アーベル群の部分群の和集合はいつアーベル群になるでしょうか.次の命題が成り立ちます.
を群とする., をその部分群とするとき, が群となるための必要十分条件は片方がもう片方に含まれることである.
十分性は明らかである.が部分群であるとする.どちらももう片方を含まないとすると, に入らないの元とに入らないの元が存在する. は部分群だからはの元. これがの元ならを引いてもの元となり仮定に反する. の元でも同様.
背理法では, 結論が弱いとその否定は強くなります.
一方多くの和を取る場合は包含がなくても部分群になります.
群の元はとなるがある時捩れ元(torsion element)という.全ての元が捩れ元であるとき捩れ群(torison group)といい, 単位元を除く全ての元が捩れ元でないとき捩れのない群(torsion-free group)という.
アーベル群の捩れ元全体は部分群をなし, は捩れのない群となる.
を捩れ元とし, それぞれの位数をとする. なのでも捩れ元であり, 部分群となる. もしに対しが捩れ元ならあるが存在して, となりが捩れ元でない仮定に反する.
最後に捩れなし群の性質を結果だけ書きます.
全ての元の位数がある素数のべきになっている群を準素群という.
は全ての素数に対するの直和である.ここではの全ての乗根達が複素数の積でなす群である.