円を使って1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) ・・・ = 1を示そう！

はじめに

はじめまして^^
?! m と申します m(_ _)m
今回は円を使って$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1$を示そうと思います。
その前に前提知識を3つ得ましょう。

一つ目の前提知識

二つ目の前提知識

三つ目の前提知識

三つ目の前提知識は、
線上に二円、円$A$、円$B$があり、それらは互いに接している。
さらにその二円の間にあり、二円と直線に接する円$C$が存在することを証明します。

本題

直径が$1$の円$A$と円$B$がある。
円$A$と円$B$の間に円$C$がある。
接点$H$から接点$I$までの距離は線上二円定理より$1$である。
さらに円$A$と円$C$の間に円$D$、円$A$と円$D$の間に円$F$、円$A$と円$F$の間に$\cdots$という具合で無限に円が続いていく。(円$B$側も同様)
ただし、接点$H$、接点$I$を超えることはない
円$C$の直径を求める。
線上三円定理より、$\frac{1}{(\sqrt{1}+\sqrt{1}{)}^2}=\frac{1}{4}$
円$D$の直径を求める。
$\frac{\frac{1}{4}}{(\sqrt{1}+\sqrt{\frac{1}{4}}{)}^2}=\frac{1}{9}$
円$F$の直径を求める。
$\frac{\frac{1}{9}}{(\sqrt{1}+\sqrt{\frac{1}{9}}{)}^2}=\frac{1}{16}$
その後も円の直径を求めていくと、$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{36}$、$\frac{1}{49}$、$\cdots$と続いていく。
これらの数字には規則性があり、全て平方数であり、かつ$1^2、2^2、3^2、4^2\cdots$と順番どおりである。

なぜ平方数かつ順番通りなのか？

直径が$1$の円と直径が$\frac{1}{n^2}$の円を想像する。(それらは線上にあり、互いに接している。)
二円の間にある円の直径を求める。
$\frac{\frac{1}{n^2}}{(\sqrt{1}+\sqrt{\frac{1}{n^2}}{)}^2}=\frac{1}{(n+1{)}^2}$
$n+1=k$とすると
$\frac{\frac{1}{k^2}}{(\sqrt{1}+\sqrt{\frac{1}{k^2}}{)}^2}=\frac{1}{(k+1{)}^2}=\frac{1}{(n+2{)}^2}$
その後も計算していくと、$\frac{1}{(n+3{)}^2}$、$\frac{1}{(n+4{)}^2}$、$\frac{1}{(n+5{)}^2}$、$\cdots$、と続いていく。
$n$に$1$を代入すると、$\frac{1}{1^2}、\frac{1}{2^2}、\frac{1}{3^2}、\cdots$と平方数かつ順番通りに続いていく。

図$6$は図$5$の無限に連なる円を拡大した図である。
接点${\mathrm{T}}_C$から接点${\mathrm{T}}_D$までの距離を求める。
線上二円定理より$\sqrt{\frac{1}{4}\times \frac{1}{9}}=\frac{1}{6}$
接点${\mathrm{T}}_D$から接点${\mathrm{T}}_F$までの距離を求める。
$\sqrt{\frac{1}{9}\times \frac{1}{16}}=\frac{1}{12}$
接点${\mathrm{T}}_F$から接点${\mathrm{T}}_H$までの距離を求める。
$\sqrt{\frac{1}{16}\times \frac{1}{25}}=\frac{1}{20}$
接点${\mathrm{T}}_H$から接点${\mathrm{T}}_J$までの距離を求める。
$\sqrt{\frac{1}{25}\times \frac{1}{36}}=\frac{1}{30}$
その後も接点と接点との距離を求めていくと、$\frac{1}{42}$、$\frac{1}{56}$、$\frac{1}{72}$、$\cdots$と続いていく。
接点${\mathrm{T}}_C$から接点$H$までの距離は$\frac{1}{2}$なので、
$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\cdots =\frac{1}{2}$
円$B$側にも同じ距離があるため、$2$をかける
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}\cdots =1$
$\frac{1}{3}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+\frac{1}{5}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{7}(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots =1$
$\frac{1}{3}(\frac{3}{1\times 2})+\frac{1}{5}(\frac{5}{2\times 3})+\frac{1}{7}(\frac{7}{3\times 4})\cdots =1$
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}\cdots =1$
よって、タイトルの式が示された。

なぜ$\frac{1}{n(n+1)}$になるのか？

直径が$\frac{1}{(2n{)}^2}$の円、直径が$\frac{1}{(2n+1{)}^2}$の円、直径が$\frac{1}{(2n+2{)}^2}$の円を想像する。
線上二円定理より、$\sqrt{\frac{1}{(2n{)}^2}\times \frac{1}{(2n+1{)}^2}}+\sqrt{\frac{1}{(2n+1{)}^2}\times \frac{1}{(2n+2{)}^2}}$
$=\frac{1}{2n+1}(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2})$
$2$をかける。
$=\frac{1}{2n+1}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})$
$=\frac{1}{2n+1}(\frac{2n+1}{n(n+1)})$
$=\frac{1}{n(n+1)}$

おわりに

これは私が中学時代に思いついたものです。
歴史の教科書を見ていた時に和算のコラムがありまして、そこに次のような問題がありました。
「直径が36寸の大円と9寸の中円の間にある小円の直径を求めよ」
これを解いた後思いました。
「大円の直径を$p$、中円の直径を$q$として小円の直径$r$を表してみるか」
そして、線上二円定理と線上三円定理を思いつきました。
その後なぜだかわかりませんが図5が思いついて、タイトルの式が導けたわけです。
、、、
ちなみに線上二円定理という名前は中村信弥氏の「和算の図形公式」から借りました。
検索すれば出てくるはずです。
いろんな公式が載ってるので楽しめますよ。(もちろん証明もあり)
、、、
最後まで読んでいただきありがとうございました！！！m(_ _)m
(間違っている個所があったら指摘していただけると幸いです。高評価してくれたら嬉しいです！)