時間1階微分と非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題
Initial-boundary value problems for the time-fractional diffusion equations with the classical time derivatives.
今回の記事では, 次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{tfde}\tag{TFDE}
\begin{cases}
\partial_tu + \RL(u-u_0) = Lu + f & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\
u = u_0 & {\rm on}\ \ \Omega\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
を考える. ここで, $\partial_t^{\alpha}$は$\alpha$階Riemann-Liouville微分と呼ばれ,十分滑らかな$u$と$\alpha\in(0,1)$に対して
\begin{equation}
\partial_t^{\alpha}u(t) = \frac{d}{dt}I^{1-\alpha}u(t) = \dt\int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)u(\tau)\ d\tau,\ \ \ g_{\alpha}(t) = \frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}
\end{equation}
と定義される. また, $I^{\alpha}$は$\alpha$階Riemann-Liouville積分と呼ばれ,
\begin{equation}
I^{\alpha}u(t) = \int_0^tg_{1-\alpha}(t-\tau)u(\tau)\ d\tau
\end{equation}
で定義される. $0 < \alpha < 1$のとき, Riemann-Liouville微分は十分滑らかな$u$に対して,
\begin{equation}
\partial_t^{\alpha}(u - u_0)(t) = I^{1-\alpha}u'(t) = \int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)u'(\tau)\ d\tau =: \caputo u(t)
\end{equation}
と書き換えられ, $\caputo$は$\alpha$階Caputo微分と呼ばれる. さらに, $L$は一様楕円型作用素すなわち,
\begin{equation}
Lu(x,t) = \sum_{i,j=1}^N\partial_i\left(a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\right) + \sum_{j=1}^Nb_j(x,t)\partial_ju(x,t) + c(x,t)u(x,t),\ \ \ \partial_i := \frac{\partial}{\partial x_i}
\end{equation}
であり, 任意の$(x,t) \in \overline{Q}_T$に対して
\begin{equation}\label{1}\tag{1}
\lambda|\xi|^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,t)\xi_i\xi_j \leqslant \mu|\xi|^2\ \ \ {\rm for}\ \ \xi \in {\R}^N
\end{equation}
となる$\lambda, \mu > 0$が存在し, $a_{i,j} = a_{j,i}$をみたす.
次に, 問題\eqref{tfde}のweak solutionの定義を次のように与える.
$u$が次の(i), (ii), (iii)をみたすとき, 問題\eqref{tfde}のweak solutionという.
(i) $u \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$,
(ii) $u + I^{1-\alpha}[u-u_0] \in {H^1}(0,T; H^{-1}(\om))$,
(iii)任意の$\varphi \in H_0^1(\om)$に対して,
\begin{multline}\label{2}\tag{2}
\dt\int_{\om}\bigl(u(x,t) + I^{1-\alpha}[u(x,\cdot)-u_0(x)](t)\bigl)\varphi(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}c(x,t)u(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}f(x,t)\varphi(x)\ dx,\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
をみたす.
問題\eqref{tfde}に対して, 次の定理が成立する.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とし, \eqref{1}が成立すると仮定する.
このとき, 問題\eqref{tfde}のweak solution
\begin{equation}
u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^\infty(0,T; L^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))
\end{equation}
が一意に存在し,
\begin{multline}\label{3}\tag{3}
\|u+I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} \\
\leqslant C\bigl(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))}\bigl)
\end{multline}
が成立する.
ただし, $C$は$\alpha, \lambda, \mu, T, N, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数であり,
\begin{equation}
\|v\|_{H^{\beta}(0,T)} = \left(\|v\|_{L^2(0,T)}^2 + \int_0^T\int_0^T\frac{|v(t) - v(s)|^2}{|t-s|^{1+2\beta}}\ dsdt\right)^{\frac{1}{2}}
\end{equation}
である.
$u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in L^2(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$, \eqref{1}が成立し,
\begin{equation}
\max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)} < \infty
\end{equation}
をみたすと仮定する.
このとき,
\begin{equation}
u + I^{1-\alpha}[u-u_0] \in H^1(0,T; L^2(\om)) \cap W^{1,\infty}(0,T; H^{-1}(\om))
\end{equation}
となる問題\eqref{tfde}のweak solution
\begin{equation}
u \in L^\infty(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))
\end{equation}
が一意に存在し,
\begin{multline}\label{4}\tag{4}
\|u+I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; L^2(\om))} + \|u+I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{W^{1,\infty}(0,T; H^{-1}(\om)} \\
+ \|u\|_{L^2(0,T; H^2(\om))} + \|u\|_{L^\infty(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} \\
\leqslant C\bigl(\|u_0\|_{H_0^1(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\bigl)
\end{multline}
が成立する.
ただし, $C$は$\alpha, \lambda, \mu, T, N, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$, $\partial\om$の正則性に依存する定数である.
Notations
まず最初に, $' = \dt$と表す. 関数空間$X$を
\begin{equation}\label{6}\tag{6}
X = \{h \in C^2((0,T]) \cap C^1([0,T]);\ t^{\alpha}h'' \in C([0,T])\}
\end{equation}
とし, ノルムを
\begin{equation}
\|h\|_{X} = \|h\|_{C([0,T])} + \|h'\|_{C([0,T])} + \|t^{\alpha}h''\|_{C([0,T])}
\end{equation}
と定める. このとき, $X$はBanach空間となる. ここで, $\eta_{\e} = \eta_{\e}(t)$をmollifier, すなわち
\begin{equation}
\eta_{\e} \in C_0^\infty(-\e,\e), \ \ \eta_{\e} \geqslant 0,\ \ \int_{\R}\eta_{\e}(t)\ dt = 1
\end{equation}
をみたすものとする. さらに,
\begin{equation}\label{7}\tag{7}
a_{i,j,n} = \left(\eta_{1/n}*a_{i,j}(x,\cdot)\right)(t)
\end{equation}
と定め,
\begin{equation}\label{8}\tag{8}
a_{i,j,n} \to a_{i,j}\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(Q_T)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
をみたすとする. さらに, 式\eqref{1}より, 任意の$(x,t) \in \overline{Q}_T$に対して
\begin{equation}\label{9}\tag{9}
\lambda|\xi|^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^Na_{i,j,n}(x,t)\xi_i\xi_j \leqslant \mu|\xi|^2\ \ \ {\rm for}\ \ \xi \in {\R}^N
\end{equation}
が成立する. 実際,
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^Na_{i,j,n}(x,t)\xi_i\xi_j = \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\left(\sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,s)\xi_i\xi_j\right)\ ds
\end{align}
であるので, 式\eqref{1}より
\begin{equation}
\lambda|\xi|^2 = \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\lambda|\xi|^2\ ds \leqslant \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\left(\sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,s)\xi_i\xi_j\right)\ ds \leqslant \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\mu|\xi|^2\ ds = \mu|\xi|^2
\end{equation}
となるので, 式\eqref{9}が得られる. 同様にして,
\begin{equation}
b_{j,n}(x,t) = \left(\eta_{1/n}*b_j(x,\cdot)\right)(t),\ \ c_n(x,t) = \left(\eta_{1/n}*c(x,\cdot)\right)(t),\ \ f_n(x,t) = \left(\eta_{1/n}*f(x,\cdot)\right)(t)
\end{equation}
と定義する.
Approximate solutions
本章では, 通常の放物型方程式に対するGalerkin methodと同様に, 式\eqref{tfde}の近似解を構成することを目標とする.
$\{\phi_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}$を
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta\phi_n = \lambda_n\phi_n & {\rm in}\ \ \Omega, \\
\phi_n = 0 & {\rm on}\ \ \partial\Omega
\end{cases}
\end{equation}
をみたす$L^2(\Omega)$の正規直交基底, $H_0^1(\Omega)$の直交基底とし, 次のような問題\eqref{tfde}の近似解
\begin{equation}\label{10}\tag{10}
u_n(x,t) = \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\phi_k(x)
\end{equation}
を求める. すなわち, 係数$d_{n,k}(t)$を決定する. そのため, 次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{11}\tag{11}
\begin{cases}
\partial_tu_n + \RL(u_n - u_{n,0}) = L^nu_n + f_n & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u_n = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T, \\
u_n = u_{n,0} & {\rm on}\ \ \Omega \times \{t = 0\}
\end{cases}
\end{equation}
について考える. ただし,
\begin{equation}
u_{n,0}(x) = \phi_k(x)\left(\sum_{k=1}^n\int_{\Omega}u_0(y)\phi_k(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
L^nu(x,t) = \sum_{i,j=1}^N\partial_i\left(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju(x,t)\right) + \sum_{j=1}^Nb_{j,n}(x,t)\partial_ju(x,t) + c_n(x,t)u(x,t)
\end{equation}
である. 係数$d_{n,k}$は式\eqref{11}を$\{\phi_1, \cdots, \phi_n\}$による有限次元空間への射影を考えることによって決定する.
すなわち, 問題\eqref{11}の$1$行目の方程式の両辺に$\phi_m$をかけて$\Omega$上で積分をすると, 左辺は
\begin{align}
\int_{\Omega}\phi_m(x)\partial_tu_n(x,t)\ dx
& = \int_{\Omega}\phi_m(x)\partial_t\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\phi_k(x)\right)\ dx \\
& = \sum_{k=1}^n\partial_td_{n,k}(t)\int_{\Omega}\phi_m(x)\phi_k(x)\ dx = \partial_td_{n,m}(t),
\end{align}
\begin{align}
\int_{\Omega}\phi_m(x)\partial_t^{\alpha}(u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x))(t)\ dx
& = \int_{\Omega}\phi_m(x)\partial_t^{\alpha}\left(\sum_{k=1}^n(d_{n,k}(\cdot) - d_{n,k}(0))\phi_k(x)\right)(t)\ dx \\
& = \sum_{k=1}^n\partial_t^{\alpha}\left(d_{n,k}(\cdot) - d_{n,k}(0)\right)(t)\int_{\Omega}\phi_m(x)\phi_k(x)\ dx \\
& = \partial_t^{\alpha}(d_{n,m}(\cdot) - d_{n,m}(0))(t)
\end{align}
となり, 右辺第1項は部分積分より,
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}\phi_m(x)\partial_i(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t))\ dx
& = -\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\partial_j\phi_k(x)\right)\partial_i\phi_m(x)\ dx \\
& = -\sum_{i,j=1}^N\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\phi_k(x)\partial_i\phi_m(x)\ dx
\end{align}
となるので,
\begin{multline}\label{12}\tag{12}
\partial_td_{n,m}(t) + \partial_t^{\alpha} (d_{n,m}(\cdot) - d_{n,m}(0))(t) = -\sum_{k=1}^n\sum_{i,j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\phi_k(x)\partial_i\phi(x)\ dx \\
+ \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_j\phi_k(x)\phi_m(x)\ dx + \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\om}c_n(x,t)\phi_k(x)\phi_m(x)\ dx \\
+ \int_{\om}f_n(x,t)\phi_m(x)\ dx
\end{multline}
が得られる. ここで,
\begin{equation}
d_n(t) = (d_{n,1}(t), \cdots, d_{n,n}(t)),
\end{equation}
\begin{equation}
A_{m,k}^n(t) = \sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\phi_k(x)\partial_i\phi_m(x)\ dx,\ \ A^n(t) = \{A_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
B_{m,k}^n(t) = \sum_{j=1}^N\int_{\Omega}b_{j,n}(x,t)\partial_j\phi_k(x)\phi_m(x)\ dx,\ \ B^n(t) = \{B_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
C_{m,k}^n(t) = \int_{\Omega}c_n(x,t)\phi_k(x)\phi_m(x)dx,\ \ C^n(t) = \{C_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
F^n(t) = \left(\int_{\om}f_n(y,t)\phi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\om}f_n(y,t)\phi_n(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
d_{n,0} = \left(\int_{\Omega}u_0(y)\phi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\Omega}u_0(y)\phi_n(y)\ dy\right)
\end{equation}
と定義すると, \eqref{12}は
\begin{equation}\label{13}\tag{13}
\begin{cases}
d_{n,m}'(t) + \partial_t^{\alpha}(d_n(\cdot) - d_{n,0})(t) = -A^n(t)d_n(t) + B^n(t)d_n(t) + C^n(t)d_n(t) + F^n(t),\\
d_n(0) = d_{n,0}
\end{cases}
\end{equation}
と表される. $F^n$は滑らかかつ, $A^n, B^n, C^n \in X$より$\tilde{A}^n := A^n - B^n - C^n$とすれば
\begin{equation}
\tilde{A}^n \in X
\end{equation}
を得る. $d_{n,m} \in AC[0,T]$を仮定し, 両辺を$0$から$t$まで積分すると, 積分方程式
\begin{equation}\label{14}\tag{14}
d_n(t) = d_{n,0} - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}(d_n(\tau)-d_{n,0})\ d\tau + \int_0^t\tilde{A}^n(\tau)d_n(\tau)\ d\tau
\end{equation}
に書き直せる. さらに, $z_1, z_2 \in X$に対して距離を
\begin{equation}
\rho(z_1, z_2) = \|z_1 - z_2\|_{X}
\end{equation}
と定めると, これは$X$上で完備距離空間となる. 以上の議論より, 次の補題が得られる.
任意の$n \in \N$と$T > 0$に対して, 式\eqref{14}をみたす$d_n \in X$が一意に存在する.
Banachの不動点定理を用いて示す. 作用素$\Phi$を
\begin{equation}\label{15}\tag{15}
\Phi[d_n](t) = d_{n,0} - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}(d_n(\tau)-d_{n,0})\ d\tau + \int_0^t\tilde{A}^n(\tau)d_n(\tau)\ d\tau
\end{equation}
と定義する. 証明を2段階に分ける.
Step 1: $d_n \in X \Longrightarrow\Phi[d_n] \in X$.
\eqref{15}の両辺でノルムを取ると,
\begin{align}
\|\Phi[d_n]\|_{C([0,T])}
& \leqslant |d_{n,0}| + \dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left\|\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}(d_n(\tau)-d_{n,0})\ d\tau\right\|_{C([0,T])} + \left\|\int_0^t\tilde{A}^n(\tau)d_n(\tau)\ d\tau\right\|_{C([0,T])} \\
& \leqslant |d_{n,0}| + \frac{T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\left(\|d_n\|_{C([0,T])} + |d_{n,0}|\right) + T\|\tilde{A}^n\|_{C([0,T])}\|d_n\|_{C([0,T])} < \infty
\end{align}
である. \eqref{15}の両辺を微分すると,
\begin{equation}\label{16}\tag{16}
\Phi'[d_n](t) = -\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}d_n'(\tau)\ d\tau + \tilde{A}^n(t)d_n(t)
\end{equation}
となるので, 同様にして
\begin{equation}
\|\Phi'[d_n]\|_{C([0,T])} \leqslant \frac{T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|d_n'\|_{C([0,T])} + \|\tilde{A}^n\|_{C([0,T])}\|d_n\|_{C([0,T])} < \infty
\end{equation}
がしたがう. さらに, \eqref{16}の両辺を微分すると,
\begin{equation}
\Phi''[d_n](t) = -\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}d_n''(\tau)\ d\tau + \frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}d_{n,0}' + \left(\tilde{A}^n\right)'(t)d_n(t) + \tilde{A}^n(t)d_n'(t)
\end{equation}
となるので, 両辺に$t^{\alpha}$をかけると
\begin{equation}\label{17}\tag{17}
t^{\alpha}\Phi''[d_n](t) = -\frac{t^{\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}d_n''(\tau)\ d\tau + \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}d_{n}'(0) + t^{\alpha}\left(\tilde{A}^n\right)'(t)d_n(t) + t^{\alpha}\tilde{A}^n(t)d_n'(t)
\end{equation}
が得られる. よって,
\begin{align}
\|t^{\alpha}\Phi''[d_n]\|_{C([0,T])}
& \leqslant \frac{t^{\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\|t^{\alpha}d_n''\|_{C([0,T])}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}\tau^{-\alpha}\ d\tau + \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\|d_n'\|_{C([0,T])} \\
& \hspace{2cm} + T^{\alpha}\left\|\left(\tilde{A}^n\right)'\right\|_{C([0,T])}\|d_n\|_{C([0,T])} + T^{\alpha}\left\|\tilde{A}^n\right\|_{C([0,T])}\|d_n'\|_{C([0,T])}
\end{align}
と評価できる. ここで, 第一種オイラー積分公式を用いると
\begin{equation}
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}\tau^{-\alpha}\ d\tau = \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(2-2\alpha)}t^{1-2\alpha}
\end{equation}
であるので,
\begin{equation}
\frac{t^{\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}\tau^{-\alpha}\ d\tau = \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(2-2\alpha)}t^{1-\alpha}
\end{equation}
が得られる. 故に,
\begin{align}
\|t^{\alpha}\Phi''[d_n]\|_{C([0,T])}
& \leqslant \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(2-2\alpha)}T^{1-\alpha}\|t^{\alpha}d_n''\|_{C([0,T])} + \frac{\|d_n'\|_{C([0,T])}}{\Gamma(1-\alpha)} \\
& \hspace{3cm} + T^{\alpha}\left\|\left(\tilde{A}^n\right)'\right\|_{C([0,T])}\|d_n\|_{C([0,T])} + T^{\alpha}\left\|\tilde{A}^n\right\|_{C([0,T])}\|d_n'\|_{C([0,T])} \\
& < \infty
\end{align}
である. 以上より, $\|\Phi[d_n]\|_X < \infty$が示された.
Step 2: $\Phi[d_n]$が縮小写像であること.
$d_n^1, d_n^2 \in X$とすると, 先程の評価より
\begin{equation}
\|\Phi[d_n^1]-\Phi[d_n^2]\|_{C([0,T])} \leqslant \frac{T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|d_n^1-d_n^2\|_{C([0,T])} + T\|\tilde{A}^n\|_{C([0,T])}\|d_n^1-d_n^2\|_{C([0,T])},
\end{equation}
\begin{equation}
\|\Phi'[d_n^1]-\Phi'[d_n^2]\|_{C([0,T])} \leqslant \frac{T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|\left(d_n^1\right)' - \left(d_n^2\right)'\|_{C([0,T])} + \|\tilde{A}^n\|_{C([0,T])}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C([0,T])},
\end{equation}
\begin{multline}
\|t^{\alpha}\Phi''[d_n^1]-t^{\alpha}\Phi''[d_n^2]\|_{C([0,T])} \leqslant \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(2-2\alpha)}T^{1-\alpha}\|t^{\alpha}\left(d_n^1\right)''-t^{\alpha}\left(d_n^2\right)''\|_{C([0,T])} + \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\|\left(d_n^1\right)'-\left(d_n^2\right)'\|_{C([0,T])} \\
+ T^{\alpha}\left\|\left(\tilde{A}^n\right)'\right\|_{C([0,T])}\|d_n^1-d_n^2\|_{C([0,T])} + T^{\alpha}\left\|\tilde{A}^n\right\|_{C([0,T])}\|\left(d_n^1\right)'-\left(d_n^2\right)'\|_{C([0,T])}
\end{multline}
が得られる. よって, まとめると
\begin{equation}
\|\Phi[d_n^1]-\Phi[d_n^2]\|_X \leqslant C(\alpha,T)\|\tilde{A}^n\|_X\|d_n^1-d_n^2\|_X
\end{equation}
であるので,
\begin{equation}
C(\alpha,T)\|\tilde{A}^n\|_X < 1
\end{equation}
となるように$T > 0$を選べば, $\Phi$は縮小写像になる. 以上より, Banachの不動点定理から, 積分方程式\eqref{14}をみたす$d_n \in X$が一意に存在する. $\square$
補題3より, 次の系が得られる.
$n \in \N$, $T > 0$とする. このとき, \eqref{10}で与えられる$u_n$は, $m \in \{1,\cdots, n\}$に対して
\begin{multline}\label{18}\tag{18}
\int_{\om}u_n'(x,t)\phi_m(x)\ dx + \int_{\om}\caputo u_n(x,t)\phi_m(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\phi_m(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\phi_m(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\phi_m(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)\phi_m(x)\ dx
\end{multline}
をみたす. さらに, $x\in\om$と$\beta\in\N^N$に対して, $\partial\om$が十分滑らかなとき$\partial_x^{\beta}u_n(x,\cdot) \in C^2((0,T]) \cap C^1([0,T])$かつ$t^{\alpha}\partial_x^{\beta}u_n''(x,\cdot) \in C(\overline{Q}_T)$である.
Existence of weak solutions and energy estimate
本章では, 定理1を証明する. そのため, まず次の補題を示す.
定理1と同様の仮定を与える. このとき, $t \in [0,T]$と各$n \in \N$に対して近似解$u_n$は
\begin{multline}
\max_{t \in [0,T]}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|u_n(\tau)-u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{|\tau-s|^{\alpha+1}}\ dsd\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant C_0\left(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right)
\end{multline}
をみたす. ただし, $C_0$は$\alpha, \lambda, T, N, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である.
\eqref{18}の両辺に$d_{n,m}$をかけて$m = 1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}\label{19}\tag{19}
\int_{\om}u_n'(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)|u_n(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)u_n(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺はそれぞれ
\begin{equation}
\int_{\om}u_n'(x,t)u_n(x,t)\ dx = \frac{1}{2}\dt\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx \geqslant \frac{1}{2}\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)} + \frac{\alpha}{2\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|u_n(t)-u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{|t-\tau|^{1+\alpha}}\ d\tau,
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
が得られる. 右辺はぞれぞれ, Holderの不等式とCauchyの不等式を用いれば,
\begin{align}
\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx
& \leqslant \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)} \\
& \leqslant \frac{1}{\lambda}\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2,\\
\int_{\om}c_n(x,t)|u_n(x,t)|^2\ dx
& \leqslant \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2,\\
\int_{\om}f_n(x,t)u_n(x,t)\ dx
& \leqslant \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\left(\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\right)^{1/2} \\
& \leqslant \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できるので, 以上をまとめると
\begin{multline}\label{20}\tag{20}
\dt\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)} + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|u_n(t)-u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{|t-\tau|^{1+\alpha}}\ d\tau + \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant h_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \dfrac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
が得られる. ただし, $h_n(t)$は$\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \lambda$に依存する関数である. したがって, \eqref{20}の両辺を$0$から$t$まで積分すると,
\begin{multline}\label{21}\tag{21}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|u_n(\tau)-u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{|\tau-s|^{1+\alpha}}\ dsd\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant \|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + q_n(t)\int_0^t\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
を得る. ただし, $q_n(t)$は$\|b_n\|_{L^\infty(Q_t)}, \|c_n\|_{L^\infty(Q_t)}, \lambda$に依存する$t$に関する非減少関数である. ここで, $\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}$に対して評価を行う. \eqref{21}より
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \left(1 + \dfrac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\right)\|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + q_n(t)\int_0^t\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{equation}
であるので,
\begin{equation}
\eta(t) = \int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}\ d\tau,\ \ \ \psi(t) = \left(1 + \dfrac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\right)\|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{equation}
とおけば, $\eta'(t) = \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2$である. したがって,
\begin{equation}
\eta'(t) \leqslant q_n(t)\eta(t) + \psi(t)
\end{equation}
となるので, Gronwallの不等式より
\begin{equation}
\eta(t) \leqslant e^{tq_n(t)}\left(\eta(0) + \int_0^t\psi(\tau)\ d\tau\right)
\end{equation}
が得られる.
ここで, $\eta(0) = \|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2$であり,
\begin{align}
\int_0^t\psi(\tau)\ d\tau
& = \int_0^t\left(\left(1 + \dfrac{\tau^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\right)\|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\int_0^\tau\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ ds\right)\ d\tau \\
& \leqslant \left(t + \dfrac{t^{2-\alpha}}{\Gamma(3-\alpha)}\right)\|u_{0,n}\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2t}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{align}
と評価できるので, まとめると
\begin{equation}\label{22}\tag{22}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant C(\alpha,T,\lambda)\left(\|u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right)
\end{equation}
が得られる. 故に, \eqref{22}の評価を式\eqref{21}に適用すると, 補題の証明が完了する. $\square$
補題4より
\begin{equation}
I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)} = \int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \geqslant g_{\alpha}(T)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau
\end{equation}
が得られる. 故に,
\begin{equation}
\|u_n\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))}^2 + \|u_n\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))}^2 + \|u_n\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} < \infty
\end{equation}
がしたがう. 次に, $u_n' + \caputo u_n$の評価を行う. $\theta_m$を定数, $\displaystyle w(x) = \sum_{m=1}^\infty \theta_m\phi_m(x)$とする. $\displaystyle w_n(x) = \sum_{m=1}^n\theta_m\phi_m(x)$と表し, \eqref{18}の両辺に$\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
\int_{\om}\left(u_n'(x,t) + \caputo u_n(x,t)\right)w_n(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iw_n(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)w_n(x)\ dx
\end{multline}
となり, Holderの不等式を用いると,
\begin{multline}\label{23}\tag{23}
\left|\int_{\om}\left(u_n'(x,t) + \caputo u_n(x,t)\right)w_n(x)\ dx\right| \\
\leqslant N^2\mu\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} + \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} \\
+ \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n\|_{L^{2}(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)}
\end{multline}
が得られる. ここで, $u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$より, $\caputo u_n(x,t) = \dfrac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x)](t)$であるので
\begin{equation}
\left\|\frac{d}{dt}\biggl(u_n(t) + I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}](t)\biggl)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}}\left|\int_{\om}\bigl(\partial_tu_n(x,t) + \caputo u_n(x,t)\bigl)w_n(x)\ dx\right|
\end{equation}
を得る. \eqref{23}の右辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$について一様有界なので,
\begin{equation}\label{24}\tag{24}
\sup_{n}\left\|\frac{d}{dt}\biggl(u_n+I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}]\biggl)\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty
\end{equation}
が得られる. よって, 弱コンパクト性定理より,
\begin{equation}\label{25}\tag{25}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^\infty(0,T; L^2(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}\label{26}\tag{26}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}\label{27}\tag{27}
u_{n_k} + I^{1-\alpha}[u_{n_k} - u_{n_k,0}] \to v\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty
\end{equation}
となる部分列$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^\infty(0,T; L^2(\om)) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))$, $v \in {H^1(0,T; H^{-1}(0,T))}$が存在する. まず最初に, 弱微分$\partial_t\biggl(u + I^{1-\alpha}[u-u_0]\biggl)$が$L^2(0,T; H^{-1}(\om))$の意味で存在し, $\partial_t\biggl(u + I^{1-\alpha}[u - u_0]\biggl) = \partial_tv$であることを示す. テスト関数$\varphi \in C_0^\infty(0,T)$と$\phi \in H_0^1(\om)$をとると, 先程の議論から
\begin{align}
\int_0^T\varphi(t)\int_{\om}\partial_tv(x,t)\phi(x)\ dxdt
& = \lim_{k\to\infty}\int_0^T\varphi(t)\int_{\om}\partial_t\biggl(u_{n_k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\biggl)\phi(x)\ dxdt \\
& = \lim_{k\to\infty}\int_{\om}\int_0^T\varphi(t)\partial_t\biggl(u_{n_k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\biggl)\ dt\ \phi(x)\ dx \\
& = -\lim_{k\to\infty}\int_{\om}\int_0^T\varphi'(t)\biggl(u_{n_k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\biggl)\ dt\ \phi(x)\ dx \\
& = -\lim_{k\to\infty}\int_0^T\varphi'(t)\int_{\om}\phi(x)\bigl(u_{n_k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\bigl)\ dxdt \\
& = -\int_0^T\varphi'(t)\int_{\om}\phi(x)\biggl(u(x,t) + I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_{0}(x)](t)\biggl)\ dxdt
\end{align}
がしたがう. よって, $\partial_t\biggl(u + I^{1-\alpha}[u - u_0]\biggl) = \partial_tv \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$ in the weak senseが示された. 最後に, 得られた$u$が等式\eqref{2}をみたしていることを確かめる. 稠密性より, $\displaystyle w(x) = \sum_{k=0}^K\theta_m\phi_m(x)$について成立することを示せば十分である. $t_0 \in (0,T)$を任意に固定し, 式\eqref{18}の両辺にmolliifier $\eta_{\e}(t-t_0)$をかけて$t \in (0,T)$について積分すると,
\begin{multline}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}\partial_t\biggl(u_{n_k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\biggl)w(x)\ dxdt \\
+ \sum_{i,j=1}^N\int_0^T\int_{\om}a_{i,j,n_k}(x,t)\partial_ju_{n_k}(x,t)\partial_iw(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
= \sum_{j=1}^N\int_0^T\int_{\om}b_{j,n_k}(x,t)\partial_ju_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}c_{n_k}(x,t)u_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
+ \int_0^T\int_{\om}f_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt
\end{multline}
となるので, それぞれの項に対して, $k \to \infty$, $\e \to 0$の極限を考える. 左辺第1項は
\begin{align}
&\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}\partial_t\bigl(u_{n,k}(x,t) + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\bigl)w(x)\ dxdt \\
& = -\int_0^T\eta_{\e}'(t-t_0)\int_{\om}\biggl(u_{n_k} + I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{n_k,0}(x)](t)\biggl)w(x)\ dxdt \\
& \xrightarrow[k\to\infty]{} -\int_0^T\eta_{\e}'(t-t_0)\int_{\om}\biggl(u(x,t) + I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_0(x)](t)\biggl)w(x)\ dxdt \\
& = \int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\frac{d}{dt}\int_{\om}\biggl(u(x,t) + I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_0(x)](t)\biggl)w(x)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\frac{d}{dt}\int_{\om}\biggl(u(x,t_0) + I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_0(x)](t_0)\biggl)w(x)\ dx\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t_0\in(0,T)
\end{align}
となり, 左辺第2項は同様にすると, $\partial_iw(x)\eta_{\e}(t-t_0)$の$Q_T$上での滑らかさと, $a_{i,j,n_k} \to a_{i,j}$ in $L^2(Q_T)$なので
\begin{align}
\int_0^T\int_{\om}a_{i,j,n_k}(x,t)\partial_ju_{n_k}(x,t)\partial_iw(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt
& \xrightarrow[k\to\infty]{}\int_0^T\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_iw(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\int_{\om}a_{i,j}(x,t_0)\partial_ju(x,t_0)\partial_iw(x)\ dx\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t_0\in(0,T)
\end{align}
となる. 右辺も同様に計算すると, 仮定より$b_{j,n_k} \to b_j$ in $L^2(Q_T)$であるので,
\begin{align}
\int_0^T\int_{\om}b_{j,n_k}(x,t)\partial_ju_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt
& \xrightarrow[k\to\infty]{}\int_0^T\int_{\om}b_{j}(x,t)\partial_ju(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\int_{\om}b_{j}(x,t_0)\partial_ju(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t_0\in(0,T)
\end{align}
となる. $c_{n_k} \to c$ in $L^2(Q_T)$であるので, $c_{n_k}u_{n_k} \to cu$ in $L^2(Q_T)$となる. よって
\begin{multline}
\left|\int_0^T\int_{\om}(c_{n_k}(x,t)u_{n_k}(x,t) - c(x,t)u(x,t))w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt\right| \\
\leqslant \int_0^T\int_{\om}|c_{n_k}(x,t)-c(x,t)||u_{n_k}(x,t)|w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
+ \left|\int_0^T\int_{\om}c_{n_k}(x,t)(u_{n_k}(x,t)-u(x,t))w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt\right|
\end{multline}
と評価でき, $k\to\infty$とすれば右辺は$0$に収束する. したがって,
\begin{equation}
\int_0^T\int_{\om}c_{n_k}(x,t)u_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \to \int_{\om}c(x,t_0)u(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t_0\in(0,T)
\end{equation}
を得る. さらに
\begin{align}
\int_0^T\int_{\om}f_{n_k}(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt
& \xrightarrow[k\to\infty]{}\int_0^T\int_{\om}f(x,t)w(x)\eta_{\e}(t-t_0)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\int_{\om}f(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t_0\in(0,T)
\end{align}
となるので, 得られた$u$が定義1をみたしていることが確かめられた. 一意性は, $\tilde{u} = u_1 - u_2$とし, $\tilde{u}$に関する初期値境界値問題
\begin{equation}
\begin{cases}
\partial_t\tilde{u} + \partial_t^{\alpha}\tilde{u} = L\tilde{u} & {\rm in}\ \ Q_T, \\
\tilde{u} = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T, \\
\tilde{u} = 0 & {\rm on}\ \ \om\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
を考え, 先程と同様の議論をすれば
\begin{equation}
\|\tilde{u}+I^{1-\alpha}\tilde{u}\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))} + \|\tilde{u}\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|\tilde{u}\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))} + \|\tilde{u}\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant 0
\end{equation}
が得られる. よって, ノルムの定義より$\tilde{u} = 0$ a.e. を得る. 以上で証明が完了した. $\square$
Regular solutions
本章では, 定理2の証明を行う. そのため, 次の補題を示す.
定理2と同様の仮定を与える. このとき, $t \in [0,T]$と各$n \in \N$に対して近似解$u_n$は
\begin{multline}
\max_{t \in [0,T]}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + I^{1-\alpha}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
+ \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|\nabla u_n(\tau)-\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{|\tau-s|^{\alpha+1}}\ dsd\tau + \frac{\lambda}{8}\int_0^t\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant C_1\left(\|\nabla u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t\|u_n(\tau)\|_{H_0^1(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau\right)
\end{multline}
をみたす. ただし, $C_1$は$\alpha, \lambda, T, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$と$\partial\om$の正則性に依存する定数である.
\eqref{18}の両辺に$\lambda_md_{n,m}$をかけて, $m = 1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
-\int_{\om}u_n'(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}\caputo u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n(x,t)\ dx \\
= -\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x,t)u(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx \\
- \int_{\om}f_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺第1項, 第2項は部分積分を用いると, $\Delta u_n = 0$, $\caputo u_n = 0$ on $\partial\om$かつ$\nabla u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$なので,
\begin{align}
-\int_{\om}u_n'(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx-\int_{\om}\caputo u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx
& = \int_{\om}\nabla u_n'(x,t)\cdot\nabla u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}\caputo\nabla u_n(x,t)\cdot\nabla u_n(x,t)\ dx \\
& \geqslant \frac{1}{2}\dt\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{2}\caputo\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{2\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|\nabla u_n(t) - \nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\alpha+1}}\ d\tau
\end{align}
とできる. 左辺第3項は部分積分と楕円型作用素の性質より
\begin{align}
-\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n(x,t)\ dx
& = \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}\partial_i(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t))\Delta u_n(x,t)\ dx \\
& \geqslant \frac{\lambda}{4}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 - C_{0,n}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
を得る. ここで, $C_{0,n}$は$\partial\om$の$C^2$ノルムと$\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j,n}(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する定数である. 一方, 右辺はHolderの不等式とCauchyの不等式より
\begin{align}
& -\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x,t)u(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx \\
& \leqslant \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)} + \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)} \\
& \hspace{10cm} + \|f_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla^2 u_n(t)\|_{L^2(\om)} \\
& \leqslant \frac{4}{\lambda}\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{16}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{4}{\lambda}\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
& \hspace{7cm} + \frac{\lambda}{16}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{4}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{16}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できるので, 以上をまとめると
\begin{multline}\label{28}\tag{28}
\dt\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \caputo\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|\nabla u_n(t) - \nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{|t-\tau|^{1+\alpha}}\ d\tau + \frac{\lambda}{8}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant C_{0,n}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{8}{\lambda}\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{8}{\lambda}\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{8}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
となる. よって, 任意の$n \in \N, t \in [0,T]$に対して$\kappa_n(t) \leqslant \displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)}$となるので, $C_{0,n} \leqslant C_0$をみたす$\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)}$と$\partial\om$の正則性のみに依存するある定数$C_0$が存在する. したがって,
\begin{multline}\label{29}\tag{29}
\dt\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \caputo\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|\nabla u_n(t) - \nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{|t-\tau|^{1+\alpha}}\ d\tau + \frac{\lambda}{8}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant \hat{h}_n(t)\|u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \frac{8}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
が得られる. ここで, $\hat{h}_n(t)$は$\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}(t)\|_{L^\infty(\om)}$と$\partial\om$の正則性, $\|b(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\lambda$に依存する関数である. 故に, \eqref{29}の両辺を$0$から$t$まで積分すると,
\begin{multline}\label{30}\tag{30}
\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + I^{1-\alpha}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|\nabla u_n(\tau) - \nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{|\tau-s|^{1+\alpha}}\ dsd\tau + \frac{\lambda}{8}\int_0^t\|\nabla^2u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant \|\nabla u_{n,0}\|_{L^2(\om)} + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|\nabla u_{0,n}\|_{L^2(\om)}^2 + \hat{q}_n(t)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{H_0^1(\om)}^2\ d\tau + \frac{8}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
が得られる. ただし, $\hat{q}_n(t)$は$\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_t)}$と$\partial\om$の正則性, $\|b\|_{L^\infty(Q_t)}$, $\|c\|_{L^\infty(Q_t)}$, $\lambda$に依存する$t$に関する非減少関数である. 右辺は補題4より$n$に関して一様有界である. 以上で補題の証明が完了した. $\square$
補題5より, 定理1と同様の議論をすることで, $u \in L^\infty(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))$となるweak solution $u$の存在が示され,
\begin{equation}
\sup_n\left\|\dt\biggl(u_n + I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}]\biggl)\right\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} + \sup_n\left\|\dt\biggl(u_n + I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}]\biggl)\right\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty
\end{equation}
が得られる. 以上で証明が完了した. $\square$
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