圏の視点から見た, 変換関数によるファイバー束の構成
1. ファイバー束の定義と変換関数
$E,M,F$を位相空間, $\pi:E\to M$を連続写像, $\{U_i\}_{i\in I}$を$M$の開被覆, 各$i\in I$に対して$\psi_i:\pi^{-1}(U_i)\to U_i\times F$を連続写像とする. このとき, 以下の条件を満たす$(E,M,\pi,F,\{U_i,\psi_i\}_{i\in I})$を, 典型的ファイバー$F$を持つファイバー束という.
- $\pi$は全射である.
- $\psi_i$は同相であり, 以下の図式が可換である. ここで, $p_i:U_i\times F\to U_i$は第一成分に対する射影である.
\begin{xy} \xymatrix{ \pi^{-1}(U_i)\ar^{\psi_i}[rr]\ar_{\pi|_{\pi^{-1}(U_i)}}[rd]&&U_i\times F\ar^{p_i}[ld]\\ &U_i& } \end{xy}
本によっては構造群をファイバー束の定義に含める場合があるarai.
次に, ファイバー束が持つ変換関数について見る. 以下では, $U_{ij}=U_i\cap U_j$や, $U_{ijk}=U_i\cap U_j\cap U_k$などの記法を用いる.
$(E,M,\pi,F,\{U_i,\psi_i\}_{i\in I})$をファイバー束とする. このとき連続写像$g_{ij}:U_{ij}\times F\to F$を
\begin{align}
(x,g_{ij}(x)f):=\psi_j\circ\psi_i^{-1}(x,f)
\end{align}
となるように定義する. この$\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$を変換関数という.
本来は$g_{ij}(x,f)$と書くべきであるが, $F$に作用していることを強調するために$g_{ij}(x)f$という記法を採用している.
以下は, 変換関数の持っている性質である(定義から自明である).
ファイバー束$(E,M,\pi,F,\{U_i,\psi_i\}_{i\in I})$の変換関数$\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$は以下の性質をもつ.
- 任意の$x\in U_i,\ f\in F$に対して,
\begin{align} g_{ii}(x)f=f. \end{align} - 任意の$x\in U_{ij},\ f\in F$に対して,
\begin{align} g_{ji}(x)g_{ij}(x)f=f. \end{align} - 任意の$x\in U_{ijk},\ f\in F$に対して,
\begin{align} g_{ki}(x)g_{jk}(x)g_{ij}(x)f=f. \end{align}
2. 変換関数を用いたファイバー束の構成
次に, $(M,F,\{U_i\}_{i\in I})$と, コサイクル条件を満たす写像の列$\{g_{ij}:U_{ij}\times F\to F\}_{i,j\in I}$が与えられたときに, その$\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$が変換関数として得られるファイバー束が構成できることを見る.
連続写像$\displaystyle s,t:\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\times F\to\coprod_{i\in I}U_{i}\times F$と$\displaystyle s',t':\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\to\coprod_{i\in I}U_{i}$を,
\begin{align}
s(i,j,x,f)&=(j,x,g_{ij}(x)f),\\
t(i,j,x,f)&=(i,x,f),\\
s'(i,j,x)&=(j,x),\\
t'(i,j,x)&=(i,x)
\end{align}
と定義する. このとき以下のような2つのcoequalizerを考えることができる.
\begin{xy}
\xymatrix{
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\times F\ar@<0.5ex>[r]^-s \ar@<-0.5ex>[r]_-t&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\times F\ar^-u[r]& \text{coeq} (s,t)\\
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\ar@<0.5ex>[r]^-{s'} \ar@<-0.5ex>[r]_-{t'}&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\ar^-{u'}[r]& \text{coeq} (s',t')
}
\end{xy}
ここで, $\text{coeq} (s',t')\cong M$である. さらに, $E=\text{coeq} (s,t)$とおけば,
\begin{xy}
\xymatrix{
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\times F\ar@<0.5ex>[r]^-s \ar@<-0.5ex>[r]_-t&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\times F\ar^-u[r]& E\\
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\ar@<0.5ex>[r]^-{s'} \ar@<-0.5ex>[r]_-{t'}&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\ar^-{u'}[r]& M
}
\end{xy}
とかける. ここで, 各普遍性から, 以下のような全射$p,\varpi$が一意に存在する.
\begin{xy}
\xymatrix{
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\times F\ar@<0.5ex>[r]^-s \ar@<-0.5ex>[r]_-t\ar[d]_-\varpi&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\times F\ar^-u[r]\ar[d]_-p& E\\
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\ar@<0.5ex>[r]^-{s'} \ar@<-0.5ex>[r]_-{t'}&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\ar^-{u'}[r]& M
}
\end{xy}
このとき
\begin{align}
(u'\circ p)\circ s&=u'\circ p\circ s\\
&=u'\circ s'\circ \varpi\\
&=u'\circ t'\circ \varpi\\
&=u'\circ p\circ t\\
&=(u'\circ p)\circ t
\end{align}
であるので, $E=\text{coeq}(s,t)$の普遍性から, 以下のような全射$\pi$が一意に存在する.
\begin{xy}
\xymatrix{
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\times F\ar@<0.5ex>[r]^-s \ar@<-0.5ex>[r]_-t\ar[d]_-\varpi&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\times F\ar^-u[r]\ar[d]_-p& E\ar[d]^-\pi\\
\displaystyle\coprod_{i,j\in I}U_{ij}\ar@<0.5ex>[r]^-{s'} \ar@<-0.5ex>[r]_-{t'}&\displaystyle\coprod_{i\in I}U_{i}\ar^-{u'}[r]& M
}
\end{xy}
ここで, $\displaystyle\iota_i:U_i\times F\to \coprod_{i\in I}U_i\times F$と$\displaystyle\iota'_i:U_i\to \coprod_{i\in I}U_i$を考えたとき, 以下の2つの図式はどちらもpullbackとなる(証明は略, $U_i\times F$の普遍性を示す際に, $\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$がコサイクル条件を満たすことが必要となる).
\begin{xy}
\xymatrix{
U_i\times F\ar[r]^{u\circ\iota_i}\ar[d]_{p_i}&E\ar[d]^{\pi}&\pi^{-1}(U_i)\ar[d]_{\pi|_{\pi^{-1}(U_i)}}\ar@{^{(}->}[r]&E\ar[d]^{\pi}\\
U_i\ar[r]_{u'\circ\iota'_i}&M&U_i\ar[r]_{u'\circ\iota'_i}&M
}
\end{xy}
すると, 2つのpullback$\pi^{-1}(U_i),\ U_i\times F$は同型であるので, その同型射を$\psi_i:\pi^{-1}(U_i)\to U_i\times F$とおくと, 自動的に以下の図式が可換となる.
\begin{xy}
\xymatrix{
\pi^{-1}(U_i)\ar^{\psi_i}[rr]\ar_{\pi|_{\pi^{-1}(U_i)}}[rd]&&U_i\times F\ar^{p_i}[ld]\\
&U_i&
}
\end{xy}
以上で得られた$(E,M,\pi,F,\{U_i,\psi_i\}_{i\in I})$は, まさにファイバー束の定義を満たす. さらに, 次の図式
\begin{xy}
\xymatrix{
\pi^{-1}(U_i)\ar^{\psi_i}[rr]\ar@{_{(}->}[rd]&&U_i\times F\ar^{u\circ\iota_i}[ld]\\
&E&
}
\end{xy}
も可換であることから,
\begin{align}
\psi_i^{-1}(x,f)&=u\circ\iota_i(x,f)\\
&=u(i,x,f)
\end{align}
であることがわかる. また, coequalizerの構成的に,
\begin{align}
u(i,x,f)&=u(j,x,g_{ij}(x)f)
\end{align}
であることから,
\begin{align}
\psi_i^{-1}(x,f)&=u(j,x,g_{ij}(x)f)\\
&=\psi_j^{-1}(x,g_{ij}(x)f).
\end{align}
したがって
\begin{align}
\psi_j\circ\psi_i^{-1}(x,f)&=(x,g_{ij}(x)f)
\end{align}
となることがわかり, $\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$がまさに変換関数の定義を満たしていることがわかる.
