, t)) + \sum_{j = 1}^{N} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u (x, t) + c_{n} (x, t) u (x, t)$
である. 係数 $d_{n, k}$ は式 $(11)$ を ${ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n}}$ による有限次元空間への射影を考えることによって決定する.
すなわち, 問題 $(11)$ の $1$ 行目の方程式の両辺に $ϕ_{m}$ をかけて $Ω$ 上で積分をすると, 左辺は
$\begin{aligned} \int_{Ω} ϕ_{m} (x) \partial_{t} u_{n} (x, t) d x & = \int_{Ω} ϕ_{m} (x) \partial_{t} (\sum_{k = 1}^{n} d_{n, k} (t) ϕ_{k} (x)) d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \partial_{t} d_{n, k} (t) \int_{Ω} ϕ_{m} (x) ϕ_{k} (x) d x = \partial_{t} d_{n, m} (t), \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{Ω} ϕ_{m} (x) \partial_{t}^{α} (u_{n} (x, \cdot) - u_{n, 0} (x)) (t) d x & = \int_{Ω} ϕ_{m} (x) \partial_{t}^{α} (\sum_{k = 1}^{n} (d_{n, k} (\cdot) - d_{n, k} (0)) ϕ_{k} (x)) (t) d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \partial_{t}^{α} (d_{n, k} (\cdot) - d_{n, k} (0)) (t) \int_{Ω} ϕ_{m} (x) ϕ_{k} (x) d x \\ = \partial_{t}^{α} (d_{n, m} (\cdot) - d_{n, m} (0)) (t) \end{aligned}$
となり, 右辺第1項は部分積分より,
$\begin{aligned} \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} ϕ_{m} (x) \partial_{i} (a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t)) d x & = - \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) (\sum_{k = 1}^{n} d_{n, k} (t) \partial_{j} ϕ_{k} (x)) \partial_{i} ϕ_{m} (x) d x \\ = - \sum_{i, j = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{n} d_{n, k} (t) \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} ϕ_{k} (x) \partial_{i} ϕ_{m} (x) d x \end{aligned}$
となるので,
$\begin{matrix} \partial_{t} d_{n, m} (t) + \partial_{t}^{α} (d_{n, m} (\cdot) - d_{n, m} (0)) (t) = - \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i, j = 1}^{N} d_{n, k} (t) \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} ϕ_{k} (x) \partial_{i} ϕ (x) d x \\ + \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{N} d_{n, k} (t) \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} ϕ_{k} (x) ϕ_{m} (x) d x + \sum_{k = 1}^{n} d_{n, k} (t) \int_{Ω} c_{n} (x, t) ϕ_{k} (x) ϕ_{m} (x) d x \\ (12) & + \int_{Ω} f_{n} (x, t) ϕ_{m} (x) d x \end{matrix}$
が得られる. ここで,
$d_{n} (t) = (d_{n, 1} (t), \dots, d_{n, n} (t)),$
$A_{m, k}^{n} (t) = \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} ϕ_{k} (x) \partial_{i} ϕ_{m} (x) d x, A^{n} (t) = {A_{m, k}^{n} (t)}_{k, m = 1}^{n},$
$B_{m, k}^{n} (t) = \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} ϕ_{k} (x) ϕ_{m} (x) d x, B^{n} (t) = {B_{m, k}^{n} (t)}_{k, m = 1}^{n},$
$C_{m, k}^{n} (t) = \int_{Ω} c_{n} (x, t) ϕ_{k} (x) ϕ_{m} (x) d x, C^{n} (t) = {C_{m, k}^{n} (t)}_{k, m = 1}^{n},$
$F^{n} (t) = (\int_{Ω} f_{n} (y, t) ϕ_{1} (y) d y, \dots, \int_{Ω} f_{n} (y, t) ϕ_{n} (y) d y),$
$d_{n, 0} = (\int_{Ω} u_{0} (y) ϕ_{1} (y) d y, \dots, \int_{Ω} u_{0} (y) ϕ_{n} (y) d y)$
と定義すると, $(12)$ は
$\begin{matrix} (13) & {\begin{cases} d_{n, m}^{'} (t) + \partial_{t}^{α} (d_{n} (\cdot) - d_{n, 0}) (t) = - A^{n} (t) d_{n} (t) + B^{n} (t) d_{n} (t) + C^{n} (t) d_{n} (t) + F^{n} (t), \\ d_{n} (0) = d_{n, 0} \end{cases} \end{matrix}$
と表される. $F^{n}$ は滑らかかつ, $A^{n}, B^{n}, C^{n} \in X$ より ${\tilde{A}}^{n} := A^{n} - B^{n} - C^{n}$ とすれば
${\tilde{A}}^{n} \in X$
を得る. $d_{n, m} \in A C [0, T]$ を仮定し, 両辺を $0$ から $t$ まで積分すると, 積分方程式
$\begin{matrix} (14) & d_{n} (t) = d_{n, 0} - \frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} (d_{n} (τ) - d_{n, 0}) d τ + \int_{0}^{t} {\tilde{A}}^{n} (τ) d_{n} (τ) d τ \end{matrix}$
に書き直せる. さらに, $z_{1}, z_{2} \in X$ に対して距離を
$ρ (z_{1}, z_{2}) = ∥ z_{1} - z_{2} ∥_{X}$
と定めると, これは $X$ 上で完備距離空間となる. 以上の議論より, 次の補題が得られる.

任意の $n \in N$ と $T > 0$ に対して, 式 $(14)$ をみたす $d_{n} \in X$ が一意に存在する.

Banachの不動点定理を用いて示す. 作用素 $Φ$ を
$\begin{matrix} (15) & Φ [d_{n}] (t) = d_{n, 0} - \frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} (d_{n} (τ) - d_{n, 0}) d τ + \int_{0}^{t} {\tilde{A}}^{n} (τ) d_{n} (τ) d τ \end{matrix}$
と定義する. 証明を2段階に分ける.
Step 1: $d_{n} \in X ⟹ Φ [d_{n}] \in X$ .
$(15)$ の両辺でノルムを取ると,
$\begin{aligned} ∥ Φ [d_{n}] ∥_{C ([0, T])} & ⩽ | d_{n, 0} | + \frac{1}{Γ (1 - α)} {‖ \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} (d_{n} (τ) - d_{n, 0}) d τ ‖}_{C ([0, T])} + {‖ \int_{0}^{t} {\tilde{A}}^{n} (τ) d_{n} (τ) d τ ‖}_{C ([0, T])} \\ ⩽ | d_{n, 0} | + \frac{T^{1 - α}}{Γ (2 - α)} (∥ d_{n} ∥_{C ([0, T])} + | d_{n, 0} |) + T ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{C ([0, T])} ∥ d_{n} ∥_{C ([0, T])} < \infty \end{aligned}$
である. $(15)$ の両辺を微分すると,
$\begin{matrix} (16) & Φ^{'} [d_{n}] (t) = - \frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} d_{n}^{'} (τ) d τ + {\tilde{A}}^{n} (t) d_{n} (t) \end{matrix}$
となるので, 同様にして
$∥ Φ^{'} [d_{n}] ∥_{C ([0, T])} ⩽ \frac{T^{1 - α}}{Γ (2 - α)} ∥ d_{n}^{'} ∥_{C ([0, T])} + ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{C ([0, T])} ∥ d_{n} ∥_{C ([0, T])} < \infty$
がしたがう. さらに, $(16)$ の両辺を微分すると,
$Φ^{″} [d_{n}] (t) = - \frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} d_{n}^{″} (τ) d τ + \frac{t^{- α}}{Γ (1 - α)} d_{n, 0}^{'} + {({\tilde{A}}^{n})}^{'} (t) d_{n} (t) + {\tilde{A}}^{n} (t) d_{n}^{'} (t)$
となるので, 両辺に $t^{α}$ をかけると
$\begin{matrix} (17) & t^{α} Φ^{″} [d_{n}] (t) = - \frac{t^{α}}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} d_{n}^{″} (τ) d τ + \frac{1}{Γ (1 - α)} d_{n}^{'} (0) + t^{α} {({\tilde{A}}^{n})}^{'} (t) d_{n} (t) + t^{α} {\tilde{A}}^{n} (t) d_{n}^{'} (t) \end{matrix}$
が得られる. よって,
$\begin{aligned} ∥ t^{α} Φ^{″} [d_{n}] ∥_{C ([0, T])} & ⩽ \frac{t^{α}}{Γ (1 - α)} ∥ t^{α} d_{n}^{″} ∥_{C ([0, T])} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} τ^{- α} d τ + \frac{1}{Γ (1 - α)} ∥ d_{n}^{'} ∥_{C ([0, T])} \\ + T^{α} {‖ {({\tilde{A}}^{n})}^{'} ‖}_{C ([0, T])} ∥ d_{n} ∥_{C ([0, T])} + T^{α} {‖ {\tilde{A}}^{n} ‖}_{C ([0, T])} ∥ d_{n}^{'} ∥_{C ([0, T])} \end{aligned}$
と評価できる. ここで, 第一種オイラー積分公式を用いると
$\frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} τ^{- α} d τ = \frac{Γ (1 - α)}{Γ (2 - 2 α)} t^{1 - 2 α}$
であるので,
$\frac{t^{α}}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} (t - τ)^{- α} τ^{- α} d τ = \frac{Γ (1 - α)}{Γ (2 - 2 α)} t^{1 - α}$
が得られる. 故に,
$\begin{aligned} ∥ t^{α} Φ^{″} [d_{n}] ∥_{C ([0, T])} & ⩽ \frac{Γ (1 - α)}{Γ (2 - 2 α)} T^{1 - α} ∥ t^{α} d_{n}^{″} ∥_{C ([0, T])} + \frac{∥ d_{n}^{'} ∥_{C ([0, T])}}{Γ (1 - α)} \\ + T^{α} {‖ {({\tilde{A}}^{n})}^{'} ‖}_{C ([0, T])} ∥ d_{n} ∥_{C ([0, T])} + T^{α} {‖ {\tilde{A}}^{n} ‖}_{C ([0, T])} ∥ d_{n}^{'} ∥_{C ([0, T])} \\ < \infty \end{aligned}$
である. 以上より, $∥ Φ [d_{n}] ∥_{X} < \infty$ が示された.
Step 2: $Φ [d_{n}]$ が縮小写像であること.
$d_{n}^{1}, d_{n}^{2} \in X$ とすると, 先程の評価より
$∥ Φ [d_{n}^{1}] - Φ [d_{n}^{2}] ∥_{C ([0, T])} ⩽ \frac{T^{1 - α}}{Γ (2 - α)} ∥ d_{n}^{1} - d_{n}^{2} ∥_{C ([0, T])} + T ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{C ([0, T])} ∥ d_{n}^{1} - d_{n}^{2} ∥_{C ([0, T])},$
$∥ Φ^{'} [d_{n}^{1}] - Φ^{'} [d_{n}^{2}] ∥_{C ([0, T])} ⩽ \frac{T^{1 - α}}{Γ (2 - α)} ∥ {(d_{n}^{1})}^{'} - {(d_{n}^{2})}^{'} ∥_{C ([0, T])} + ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{C ([0, T])} ∥ d_{n}^{1} - d_{n}^{2} ∥_{C ([0, T])},$
$\begin{matrix} ∥ t^{α} Φ^{″} [d_{n}^{1}] - t^{α} Φ^{″} [d_{n}^{2}] ∥_{C ([0, T])} ⩽ \frac{Γ (1 - α)}{Γ (2 - 2 α)} T^{1 - α} ∥ t^{α} {(d_{n}^{1})}^{″} - t^{α} {(d_{n}^{2})}^{″} ∥_{C ([0, T])} + \frac{1}{Γ (1 - α)} ∥ {(d_{n}^{1})}^{'} - {(d_{n}^{2})}^{'} ∥_{C ([0, T])} \\ + T^{α} {‖ {({\tilde{A}}^{n})}^{'} ‖}_{C ([0, T])} ∥ d_{n}^{1} - d_{n}^{2} ∥_{C ([0, T])} + T^{α} {‖ {\tilde{A}}^{n} ‖}_{C ([0, T])} ∥ {(d_{n}^{1})}^{'} - {(d_{n}^{2})}^{'} ∥_{C ([0, T])} \end{matrix}$
が得られる. よって, まとめると
$∥ Φ [d_{n}^{1}] - Φ [d_{n}^{2}] ∥_{X} ⩽ C (α, T) ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{X} ∥ d_{n}^{1} - d_{n}^{2} ∥_{X}$
であるので,
$C (α, T) ∥ {\tilde{A}}^{n} ∥_{X} < 1$
となるように $T > 0$ を選べば, $Φ$ は縮小写像になる. 以上より, Banachの不動点定理から, 積分方程式 $(14)$ をみたす $d_{n} \in X$ が一意に存在する. $◻$

補題3より, 次の系が得られる.

$n \in N$ , $T > 0$ とする. このとき, $(10)$ で与えられる $u_{n}$ は, $m \in {1, \dots, n}$ に対して
$\begin{matrix} \int_{Ω} u_{n}^{'} (x, t) ϕ_{m} (x) d x + \int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) ϕ_{m} (x) d x + \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} ϕ_{m} (x) d x \\ (18) & = \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) ϕ_{m} (x) d x + \int_{Ω} c_{n} (x, t) u_{n} (x, t) ϕ_{m} (x) d x + \int_{Ω} f_{n} (x, t) ϕ_{m} (x) d x \end{matrix}$
をみたす. さらに, $x \in Ω$ と $β \in N^{N}$ に対して, $\partial Ω$ が十分滑らかなとき $\partial_{x}^{β} u_{n} (x, \cdot) \in C^{2} ((0, T]) \cap C^{1} ([0, T])$ かつ $t^{α} \partial_{x}^{β} u_{n}^{″} (x, \cdot) \in C ({\overset{―}{Q}}_{T})$ である.

Existence of weak solutions and energy estimate

本章では, 定理1を証明する. そのため, まず次の補題を示す.

定理1と同様の仮定を与える. このとき, $t \in [0, T]$ と各 $n \in N$ に対して近似解 $u_{n}$ は
$\begin{matrix} max_{t \in [0, T]} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + I^{1 - α} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} \frac{∥ u_{n} (τ) - u_{n} (s) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| τ - s |^{α + 1}} d s d τ + λ \int_{0}^{t} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ \\ ⩽ C_{0} (∥ u_{0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ) \end{matrix}$
をみたす. ただし, $C_{0}$ は $α, λ, T, N, ∥ b ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}, ∥ c ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ に依存する定数である.

$(18)$ の両辺に $d_{n, m}$ をかけて $m = 1$ から $n$ まで和をとると,
$\begin{matrix} \int_{Ω} u_{n}^{'} (x, t) u_{n} (x, t) d x + \int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x + \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} u_{n} (x, t) d x \\ (19) & = \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x + \int_{Ω} c_{n} (x, t) | u_{n} (x, t) |^{2} d x + \int_{Ω} f_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x \end{matrix}$
となる. 左辺はそれぞれ
$\int_{Ω} u_{n}^{'} (x, t) u_{n} (x, t) d x = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2},$
$\int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x ⩾ \frac{1}{2}_{0}^{c} D_{t}^{α} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} + \frac{α}{2 Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{∥ u_{n} (t) - u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| t - τ |^{1 + α}} d τ,$
$\sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} u_{n} (x, t) d x ⩾ λ ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}$
が得られる. 右辺はぞれぞれ, Holderの不等式とCauchyの不等式を用いれば,
$\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x & ⩽ ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} \\ ⩽ \frac{1}{λ} ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}^{2} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{λ}{4} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}, \\ \int_{Ω} c_{n} (x, t) | u_{n} (x, t) |^{2} d x & ⩽ ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}, \\ \int_{Ω} f_{n} (x, t) u_{n} (x, t) d x & ⩽ ∥ f_{n} (t) ∥_{H^{- 1} (Ω)} {(∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2})}^{1 / 2} \\ ⩽ \frac{1}{λ} ∥ f_{n} (t) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} + \frac{λ}{4} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{λ}{4} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \end{aligned}$
と評価できるので, 以上をまとめると
$\begin{matrix} \frac{d}{d t} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} +_{0}^{c} D_{t}^{α} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{∥ u_{n} (t) - u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| t - τ |^{1 + α}} d τ + λ ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ (20) & ⩽ h_{n} (t) ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2}{λ} ∥ f_{n} (t) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} \end{matrix}$
が得られる. ただし, $h_{n} (t)$ は $∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}, ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}, λ$ に依存する関数である. したがって, $(20)$ の両辺を $0$ から $t$ まで積分すると,
$\begin{matrix} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + I^{1 - α} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} \frac{∥ u_{n} (τ) - u_{n} (s) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| τ - s |^{1 + α}} d s d τ + λ \int_{0}^{t} ∥ \nabla u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ \\ (21) & ⩽ ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{t^{1 - α}}{Γ (2 - α)} ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + q_{n} (t) \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2}{λ} \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ \end{matrix}$
を得る. ただし, $q_{n} (t)$ は $∥ b_{n} ∥_{L^{\infty} (Q_{t})}, ∥ c_{n} ∥_{L^{\infty} (Q_{t})}, λ$ に依存する $t$ に関する非減少関数である. ここで, $∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}$ に対して評価を行う. $(21)$ より
$∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} ⩽ (1 + \frac{t^{1 - α}}{Γ (2 - α)}) ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + q_{n} (t) \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2}{λ} \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ$
であるので,
$η (t) = \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)} d τ, ψ (t) = (1 + \frac{t^{1 - α}}{Γ (2 - α)}) ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2}{λ} \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ$
とおけば, $η^{'} (t) = ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}$ である. したがって,
$η^{'} (t) ⩽ q_{n} (t) η (t) + ψ (t)$
となるので, Gronwallの不等式より
$η (t) ⩽ e^{t q_{n} (t)} (η (0) + \int_{0}^{t} ψ (τ) d τ)$
が得られる.
ここで, $η (0) = ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}$ であり,
$\begin{aligned} \int_{0}^{t} ψ (τ) d τ & = \int_{0}^{t} ((1 + \frac{τ^{1 - α}}{Γ (2 - α)}) ∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2}{λ} \int_{0}^{τ} ∥ f_{n} (s) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d s) d τ \\ ⩽ (t + \frac{t^{2 - α}}{Γ (3 - α)}) ∥ u_{0, n} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{2 t}{λ} \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ \end{aligned}$
と評価できるので, まとめると
$\begin{matrix} (22) & ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} ⩽ C (α, T, λ) (∥ u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{H^{- 1} (Ω)}^{2} d τ) \end{matrix}$
が得られる. 故に, $(22)$ の評価を式 $(21)$ に適用すると, 補題の証明が完了する. $◻$

定理1の証明

補題4より
$I^{1 - α} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} = \int_{0}^{t} g_{α} (t - τ) ∥ u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ ⩾ g_{α} (T) \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ$
が得られる. 故に,
$∥ u_{n} ∥_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))}^{2} + ∥ u_{n} ∥_{L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))}^{2} + ∥ u_{n} ∥_{H^{\frac{α}{2}} (0, T; L^{2} (Ω))} < \infty$
がしたがう. 次に, $u_{n}^{'} +_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n}$ の評価を行う. $θ_{m}$ を定数, $w (x) = \sum_{m = 1}^{\infty} θ_{m} ϕ_{m} (x)$ とする. $w_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n} θ_{m} ϕ_{m} (x)$ と表し, $(18)$ の両辺に $θ_{m}$ をかけて $m = 1$ から $n$ まで和をとると,
$\begin{matrix} \int_{Ω} (u_{n}^{'} (x, t) +_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t)) w_{n} (x) d x + \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} w_{n} (x) d x \\ = \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) w_{n} (x) d x + \int_{Ω} c_{n} (x, t) u_{n} (x, t) w_{n} (x) d x + \int_{Ω} f_{n} (x, t) w_{n} (x) d x \end{matrix}$
となり, Holderの不等式を用いると,
$\begin{matrix} | \int_{Ω} (u_{n}^{'} (x, t) +_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t)) w_{n} (x) d x | \\ ⩽ N^{2} μ ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ \nabla w_{n} ∥_{L^{2} (Ω)} + ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ w_{n} ∥_{L^{2} (Ω)} \\ (23) & + ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ u_{n} ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ w_{n} ∥_{L^{2} (Ω)} + ∥ f_{n} (t) ∥_{H^{- 1} (Ω)} ∥ w_{n} ∥_{H_{0}^{1} (Ω)} \end{matrix}$
が得られる. ここで, $u_{n} (x, \cdot) \in A C [0, T]$ より, $_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) = \frac{d}{d t} I^{1 - α} [u_{n} (x, \cdot) - u_{n, 0} (x)] (t)$ であるので
${‖ \frac{d}{d t} (u_{n} (t) + I^{1 - α} [u_{n} - u_{n, 0}] (t)) ‖}_{H^{- 1} (Ω)} = sup_{∥ w ∥_{H_{0}^{1} (Ω)}} | \int_{Ω} (\partial_{t} u_{n} (x, t) +_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t)) w_{n} (x) d x |$
を得る. $(23)$ の右辺は $L^{2} (0, T)$ の意味で $n$ について一様有界なので,
$\begin{matrix} (24) & sup_{n} {‖ \frac{d}{d t} (u_{n} + I^{1 - α} [u_{n} - u_{n, 0}]) ‖}_{L^{2} (0, T; H^{- 1} (Ω))} < \infty \end{matrix}$
が得られる. よって, 弱コンパクト性定理より,
$\begin{matrix} (25) & u_{n_{k}} \to u w e a k l y i n L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω)) a s k \to \infty, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (26) & u_{n_{k}} \to u w e a k l y i n L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)) a s k \to \infty, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (27) & u_{n_{k}} + I^{1 - α} [u_{n_{k}} - u_{n_{k}, 0}] \to v w e a k l y i n H^{1} (0, T; H^{- 1} (Ω)) a s k \to \infty \end{matrix}$
となる部分列 ${u_{n_{k}}}$ と $u \in L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω)) \cap L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)) \cap H^{\frac{α}{2}} (0, T; L^{2} (Ω))$ , $v \in H^{1} (0, T; H^{- 1} (0, T))$ が存在する. まず最初に, 弱微分 $\partial_{t} (u + I^{1 - α} [u - u_{0}])$ が $L^{2} (0, T; H^{- 1} (Ω))$ の意味で存在し, $\partial_{t} (u + I^{1 - α} [u - u_{0}]) = \partial_{t} v$ であることを示す. テスト関数 $φ \in C_{0}^{\infty} (0, T)$ と $ϕ \in H_{0}^{1} (Ω)$ をとると, 先程の議論から
$\begin{aligned} \int_{0}^{T} φ (t) \int_{Ω} \partial_{t} v (x, t) ϕ (x) d x d t & = lim_{k \to \infty} \int_{0}^{T} φ (t) \int_{Ω} \partial_{t} (u_{n_{k}} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) ϕ (x) d x d t \\ = lim_{k \to \infty} \int_{Ω} \int_{0}^{T} φ (t) \partial_{t} (u_{n_{k}} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) d t ϕ (x) d x \\ = - lim_{k \to \infty} \int_{Ω} \int_{0}^{T} φ^{'} (t) (u_{n_{k}} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) d t ϕ (x) d x \\ = - lim_{k \to \infty} \int_{0}^{T} φ^{'} (t) \int_{Ω} ϕ (x) (u_{n_{k}} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) d x d t \\ = - \int_{0}^{T} φ^{'} (t) \int_{Ω} ϕ (x) (u (x, t) + I^{1 - α} [u (x, \cdot) - u_{0} (x)] (t)) d x d t \end{aligned}$
がしたがう. よって, $\partial_{t} (u + I^{1 - α} [u - u_{0}]) = \partial_{t} v \in L^{2} (0, T; H^{- 1} (Ω))$ in the weak senseが示された. 最後に, 得られた $u$ が等式 $(2)$ をみたしていることを確かめる. 稠密性より, $w (x) = \sum_{k = 0}^{K} θ_{m} ϕ_{m} (x)$ について成立することを示せば十分である. $t_{0} \in (0, T)$ を任意に固定し, 式 $(18)$ の両辺にmolliifier $η_{ε} (t - t_{0})$ をかけて $t \in (0, T)$ について積分すると,
$\begin{matrix} \int_{0}^{T} η_{ε} (t - t_{0}) \int_{Ω} \partial_{t} (u_{n_{k}} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) w (x) d x d t \\ + \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{0}^{T} \int_{Ω} a_{i, j, n_{k}} (x, t) \partial_{j} u_{n_{k}} (x, t) \partial_{i} w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ = \sum_{j = 1}^{N} \int_{0}^{T} \int_{Ω} b_{j, n_{k}} (x, t) \partial_{j} u_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t + \int_{0}^{T} \int_{Ω} c_{n_{k}} (x, t) u_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ + \int_{0}^{T} \int_{Ω} f_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \end{matrix}$
となるので, それぞれの項に対して, $k \to \infty$ , $ε \to 0$ の極限を考える. 左辺第1項は
$\begin{aligned} \int_{0}^{T} η_{ε} (t - t_{0}) \int_{Ω} \partial_{t} (u_{n, k} (x, t) + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) w (x) d x d t \\ = - \int_{0}^{T} η_{ε}^{'} (t - t_{0}) \int_{Ω} (u_{n_{k}} + I^{1 - α} [u_{n_{k}} (x, \cdot) - u_{n_{k}, 0} (x)] (t)) w (x) d x d t \\ \to_{k \to \infty}^{} - \int_{0}^{T} η_{ε}^{'} (t - t_{0}) \int_{Ω} (u (x, t) + I^{1 - α} [u (x, \cdot) - u_{0} (x)] (t)) w (x) d x d t \\ = \int_{0}^{T} η_{ε} (t - t_{0}) \frac{d}{d t} \int_{Ω} (u (x, t) + I^{1 - α} [u (x, \cdot) - u_{0} (x)] (t)) w (x) d x d t \\ \to_{ε \to 0}^{} \frac{d}{d t} \int_{Ω} (u (x, t_{0}) + I^{1 - α} [u (x, \cdot) - u_{0} (x)] (t_{0})) w (x) d x f o r a . e . t_{0} \in (0, T) \end{aligned}$
となり, 左辺第2項は同様にすると, $\partial_{i} w (x) η_{ε} (t - t_{0})$ の $Q_{T}$ 上での滑らかさと, $a_{i, j, n_{k}} \to a_{i, j}$ in $L^{2} (Q_{T})$ なので
$\begin{aligned} \int_{0}^{T} \int_{Ω} a_{i, j, n_{k}} (x, t) \partial_{j} u_{n_{k}} (x, t) \partial_{i} w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t & \to_{k \to \infty}^{} \int_{0}^{T} \int_{Ω} a_{i, j} (x, t) \partial_{j} u (x, t) \partial_{i} w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ \to_{ε \to 0}^{} \int_{Ω} a_{i, j} (x, t_{0}) \partial_{j} u (x, t_{0}) \partial_{i} w (x) d x f o r a . e . t_{0} \in (0, T) \end{aligned}$
となる. 右辺も同様に計算すると, 仮定より $b_{j, n_{k}} \to b_{j}$ in $L^{2} (Q_{T})$ であるので,
$\begin{aligned} \int_{0}^{T} \int_{Ω} b_{j, n_{k}} (x, t) \partial_{j} u_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t & \to_{k \to \infty}^{} \int_{0}^{T} \int_{Ω} b_{j} (x, t) \partial_{j} u (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ \to_{ε \to 0}^{} \int_{Ω} b_{j} (x, t_{0}) \partial_{j} u (x, t_{0}) w (x) d x f o r a . e . t_{0} \in (0, T) \end{aligned}$
となる. $c_{n_{k}} \to c$ in $L^{2} (Q_{T})$ であるので, $c_{n_{k}} u_{n_{k}} \to c u$ in $L^{2} (Q_{T})$ となる. よって
$\begin{matrix} | \int_{0}^{T} \int_{Ω} (c_{n_{k}} (x, t) u_{n_{k}} (x, t) - c (x, t) u (x, t)) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t | \\ ⩽ \int_{0}^{T} \int_{Ω} | c_{n_{k}} (x, t) - c (x, t) | | u_{n_{k}} (x, t) | w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ + | \int_{0}^{T} \int_{Ω} c_{n_{k}} (x, t) (u_{n_{k}} (x, t) - u (x, t)) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t | \end{matrix}$
と評価でき, $k \to \infty$ とすれば右辺は $0$ に収束する. したがって,
$\int_{0}^{T} \int_{Ω} c_{n_{k}} (x, t) u_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \to \int_{Ω} c (x, t_{0}) u (x, t_{0}) w (x) d x f o r a . e . t_{0} \in (0, T)$
を得る. さらに
$\begin{aligned} \int_{0}^{T} \int_{Ω} f_{n_{k}} (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t & \to_{k \to \infty}^{} \int_{0}^{T} \int_{Ω} f (x, t) w (x) η_{ε} (t - t_{0}) d x d t \\ \to_{ε \to 0}^{} \int_{Ω} f (x, t_{0}) w (x) d x f o r a . e . t_{0} \in (0, T) \end{aligned}$
となるので, 得られた $u$ が定義1をみたしていることが確かめられた. 一意性は, $\tilde{u} = u_{1} - u_{2}$ とし, $\tilde{u}$ に関する初期値境界値問題
${\begin{cases} \partial_{t} \tilde{u} + \partial_{t}^{α} \tilde{u} = L \tilde{u} & i n Q_{T}, \\ \tilde{u} = 0 & o n Σ_{T}, \\ \tilde{u} = 0 & o n Ω \times {t = 0} \end{cases}$
を考え, 先程と同様の議論をすれば
$∥ \tilde{u} + I^{1 - α} \tilde{u} ∥_{H^{1} (0, T; H^{- 1} (Ω))} + ∥ \tilde{u} ∥_{L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))} + ∥ \tilde{u} ∥_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} + ∥ \tilde{u} ∥_{H^{\frac{α}{2}} (0, T; L^{2} (Ω))} ⩽ 0$
が得られる. よって, ノルムの定義より $\tilde{u} = 0$ a.e. を得る. 以上で証明が完了した. $◻$

Regular solutions

本章では, 定理2の証明を行う. そのため, 次の補題を示す.

定理2と同様の仮定を与える. このとき, $t \in [0, T]$ と各 $n \in N$ に対して近似解 $u_{n}$ は
$\begin{matrix} max_{t \in [0, T]} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + I^{1 - α} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} \frac{∥ \nabla u_{n} (τ) - \nabla u_{n} (s) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| τ - s |^{α + 1}} d s d τ + \frac{λ}{8} \int_{0}^{t} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ \\ ⩽ C_{1} (∥ \nabla u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (τ) ∥_{H_{0}^{1} (Ω)}^{2} d τ + \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ) \end{matrix}$
をみたす. ただし, $C_{1}$ は $α, λ, T, ∥ b ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}, ∥ c ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ と $\partial Ω$ の正則性に依存する定数である.

$(18)$ の両辺に $λ_{m} d_{n, m}$ をかけて, $m = 1$ から $n$ まで和をとると,
$\begin{matrix} - \int_{Ω} u_{n}^{'} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} Δ u_{n} (x, t) d x \\ = - \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \int_{Ω} c_{n} (x, t) u (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x \\ - \int_{Ω} f_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x \end{matrix}$
となる. 左辺第1項, 第2項は部分積分を用いると, $Δ u_{n} = 0$ , $_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} = 0$ on $\partial Ω$ かつ $\nabla u_{n} (x, \cdot) \in A C [0, T]$ なので,
$\begin{aligned} - \int_{Ω} u_{n}^{'} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} u_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x & = \int_{Ω} \nabla u_{n}^{'} (x, t) \cdot \nabla u_{n} (x, t) d x + \int_{Ω}_{0}^{c} D_{t}^{α} \nabla u_{n} (x, t) \cdot \nabla u_{n} (x, t) d x \\ ⩾ \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{1}{2}_{0}^{c} D_{t}^{α} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{2 Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{∥ \nabla u_{n} (t) - \nabla u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{(t - τ)^{α + 1}} d τ \end{aligned}$
とできる. 左辺第3項は部分積分と楕円型作用素の性質より
$\begin{aligned} - \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) \partial_{i} Δ u_{n} (x, t) d x & = \sum_{i, j = 1}^{N} \int_{Ω} \partial_{i} (a_{i, j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t)) Δ u_{n} (x, t) d x \\ ⩾ \frac{λ}{4} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} - C_{0, n} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \end{aligned}$
を得る. ここで, $C_{0, n}$ は $\partial Ω$ の $C^{2}$ ノルムと $max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j, n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}$ に依存する定数である. 一方, 右辺はHolderの不等式とCauchyの不等式より
$\begin{aligned} - \sum_{j = 1}^{N} \int_{Ω} b_{j, n} (x, t) \partial_{j} u_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \int_{Ω} c_{n} (x, t) u (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x - \int_{Ω} f_{n} (x, t) Δ u_{n} (x, t) d x \\ ⩽ ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} + ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} \\ + ∥ f_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)} \\ ⩽ \frac{4}{λ} ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}^{2} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{λ}{16} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{4}{λ} ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}^{2} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ + \frac{λ}{16} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{4}{λ} ∥ f_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{λ}{16} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \end{aligned}$
と評価できるので, 以上をまとめると
$\begin{matrix} \frac{d}{d t} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} +_{0}^{c} D_{t}^{α} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{∥ \nabla u_{n} (t) - \nabla u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| t - τ |^{1 + α}} d τ + \frac{λ}{8} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ (28) & ⩽ C_{0, n} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{8}{λ} ∥ b_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}^{2} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{8}{λ} ∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}^{2} ∥ u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{8}{λ} ∥ f_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \end{matrix}$
となる. よって, 任意の $n \in N, t \in [0, T]$ に対して $κ_{n} (t) ⩽ max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j} ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ となるので, $C_{0, n} ⩽ C_{0}$ をみたす $max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j} ∥_{L^{\infty} (Q_{T})}$ と $\partial Ω$ の正則性のみに依存するある定数 $C_{0}$ が存在する. したがって,
$\begin{matrix} \frac{d}{d t} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} +_{0}^{c} D_{t}^{α} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{∥ \nabla u_{n} (t) - \nabla u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| t - τ |^{1 + α}} d τ + \frac{λ}{8} ∥ \nabla^{2} u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ (29) & ⩽ {\hat{h}}_{n} (t) ∥ u_{n} (t) ∥_{H_{0}^{1} (Ω)}^{2} + \frac{8}{λ} ∥ f_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} \end{matrix}$
が得られる. ここで, ${\hat{h}}_{n} (t)$ は $max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}$ と $\partial Ω$ の正則性, $∥ b (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}$ , $∥ c_{n} (t) ∥_{L^{\infty} (Ω)}$ , $λ$ に依存する関数である. 故に, $(29)$ の両辺を $0$ から $t$ まで積分すると,
$\begin{matrix} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + I^{1 - α} ∥ \nabla u_{n} (t) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + \frac{α}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} \frac{∥ \nabla u_{n} (τ) - \nabla u_{n} (s) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2}}{| τ - s |^{1 + α}} d s d τ + \frac{λ}{8} \int_{0}^{t} ∥ \nabla^{2} u_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ \\ (30) & ⩽ ∥ \nabla u_{n, 0} ∥_{L^{2} (Ω)} + \frac{t^{1 - α}}{Γ (2 - α)} ∥ \nabla u_{0, n} ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} + {\hat{q}}_{n} (t) \int_{0}^{t} ∥ u_{n} (τ) ∥_{H_{0}^{1} (Ω)}^{2} d τ + \frac{8}{λ} \int_{0}^{t} ∥ f_{n} (τ) ∥_{L^{2} (Ω)}^{2} d τ \end{matrix}$
が得られる. ただし, ${\hat{q}}_{n} (t)$ は $max_{i, j} ∥ \nabla a_{i, j} ∥_{L^{\infty} (Q_{t})}$ と $\partial Ω$ の正則性, $∥ b ∥_{L^{\infty} (Q_{t})}$ , $∥ c ∥_{L^{\infty} (Q_{t})}$ , $λ$ に依存する $t$ に関する非減少関数である. 右辺は補題4より $n$ に関して一様有界である. 以上で補題の証明が完了した. $◻$

定理2の証明

補題5より, 定理1と同様の議論をすることで, $u \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)) \cap L^{2} (0, T; H^{2} (Ω)) \cap H^{\frac{α}{2}} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ となるweak solution $u$ の存在が示され,
$sup_{n} {‖ \frac{d}{d t} (u_{n} + I^{1 - α} [u_{n} - u_{n, 0}]) ‖}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} + sup_{n} {‖ \frac{d}{d t} (u_{n} + I^{1 - α} [u_{n} - u_{n, 0}]) ‖}_{L^{\infty} (0, T; H^{- 1} (Ω))} < \infty$
が得られる. 以上で証明が完了した. $◻$

投稿日：2024年5月5日

更新日：2024年5月5日

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カメ

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大学院では非線形拡散方程式(主にFast Diffusion, Porous Medium), 非整数階時間微分を含む拡散方程式を専攻していました. 現在は非整数階時間微分を含む拡散方程式の可解性の研究をしています.

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カメ

時間1階微分と非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題

Initial-boundary value problems for the time-fractional diffusion equations with the classical time derivatives.
Notations
Approximate solutions
Existence of weak solutions and energy estimate
Regular solutions