自作問題あなぐら１０（n枚のカードの確率）
問題
$n$を$2$以上の整数とする．机の上に白いカードが$n$枚並べられている．$n$回さいころを投げ，出た目を１つずつ左のカードから順に記入していく．このようにして$10$進数で表された$n$桁の数$A$をつくる．例えば$n = 3$のとき，出た目が順に$1,\ 4,\ 5$であるなら$A = 145$である．以下の問いに答えよ．
- $A$が$4$の倍数である確率を求めよ．
- カードを並び替えることにより$A$から新たな自然数$A'$をつくる．適切にカードを並び替えて，$A'$が$5$の倍数にすることができる確率を求めよ．
- $A'$を$5$の倍数にすることができるとき，$A$が$4$の倍数であった確率を求めよ．
余話
確率漸化式ではない，かつ$n$絡みの確率の問題を作りたくて作成しました．しかし作成して思ったことですが，確率の問題文って難しいです．数学的厳密さを保ちながら具体的状況設定を描写するのがこんなに骨が折れるとは．上記の問題文をより良くブラッシュアップできる人，募集中です．
解答
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(1) 下4桁が4の倍数である確率を求めればよい．下2桁としてとりうる4の倍数は$12,\ 16,\ 24,\ 32,\ 36,\ 44,\ 52,\ 56,\ 64$だから$\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$．
(2) 少なくとも1回$5$が出る確率を求めればよい．1度も$5$が出ない確率は$\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ゆえ，求める確率は$1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．
(3) 各事象を$E_1$:$A$が4の倍数である，$E_2$:カードを適切に並び替えると$A'$を5の倍数にできる，と定める．$P(E_2) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$である．以下，$P(E_1 \cap E_2)$を求める．(i)下2桁が$52,\ 56$以外のとき，$A$の各位の数のうち少なくとも1つ5が現れる確率は「$A$の下2桁が$12,\ 16,\ 24,\ 32,\ 36,\ 44,\ 64$で，それ以外の桁で少なくとも1つ5が現れる確率」なので$\left\{1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-2}\right\} \times \dfrac{7}{36}$．(ii)下2桁が$52,\ 56$のとき，題意を満たす確率は$\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$．よって$P(E_1 \cap E_2) = \left\{1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-2}\right\} \times \dfrac{7}{36} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{25}\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．よって求める確率は$\dfrac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \dfrac{\frac{1}{4} - \frac{7}{25} (\frac{5}{6})^n}{1 - (\frac{5}{6})^n}$．
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