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アーベル群の性質1 アーベル群の部分群の和集合

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アーベル群の部分群の和集合はいつアーベル群になるでしょうか.次の命題が成り立ちます.

Aを群とする.S, Tをその部分群とするとき, STが群となるための必要十分条件は片方がもう片方に含まれることである.

十分性は明らかである.STが部分群であるとする.どちらももう片方を含まないとすると, Tに入らないSの元sSに入らないTの元tが存在する. STは部分群だからstSTの元. これがSの元ならsを引いてtSの元となり仮定に反する. Tの元でも同様.

背理法では, 結論が弱いとその否定は強くなります.

一方多くの和を取る場合は包含がなくても部分群になります.

Gの元ggn=eとなるnNがある時捩れ元(torsion element)という.全ての元が捩れ元であるとき捩れ群(torison group)といい, 単位元を除く全ての元が捩れ元でないとき捩れのない群(torsion-free group)という.

アーベル群Aの捩れ元全体Tは部分群をなし, A/Tは捩れのない群となる.

x, yAを捩れ元とし, それぞれの位数をm, nとする. mn(xy)=n(mx)m(ny)=0なのでxyも捩れ元であり, 部分群となる. もしxAに対しxTが捩れ元ならあるnが存在してnxT=T, nxTとなりxが捩れ元でない仮定に反する.

最後に捩れなし群の性質を結果だけ書きます.

全ての元の位数がある素数pのべきになっている群を準素群という.

捩れ群は準素群の直和である.

Q/Zは全ての素数に対するZ(p)の直和である.ここでZ(p)1の全てのpn乗根達が複素数の積でなす群である.

投稿日:202415
更新日:2024110
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