自作問題あなぐら８（複素数列の漸化式）

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問題

　 $α$ は $| α | = 1$ を満たす複素数の定数とし， $β$ を $0$ でない実数の定数とする．複素数列 ${z_{n}}$ を以下のように定義する．
$z_{1} = 1, z_{n + 1} = α z_{n} + β (n = 1, 2, \dots)$
ただし，虚数単位は $i$ とする．

$α = i$ ， $β = 2$ のとき，複素数平面上で点 $z_{n} (n = 1, 2, \dots)$ は同一円周上に存在することを示し，その円の中心と半径を求めよ．
複素数平面上で点 $z_{n} (n = 1, 2, \dots)$ が原点を中心とし，半径を $1$ とする円周上にあるような $α$ ， $β$ を求めよ．

余話

　一時期，たくさん複素数平面の問題を作っていました．というのも，当時，受けもっていた生徒さんが複素数平面を苦手としていたからです．この分野の問題を調べて扱っていく中で，痒い所に手が届くような問題が少ない（~~探しきれなかったともいう~~）と感じ，作成＆出題を繰り返していました．自作問題あなぐらシリーズに複素数平面の問題が多いのはこのためです．~~誰も読んでないよとかいうのやめて~~

解答

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(1) 漸化式は $z_{n + 1} = i z_{n} + 2$ ゆえ $z_{n + 1} - (1 + i) = i {z_{n} - (1 + i)}$ ．よって
$z_{n} - (1 + i) = i^{n - 1} (z_{1} - (1 + i)) = - i^{n}, ∴ z_{n} = 1 + i - i^{n} .$
よって $| z_{n} - (1 + i) | = 1$ が成立するので，点列 ${z_{n}}$ は複素数平面上で中心 $1 + i$ ，半径 $1$ の円周上に存在する．
(2) 任意の $n$ に対して $| z_{n} | = 1$ となるような $α$ ， $β$ を求めればよい． $| z_{2} | = 1$ かつ $| z_{3} | = 1$ が必要だから， $| α | = 1$ および $β = \bar{β} \neq 0$ を用いて整理すると
${\begin{cases} | α + β | = 1, \\ | α^{2} + α β + β | = 1 \end{cases} ∴ {\begin{cases} 2 Re (α) + β = 0, \\ β + 2 Re (α) β + (α^{2} + {\bar{α}}^{2}) = 0. \end{cases}$
第１式より $α = - β / 2 + y i (y \in R)$ とおけるから， $| α | = 1$ および第２式に用いて
${\begin{cases} \sqrt{\frac{β^{2}}{4} + y^{2}} = 1, \\ β - \frac{β^{2}}{2} - 2 y^{2} = 0 \end{cases} ∴ {\begin{cases} β = 2, \\ y = 0. \end{cases}$
よって $α = - 1$ ， $β = 2$ が必要．逆にこのとき，任意の $n \in N$ に対して $| z_{n} | = 1$ であることを示す． $α = - 1$ ， $β = 2$ のとき漸化式は $z_{n + 1} = - z_{n} + 2$ で， $z_{1} = 1$ から帰納的に $z_{n} = 1$ が示される．よって $α = - 1$ ， $β = 2$ で十分であることが示された．したがって求めるものは $α = - 1$ ， $β = 2$ ．