複素Clifford代数の既約表現と余次元1への制限
本記事の目的は最後にある命題4です．一応記事としての体裁を保つためにクリフォード代数の最低限の基本事項も含めていますが，基本的には自分のための備忘録なので，詳しいことは適切な書籍をご参照ください．
Clifford代数の基本事項
$\mathbb{C}^n$ 上の標準的な双線形内積 $q \colon \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ を考える．$$ v \cdot w + w \cdot v = -2q(v,w)$$の関係式で生成される $\mathbb{C}$ 上の代数を $\mathbb{C}\ell_n$ と書き，複素 Clifford 代数と呼ぶ．Clifford 代数の積を「$\cdot$」で表すが，適宜省略することもある．また，$$ \omega^{\mathbb{C}}_n = i^{[(n+1)/2]}e_1 \cdots e_n$$を $\mathbb{C}\ell_n$ の volume element と呼ぶ．
volume element は $(\omega^{\mathbb{C}}_n)^2 = 1$ を満たす(そうなるようにするために$i^{[(n+1)/2]}$をつけている)．
$\alpha \colon \mathbb{C}\ell_n \to \mathbb{C}\ell_n$ を $\alpha(v)=-v\ (v\in\mathbb{C}^n)$ から定まる代数準同型とする．$\alpha^2=\mathrm{Id}$ であるから，$\alpha$は固有値 $\pm1$ を持つ．固有値 $+1$ に対応する固有空間を $\mathbb{C}\ell_n^0$，固有値 $-1$ に対応する固有空間を $\mathbb{C}\ell_n^1$ と書く．
つまり，$\mathbb{C}\ell_n^0$ は偶数次の元からなる部分代数であり，$\mathbb{C}\ell_n^1$ は奇数次の元からなる部分空間である．次に，$\mathbb{C}\ell_n$ の表現について考える．実は $\mathbb{C}\ell_n$ の任意の有限次元表現は既約表現の直和に分解できる．そこで既約表現だけに注目する．
複素 Clifford 代数 $\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現は次のように分類される．
- $n$ が偶数のとき，$\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現は同値なものを除いてただ1つ存在する．その次元は $2^{\frac{n}{2}}$ である．
- $n$ が奇数のとき，$\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現は互いに非同値なものが2つ存在する．その次元は $2^{\frac{n-1}{2}}$ である．またその2つの既約表現は，volume element $\omega^{\mathbb{C}}_n$ の作用が $\pm\mathrm{Id}$ であることによって区別される．
$n$ が偶数のとき，ただ1つの既約表現を $\chi_n \colon \mathbb{C}\ell_n \to \operatorname{End}(\Sigma_n)$ と表す．また，$n$ が奇数のとき，2つの既約表現を，volume element $\omega^{\mathbb{C}}_n$ の作用によってそれぞれ $\chi_n^+ \colon \mathbb{C}\ell_n \to \operatorname{End}(\Sigma_n)$ と $\chi_n^- \colon \mathbb{C}\ell_n \to \operatorname{End}(\Sigma_n)$ と表す．
$n$ が奇数のとき，ベクトル $v\in\mathbb{C}^n$ に対して，$\chi_n^+(v)=-\chi_n^-(v)$ が成り立つように，$\chi_n^+$ と $\chi_n^-$ を選ぶことができる．以降では，このように選ばれた $\chi_n^+$ と $\chi_n^-$ を用いる．
余次元1への制限
$\mathbb{C}^{n+1}$ の標準基底を $e_0,e_1,\ldots,e_n$ とし，$\mathbb{C}^n=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_n\}\subset\mathbb{C}^{n+1}$ とする．Clifford 代数の間にも自然な包含写像$$ \iota \colon \mathbb{C}\ell_n \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}\ell_{n+1}^0 \subset \mathbb{C}\ell_{n+1}, \qquad \iota(e_i)=e_0e_i \quad (i=1,\ldots,n)$$が誘導される．以降，$\iota$ によって $\mathbb{C}\ell_n$ と $\mathbb{C}\ell_{n+1}^0$ を同一視する．
既約分解
$n$ が偶数の場合
$n=2m$ とする．$n+1$ は奇数であるから，$\mathbb{C}\ell_{n+1}$ の既約表現は $(\chi_{n+1}^+,\Sigma_{n+1})$ と $(\chi_{n+1}^-,\Sigma_{n+1})$ の2つである．$\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現は $(\chi_n,\Sigma_n)$ の1つである．$\chi_{n+1}^{\pm}$ を $\mathbb{C}\ell_n$ に制限すると，次元の勘定により，$\chi_{n+1}^{\pm}|_{\mathbb{C}\ell_n}$ は既約表現であることがわかる．実際，$\dim\Sigma_{n+1}=2^m$ である一方で $\dim\Sigma_n=2^m$ であり一致している．したがって，次が成り立つ．
$\mathbb{C}\ell_n$ の表現として$$ (\chi_{n+1}^+|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}) \cong (\chi_n,\Sigma_n) \cong (\chi_{n+1}^-|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1})$$が成り立つ．
$n$ が奇数の場合
$n=2m+1$ とする．$n+1$ は偶数であるから，$\mathbb{C}\ell_{n+1}$ の既約表現は $(\chi_{n+1},\Sigma_{n+1})$ の1つである．$\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現は $(\chi_n^+,\Sigma_n)$ と $(\chi_n^-,\Sigma_n)$ の2つである．ただし $\chi_n^+(e_i)=-\chi_n^-(e_i)$ が成り立つ．$\chi_{n+1}$ を $\mathbb{C}\ell_n$ に制限すると，次元の勘定により，$\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n}$ は既約表現ではないことがわかる．実際，volume element $\omega^{\mathbb{C}}_{n+1}$ の固有値 $\pm1$ に対応する固有空間を $\Sigma_{n+1}^+,\Sigma_{n+1}^-$ と書けば，各 $\Sigma_{n+1}^{\pm}$ は $\mathbb{C}\ell_n$ の（既約）表現であり，$\mathbb{C}\ell_n$ の表現として $\Sigma_{n+1}=\Sigma_{n+1}^+\oplus\Sigma_{n+1}^-$ が成り立つことがわかる．なお，$\frac12(1\pm\omega^{\mathbb{C}}_{n+1})$ が $\Sigma_{n+1}^{\pm}$ への射影を与える．すなわち$$ \Sigma_{n+1}^{\pm}=\chi_{n+1}\left(\frac{1\pm\omega^{\mathbb{C}}_{n+1}}{2}\right)\Sigma_{n+1}$$である．さて，$\Sigma_{n+1}^{\pm}$ は $\mathbb{C}\ell_n$ の既約表現であるから，$\mathbb{C}\ell_n$ の2つの既約表現のうちのどちらかと同値になっているはずである．
$\mathbb{C}\ell_n$ の表現として次の同値が成り立つ．
- $(\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}^+)\cong(\chi_n^+,\Sigma_n)$
- $(\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}^-)\cong(\chi_n^-,\Sigma_n)$
$\mathbb{C}\ell_n$ の volume element を $\mathbb{C}\ell_{n+1}$ に埋め込むと$$ \iota(\omega_n^{\mathbb{C}})=\iota(i^{m+1}e_1\cdots e_{2m+1})=i^{m+1}e_0e_1\cdot e_0e_2\cdots e_0e_{2m+1}=i^{m+1}e_0e_1\cdots e_{2m+1}=\omega^{\mathbb{C}}_{n+1}$$となり，$\mathbb{C}\ell_{n+1}$ の volume element $\omega^{\mathbb{C}}_{n+1}$ になる．したがって $\Sigma_{n+1}^+$ の定義から，任意の $\phi\in\Sigma_{n+1}^+$ に対して$$ \chi_{n+1}(\iota(\omega_n^{\mathbb{C}}))\phi=\chi_{n+1}(\omega_{n+1}^{\mathbb{C}})\phi=\phi$$が成り立つ．すなわち，$\omega_n^{\mathbb{C}}$ は $\Sigma_{n+1}^+$ に対して $\mathrm{Id}$ として作用するから，$(\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}^+)\cong(\chi_n^+,\Sigma_n)$ が成り立つ．マイナスの方も全く同様に示される．
Ambient の作用
Clifford 代数 $\mathbb{C}\ell_n$ の $\Sigma_n$ への作用を $\alpha\cdot\phi\ (\alpha\in\mathbb{C}\ell_n,\ \phi\in\Sigma_n)$ と表すことにする．$n$ が奇数の場合は作用の取り方が2つあるが，ここでは常に $\chi_n^+$ を用いることにする．すなわち$$ \alpha\cdot\phi=\begin{cases}\chi_n(\alpha)\phi & (n\colon\text{even}),\\\chi_n^+(\alpha)\phi & (n\colon\text{odd})\end{cases}$$と定める．当記事の目的は次の命題である．
$\mathbb{C}\ell_n$ の表現としての同値を与える写像$$ \begin{aligned}A&\colon\Sigma_{n+1}\to\Sigma_n && (n\colon\text{even}),\\A=A_+\oplus A_-&\colon\Sigma_{n+1}=\Sigma_{n+1}^+\oplus\Sigma_{n+1}^-\to\Sigma_n\oplus\Sigma_n && (n\colon\text{odd})\end{aligned}$$であって次の性質を満たすものが存在する．ただし $n$ が奇数のとき，$\Sigma_n\oplus\Sigma_n$ に入っている表現は $\chi_n^+\oplus\chi_n^-$ であることに注意する．
- 任意の $v\in\mathbb{C}^n$，$\phi\in\Sigma_{n+1}$ に対して，$$ A(e_0\cdot v\cdot\phi)=\begin{cases}v\cdot A(\phi) & (n\colon\text{even}),\\(v\cdot A_+(\phi_+),-v\cdot A_-(\phi_-)) & (n\colon\text{odd})\end{cases}$$が成り立つ．ただし，$n$ が奇数のとき，$\phi=\phi_++\phi_-$ は $\Sigma_{n+1}=\Sigma_{n+1}^+\oplus\Sigma_{n+1}^-$ に沿って分解したものである．
- 任意の $\phi\in\Sigma_{n+1}$ に対して，$$ A(ie_0\cdot\phi)=\begin{cases}A(\phi)_+-A(\phi)_- & (n\colon\text{even}),\\(A_-(\phi_-),A_+(\phi_+)) & (n\colon\text{odd})\end{cases}$$が成り立つ．
条件 (1) は $A$ が $\mathbb{C}\ell_n$ の作用と可換であることを言い換えただけである．実際，$n$ が偶数ならば補題1より$$ A(e_0\cdot v\cdot\phi)=A(\chi_{n+1}^+(e_0\cdot v)\phi)=A(\chi_{n+1}^+(\iota(v))\phi)=\chi_n(v)A(\phi)$$であり，$n$ が奇数のときも同様に補題2より$$ A(e_0\cdot v\cdot\phi)=A(\chi_{n+1}(\iota(v))\phi)=(\chi_n^+(v)\oplus\chi_n^-(v))A(\phi)=(\chi_n^+(v)A_+(\phi_+),\chi_n^-(v)A_-(\phi_-))$$と示される．したがって，条件 (1) は自動的に成り立つ．そこで問題は条件 (2) が成り立つように $A$ を構成できるかどうかである．
(i) $n$ が偶数の場合 実はこの場合は条件 (2) も自動的に成り立つ．$\mathbb{C}\ell_n$ の volume element $\omega_n^{\mathbb{C}}$ に関して$$ \iota(\omega_n^{\mathbb{C}})=\iota(i^m e_1\cdots e_{2m})=i^m e_0e_1\cdot e_0e_2\cdots e_0e_{2m}=i^m e_1\cdots e_{2m}$$が成り立つことから$$ \begin{aligned}A(\phi)&=A(\chi_{n+1}^+(\omega_{n+1}^{\mathbb{C}})\phi)\\&=A(\chi_{n+1}^+(i^{m+1}e_0\cdot e_1\cdots e_{2m})\phi)\\&=A(\chi_{n+1}^+(i^{m+1}e_1\cdots e_{2m}\cdot e_0)\phi)\\&=A(\chi_{n+1}^+(i^m e_1\cdots e_{2m})\chi_{n+1}^+(ie_0)\phi)\\&=A(\chi_{n+1}^+(\iota(\omega_n^{\mathbb{C}}))\chi_{n+1}^+(ie_0)\phi)\\&=\chi_n(\omega_n^{\mathbb{C}})A(\chi_{n+1}^+(ie_0)\phi)\end{aligned}$$が成り立つ．この両辺に左から $\chi_n(\omega_n^{\mathbb{C}})$ を作用させると，$\chi_n(\omega_n^{\mathbb{C}})^2=\mathrm{Id}$ であることから$$ A(\chi_{n+1}^+(ie_0)\phi)=\chi_n(\omega_n^{\mathbb{C}})A(\phi)$$が得られる．分解 $\Sigma_n=\Sigma_n^+\oplus\Sigma_n^-$ に沿って $A(\phi)=A(\phi)_++A(\phi)_-$ とすると，$\Sigma_n^{\pm}$ は $\omega_n^{\mathbb{C}}$ の固有値 $\pm1$ の固有空間であるから，$\chi_n(\omega_n^{\mathbb{C}})A(\phi)=A(\phi)_+-A(\phi)_-$が成り立つ．
(ii) $n$ が奇数の場合 便宜的に $T=i\chi_{n+1}(e_0)\in\operatorname{End}(\Sigma_{n+1})$ とおく．$T$ は volume element $\omega_{n+1}^{\mathbb{C}}$ の作用と反可換であるから，$T$ は $\Sigma_{n+1}^{\pm}$ を入れ替える．すなわち，$T\colon\Sigma_{n+1}^{\pm}\to\Sigma_{n+1}^{\mp}$ であることに注意する．また $T^2=\mathrm{Id}$ であることも容易に確認できる．さて，補題2より，$\mathbb{C}\ell_n$ の表現としての同値を与える写像$A_+\colon(\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}^+)\to(\chi_n^+,\Sigma_n)$が存在する．この $A_+$ に対して $A_-=A_+\circ T\colon\Sigma_{n+1}^-\to\Sigma_n$ と定めると，$A_-$ は $\mathbb{C}\ell_n$ の表現としての同値 $(\chi_{n+1}|_{\mathbb{C}\ell_n},\Sigma_{n+1}^-)\cong(\chi_n^-,\Sigma_n)$ を与える．実際，任意の $v\in\mathbb{C}^n$，$\phi_-\in\Sigma_{n+1}^-$ に対して$$ \begin{aligned}A_-(\chi_{n+1}(\iota(v))\phi_-)&=(A_+\circ T)(\chi_{n+1}(e_0v)\phi_-)\\&=A_+(i\chi_{n+1}(e_0e_0v)\phi_-)\\&=-A_+(i\chi_{n+1}(e_0ve_0)\phi_-)\\&=-A_+(i\chi_{n+1}(\iota(v))\chi_{n+1}(e_0)\phi_-)\\&=-\chi_n^+(v)A_+(i\chi_{n+1}(e_0)\phi_-)\\&=\chi_n^-(v)A_-(\phi_-)\end{aligned}$$となる（最後の等号は定義3のあとの注意を参照）．以上で得られた $A_+$ と $A_-$ を用いて，$A=A_+\oplus A_-\colon\Sigma_{n+1}^+\oplus\Sigma_{n+1}^-\to\Sigma_n\oplus\Sigma_n$と定めると，$$ A(ie_0\cdot\phi)=A(T(\phi))=(A_+(T(\phi)_+),A_-(T(\phi)_-))=(A_+(T(\phi_-)),A_-(T(\phi_+)))=(A_-(\phi_-),A_+(\phi_+))$$となり，条件 (2) が成り立つことが確認できる．ただし途中で $T(\phi)_{\pm}=T(\phi_{\mp})$ が成り立つことを用いた．これは $T$ が $\Sigma_{n+1}^{\pm}$ を入れ替えることから従う．
