文献あり

Faà di Brunoの公式の紹介

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こんにちは、Mark6という者です。

この記事では、「Faà di Brunoの公式」という恒等式の紹介をします。個人的には知名度が低いと思うのですが、その割にいろんなところに顔を出し、そのため幾度となく再発見が繰り返される恒等式です。私の周りにもこの恒等式の~~被害者~~再発見者が数人います......

R. Kusabaさんのはてなブログ、 Wikipedia（英語）、名古屋市立大学のpdf など良質かつ詳細な解説があるので、この記事は軽い紹介をするにとどめます。

ここだけは読んで！

$\sum_{k = 1}^{n} k m_{k} = n$
という式に心当たりがありますか？
それは多分Faà di Brunoの公式（で解釈できるもの）です！！！

Faà di Brunoの公式

$\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x))$
$= \sum (\prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{m_{i}! (i!)^{m_{i}}}) n! f^{(\sum m_{i})} (g (x)) \prod_{i = 1}^{n} {(g^{(i)} (x))}^{m_{i}}$

ただし一番外のシグマは、 $\sum_{k = 1}^{n} k m_{k} = n$ を満たす非負整数列 $(m_{1}, \dots, m_{n})$ について和を取る。

もうすこし別の形でも述べておきましょう。ただのちょっとした式変形です。

Faà di Brunoの公式-2

$\frac{(f \circ g)^{(n)} (x)}{n!}$
$= \sum \prod_{i = 1}^{n} {(\frac{g^{(i)} (x)}{i!})}^{m_{i}} \frac{f^{(\sum m_{i})} (g (x))}{\prod_{i = 1}^{n} m_{i}!}$

こう見ると、「 $f \circ g$ の $n$ 階微分」を、「 $f$ の微分」と「 $g$ の微分」で表示する公式、とみることができます。この公式の $n = 1$ の場合が連鎖律 $(f \circ g)^{'} (x) = g^{'} (x) f^{'} (g (x))$ ですね。これを高階に拡張したのがFaà di Brunoの公式です。

どんなところに顔を出すの？

雑な議論ですが、
$f (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}, g (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} b_{n} x^{n}$
と級数展開し、さらに
$(f \circ g) (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{n} x^{n}$
と級数展開します。そしてFaà di Brunoの公式-2の両辺に $x = 0$ を代入すると、左辺は $c_{n}$ そのものであり、右辺は $a_{n}$ と $b_{n}$ に関する式です。