自作問題あなぐら８（複素数列の漸化式）
問題
$\alpha$は$|\alpha| = 1$を満たす複素数の定数とし，$\beta$を$0$でない実数の定数とする．複素数列$\{z_n\}$を以下のように定義する．
$$
z_1 = 1, \qquad z_{n+1} = \alpha z_n + \beta \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots)
$$
ただし，虚数単位は$i$とする．
- $\alpha = i$，$\beta = 2$のとき，複素数平面上で点$z_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$は同一円周上に存在することを示し，その円の中心と半径を求めよ．
- 複素数平面上で点$z_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$が原点を中心とし，半径を$1$とする円周上にあるような$\alpha$，$\beta$を求めよ．
余話
一時期，たくさん複素数平面の問題を作っていました．というのも，当時，受けもっていた生徒さんが複素数平面を苦手としていたからです．この分野の問題を調べて扱っていく中で，痒い所に手が届くような問題が少ない（探しきれなかったともいう）と感じ，作成＆出題を繰り返していました．自作問題あなぐらシリーズに複素数平面の問題が多いのはこのためです．誰も読んでないよとかいうのやめて
解答
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(1) 漸化式は$z_{n+1} = i z_n + 2$ゆえ$z_{n+1} - (1+i) = i \{z_n - (1+i)\}$．よって
$$
z_n - (1+i) = i^{n-1} (z_1 - (1+i)) = - i^{n}, \qquad \therefore z_n = 1 + i - i^n.
$$
よって$|z_n - (1+i)| = 1$が成立するので，点列$\{z_n\}$は複素数平面上で中心$1+i$，半径$1$の円周上に存在する．
(2) 任意の$n$に対して$|z_n| = 1$となるような$\alpha$，$\beta$を求めればよい．$|z_2| = 1$かつ$|z_3| = 1$が必要だから，$|\alpha| = 1$および$\beta = \bar{\beta} \neq 0$を用いて整理すると
$$
\begin{cases}
|\alpha + \beta| = 1, \\
|\alpha^2 + \alpha \beta + \beta| = 1
\end{cases}
\qquad
\therefore
\begin{cases}
2 \Re(\alpha) + \beta = 0, \\
\beta + 2 \Re(\alpha) \beta + (\alpha^2 + \bar{\alpha}^2) = 0.
\end{cases}
$$
第１式より$\alpha = - \beta/2 + y i \ (y \in \mathbb{R})$とおけるから，$|\alpha| = 1$および第２式に用いて
$$
\begin{cases}
\sqrt{\dfrac{\beta^2}{4} + y^2} = 1, \\
\beta - \dfrac{\beta^2}{2} - 2 y^2 = 0
\end{cases}
\qquad \therefore
\begin{cases}
\beta = 2, \\
y = 0.
\end{cases}
$$
よって$\alpha = - 1$，$\beta = 2$が必要．逆にこのとき，任意の$n \in \mathbb{N}$に対して$|z_n| = 1$であることを示す．$\alpha = - 1$，$\beta = 2$のとき漸化式は$z_{n+1} = - z_n + 2$で，$z_1 = 1$から帰納的に$z_n = 1$が示される．よって$\alpha = - 1$，$\beta = 2$で十分であることが示された．したがって求めるものは$\alpha = - 1$，$\beta = 2$．
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