京大2012の代数学の問題の別解

まず、$x^3-2$が可約ならば$1$次因子を持つので、$x^3-2=0$は有理数解をもつ。　しかし、$x^3-2$は単調増加関数で、実数解は一つであり、1より、そんなことはない。

$\alpha$を根に持つような既約多項式は、$\alpha$を根に持つ多項式の中で最小の次数である(補題)ことを示そう。$f(x)$を$\alpha$を根に持つ最小の多項式であるとする。$g(x)$が$\alpha$を根に持つとして、$\deg f< \deg g$だとする。$g$を$f$で割ったときの商と余りを$p(x),q(x)$とすれば、$g=fp+r$と書ける。両辺で$x=\alpha$とすれば、$r(\alpha)=0,\deg r<\deg f$となり、$f$の次数の最小性より、$r(x)=0$でなくてはならない。すると$g(x)$は$f(x)$で割り切れるので、可約つまり、$\deg g$が最小でない$\Rightarrow g$は可約という補題の対偶が示せた。またこれは同時に$g(x)=P(x)$として適用すれば、2が従う。($\deg P=\deg f$の場合が気になるが、$P=fp+r$と書いたとき、$r$は定数関数かつ$x=\alpha$で$0$をとるから、$r=0$となるので2が従う。)

$P(x)$を$f(x)$でわると商と余りを$Q(x),R(x)$として、$P(x)=f(x)Q(x)+R(x)$と書ける。ここで、$R(x)$は最大二次式。
さらに$f(x)$を$R(x)$で割ることを考えると、$R(x)\neq 0$のとき、商、余りを$A(x),B(x)$として、$f(x)=R(x)A(x)+B(x)$ここで、$B(x)$は最大1次式。すると、$R(\alpha)=0$より、$B(\alpha)=0$であるが、$B$が1次式ならばある有理数$p,q$が存在して、$\alpha=-\frac{p}{q}$と書けるので1に反する。よって、$B(x)$は定数関数で$x=\alpha$で$0$をとるから、$B(x)=0$　この時、$f(x)$は$R(x)$で割り切れ、命題1に反する。ゆえに$R(x)=0$で2が従う。