HKA杯 解説

求値問題

ユーグリッドの互除法より，
$$\begin{aligned} \gcd(2051^n+4099^n,2051^{n+1}+4099^{n+1}-2051^{n}) & =\gcd(2051^n+4099^n,2049\times 4099^{n})\\\\ & =\gcd(2051^n+4099^n,2049) \leqq 2049 \end{aligned}$$
よって，この式は $2051^n+4099^n$ が $2049$ の倍数となるとき最大値 $2049$ をとる．
$2^n+1\equiv 0 \pmod {2049}$ を満たす最小の $n$ は $\mathbf{11}$．

$x,y,z$ は正より，相加・相乗平均の大小関係から，
$$\begin{aligned} xy+yz+zx=\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\Big) xyz & \geqq \Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\Big) (x+2y+3z)\\\\ & = 6+ \dfrac{x}{y}+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{3z}{y}+\dfrac{3z}{x}+\dfrac{x}{z}\\\\ & \geqq \mathbf{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}} \end{aligned}$$
等号成立は，$xyz=x+2y+3z$ かつ $x:y:z=\sqrt{6}:\sqrt{3}:\sqrt{2}$，すなわち，
$x=\sqrt{\sqrt{6}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}},\quad y=\sqrt{\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}},\quad z=\sqrt{\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}}$ のとき．

$m$ が素数 $p$ の累乗の形で表されるとき $L(m)=pL(m-1)$ ，表されないとき $L(m)=L(m-1)$ である．ここで，$p,q$ を $1$ または素数とするとき，$L(m)+pL(m)=pqL(m)$ が成り立つ必要があるが，これを満たす $(p,q)$ は $(1,2)$ のみである．よって $m+2$ が $2$ の累乗であるときを考えればよいが，$m=8190$ のときは $8191$ が素数であるので不適である．$m=4094$ のとき，$4095=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ より成り立つ．よって最大の $4$ 桁の $m$ は $\mathbf{4094}$ である．

$AE,AF$ の中点をそれぞれ $X,Y$ とする．
$\angle ECH=\angle EDH =\angle XMA$ より，$4$ 点 $X,M,H,C$ は共円．
同様に $Y,M,H,B$ も共円．
ここで，
$$\angle BMC=\angle BMH + \angle CMH=\angle FYH +\angle EXH=90\degree$$
より，$\triangle YFH ∽ \triangle HEX$ が従い，$XE=x,YF=y$ と置くと，
$$xy=15$$
また，三平方の定理より，
$$AH^2=4x^2+25=4y^2+9$$
これを解くと，$x=\sqrt{-2+\sqrt{229}}$ となり，$AE=2x=\mathbf{2\sqrt{-2+\sqrt{229}}}$ である．

はじめに，以下の補題を示す．

$0$ 以上の整数 $i$ に対し，
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_0(x) = 1 \\ p_i(x) = \dfrac{x(x-1)(x-2)...(x-i+1)}{i !} \quad (i \geqq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
とおく．このとき，一般の $n$ 次多項式 $P(x)$ は，適当な実数 $c_i$ を用いて，
$$P(x)=\sum_{i=0}^n c_ip_i(x)$$
と表せる．

$0$ 以上の整数 $k$ に対し，
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_0(n) = 1 \\ p_k(n) = \dfrac{ n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k !} \quad (k \geqq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
とおくと，補題より
$$a_n=\sum_{k=0}^{2024} c_kp_k(n)$$
とおける．
$a_1-a_0=1,\quad a_{k+1}-a_k=2^{k-1}\quad (k=1,2,...,2023)$ より，
$a_n-a_0=2^{n-1}\quad (n=1,2,...,2024)$ である．
ここで，
$$\begin{aligned} & c_k = 0 \quad(k=2,4,...,2024)\\\\ & c_k =1 \quad (k=1,3,...,2023) \end{aligned}$$
を示す．

ここで，
$$a_{2027}=a_0+{}_{2027}\mathrm{C}_{1}+{}_{2027}\mathrm{C}_{3}+...+{}_{2027}\mathrm{C}_{2023}=a_0+2^{2026}-2053352$$
となり，$|a_{2027}|=0$ となるとき最小であるから，そのときの $a_0$ は，
$a_0=\mathbf{2053352-2^{2026}}$．

$AS=AP=AZ$ と条件から，
$$SX=AX-AS=AX-AZ=XY-ZY$$
ここで，線分 $XY$ 上に $ZY=YW$ となるような点 $W$ をとると，
$$AS=AZ,\quad ZY=YW,\quad XW=XS$$
が従う．
ここで，三角形 $AXY$ の内心を $I$ とすると，$IA,IY,IX$ はそれぞれ $SZ,ZW,WS$ の垂直二等分線であるから，$I$ は三角形 $SZW$ の外心である．
よって，$S,W,Z$ を通る円を $w_3$ とすると，$w_3$ は三角形 $AXY$ の内接円である．
また，$\triangle SXW ∽\triangle SDR$ で，相似比は $1:2$ であるから，$w_3$ の半径を $r$ とおくと $w_1$ の半径は $2r$ である．
$w_1$ の中心を $O_1$，$w_2$ の中心を $O_2$ として，$w_2$ の半径を $x$ とおく．すると，三角形 $IO_1O_2$ について，
$$IO_2=r+x,\quad IO_1=r,\quad O_1O_2=2r-x,\quad \angle IO_1O_2=60\degree$$
となるので，余弦定理を用いて，$5x=2r$ がわかる．
以上より，( $w_1$ の半径) $:$ ( $w_2$ の半径) $=2r:x=\mathbf{5:1}$．

記述問題

題意を満たす $N$ は自然数 $x,y$ を用いて，
$$N=\dfrac{p^x-1}{p-1}=\dfrac{(p-1)^y-1}{p-2}$$
と表せる．整理して，
$$(p-1)^{y+1}-(p-2)p^x=1$$
である．$\mod p$ で考えると，$y+1$ は偶数であるので，$y+1=2y^{\prime}$ と表せて，
$$(p-1)^{2y^{\prime}}-(p-2)p^x=1$$
$$(p-2)p^x=((p-1)^{y^{\prime}}+1)((p-1)^{y^{\prime}}-1)$$
$p\geqq3$ より，$(p-1)^{y^{\prime}}+1$ と $(p-1)^{y^{\prime}}-1$ が共に $p$ の倍数となることはないので，$p-2$ の正の約数 $k$ を用いて
$$(p-1)^{y^{\prime}}+1=k\cdot p^x,\quad (p-1)^{y^{\prime}}-1=\dfrac{p-2}{k}$$
と表せる．整理して，
$$k^2\cdot p^x=p+2k-2$$
ここで，$k\geqq 2$ と仮定すると，$k\leqq p-2$ より
$$k^2\cdot p^x\geqq 4\cdot p^x\geqq 4p,\quad p+2k-2\leqq 3p-6$$
より矛盾．よって $k=1$ で， $p^x-p=0$ から $p^{x-1}=1$ より， $x=1,y^{\prime}=1$ である．
以上より，あり得る $N$ の値は $1$ のみであることが示された．

三角形 $AMC$ の九点円と$BC$ の交点のうち $B$ に近い方を $R^{\prime}$ とする．$R^{\prime}$ は $A$ から $BC$ に下した垂線の足である．このとき，
$$\angle NRX=\angle NPX=\angle 180\degree-\angle YDN=\angle NR^{\prime}X$$
から，$R$ と $R^{\prime}$ は一致する．すなわち，円 $PNX$ は三角形 $ABM$ の九点円である．
ここで，$AM\leqq BM$ と仮定すると，$\angle ABM\leqq \angle BAM$，$\angle ACM\leqq \angle CAM$ より $\angle BAC$ が鋭角とならず矛盾．よって $AM\gt BM$ で，点 $Q$ は $AB$ の中点である．このとき $QM\parallel AC$ である．
ここで，円 $PNX$ と $AB$ の交点（$\neq Q$）を $T$ とする． $\angle ATM=\angle ARM=\angle ADM=90\degree$ より $A,T,R,M,D$ は共円で，
$$\angle BAC=180\degree-\angle TRS=\angle TQS$$
より $AC\parallel QS$ である．
$QM\parallel AC$ と合わせて，$Q,S,M$ は共線で，示された．

$P(p,q)$ で与式への $x=p,y=q$ の代入を表す．
$P(0,0)$ より $f(f(0))=0$．
$P(2024,\dfrac{f(0)}{2024})$ より，
$$f(f(0)+f(f(0)))=\dfrac{f(0)f(2024)}{2024}=0$$
よって，$f(0)$ または $f(2024)$ は $0$ である．

(ⅰ) $f(0)\neq 0$ のとき
$f(2024)=0$ で，$P(0,\dfrac{y}{2024})$ より，
$$f(f(y))=\dfrac{y}{2024}f(0)$$
$f(a)=f(b)$ なる $a,b$ について，
$$f(f(a))=\dfrac{a}{2024}f(0),\quad f(f(b))=\dfrac{b}{2024}f(0)$$
$f(0)\neq 0$ より $a=b$．よって $f$ は単射である．$P(2024,\dfrac{x}{2024})$ より
$$f(x+f(x))=\dfrac{x}{2024}f(2024)=0=f(2024)$$
$f$ は単射より $x+f(x)=2024$ ，すなわち $f(x)=2024-x$ である．（これは与式を満たす）

(ⅱ) $f(0)=0$ のとき
$f$ が全射もしくは $f(x)=0 (\forall x)$ で，$f$ が全射と仮定すると，$P(0,y)$ より
$$f(f(2024y))=yf(0)=0$$
で $f(y)=0 (\forall y)$ となり全射とならず矛盾．
よって $f(x)=0$ である．（これは与式を満たす）

以上より，$f(x)=0,f(x)=2024-x$ である．

　まず，次のような操作を考える．

• ある $a$ に対し，$a$ の上から $p$ 桁目と $q$ 桁目の数を入れ替えた数を $a_1$ とする( $p\gt q$ )．また，$a_1$ に対し，問題のような操作を行ってできた数を $b_1$ とする．また，$A=a-b$ ，$B=a_1-b_1$ と定義する．

このとき， まず $a=123456789$ に対しこの操作を行い，次に $a_1$ に対しこの操作を行うというようなことを繰り返せばすべての $a$ について調べることができる．
ここで，$a=123456789$ のとき，$A=a-b=0$ となり $81$ の倍数であるから，$A-B$ が常に $81$ の倍数であることを示せばよい．

$a$ の上から $p$ 桁目の数を $m$ ，$q$ 桁目の数を $n$ とすると，$b$ の上から $m$ 桁目は $p$ ，$n$ 桁目は $q$ となる．
また， $a_1$ の上から $p$ 桁目は $n$ ，$q$ 桁目は $m$ ，$b_1$ の上から $m$ 桁目は $q$ ，$n$ 桁目は $p$ となる．
よって，
$$\begin{aligned} A-B &=a-b-(a_1-b_1)\\\\ &=a-a_1-(b-b_1)\\\\ & =(m-n)\times 10^{9-p}+(n-m)\times 10^{9-q}- (q-p)\times 10^{9-n}-(p-q)\times 10^{9-m}\\\\ & =(m-n)(10^{9-p}-10^{9-q})+(p-q)(10^{9-n}-10^{9-m}) \end{aligned}$$
となる．ここで，$n\gt m$ のときを考える．すると，
$$A-B=10^{9-p}\times (m-n)\times (1-10^{p-q}) + 10^{9-n}\times (p-q)\times (1-10^{n-m})$$
となり，$p\gt q,n\gt m$ より $1-10^{p-q},1-10^{n-m}$ はともに $9$ の倍数であるから$k,l$ を整数として
$$1-10^{p-q}=9k,\quad 1-10^{n-m}=9l $$
と表せて，
$$k=-\overbrace{111...11}^{p-q個}\equiv q-p \pmod 9$$
$$l=-\overbrace{111...11}^{n-m個}\equiv m-n \pmod 9$$
となる．このとき，
$$A-B=9\cdot (10^{9-p}\times (m-n)\times k - 10^{9-n}\times (p-q)\times l )$$
となり，
$$10^{9-p}\times (m-n)\times k - 10^{9-n}\times (p-q)\times l\equiv (m-n)(q-p)+(p-q)(m-n)\equiv 0 \pmod 9$$
であるから，$A-B$ は $81$ の倍数である．
$n\lt m$ のときも，
$$A-B=10^{9-p}\times (m-n)\times (1-10^{p-q}) + 10^{9-m}\times (q-p)\times (1-10^{m-n})$$
と変形することで同様の議論ができて，$A-B$ は $81$ の倍数である．
以上より，$a-b$ の値は全て $81$ の倍数であることが示された．

$M$ を通り $AP$ に垂直な直線と$P$ を通り $AM$ に垂直な直線との交点を $R$ とすると，$R$ は常に $AD$ 上にあり（$P$ が三角形 $ARM$ の垂心），特に外接円上にある時は，$R$ は $AD$ と外接円の交点である．
　まず、$A$ を中心とする半径 $\sqrt{AH\times AD}$ の円で反転する．点 $X$ がこの反転によって移った点を $X^*$ というように表す．
この反転で，$B$ と $F$，$D$ と $H$，$C$ と $E$，$R$ と $G$ は互いに移り合い，$M^*$ は円 $AFE$ と $AM$ の交点に， $P^*$ は円 $AFE$ と $AP$ の交点である．
また，$RP$ と $AM$ の交点を $X$，$RM$ と $AP$ の交点を $Y$ とすると，$X^*$ は $AM$ 上の $\angle X^* P^* A=90°$ を満たす点，すなわち $AM$ と $HP^*$ の交点．同様に $Y^*$ は $AP$ と $HM^*$ の交点である．
ここで，$A,X,Y,R$ は共円より，直線 $X^* Y^*$ と $AB$ の交点を $S$，$AC$ とのの交点を $T$ とすると，$G=R^*$ から，$G$ は $ST$ 上で，$Y^*$ は三角形 $AX^* H$ の垂心であるから，$\angle TGA=90°$ ，すなわち $ST\parallel BC$ が成り立つ．
ここで，三角形 $ABC$ を三角形 $AST$ に移す相似拡大を考えると，$R$ は $H$ に移るので，$4$ 点 $A,S,H,T$ は共円である．
$QH$ と $AB$ の交点を $S^{\prime}$ とすると，
$$\angle S^{\prime}HA=\angle BHD=\angle ACB=\angle ATS$$
$\angle SHA=\angle ATS$ より，$S^{\prime}$ と $S$ は一致する．
よって，$BE$ と $ST$ の交点を $I$ とすれば，$I$ は $S$ を $AD$ に関して対称移動させた点で，$A,I,Q$ は共線である．円 $AGE$ は $AI$ を直径としていることを考えれば，示すべきことは 「円 $ADQ$ と直線 $BR$ が接する 」ことと同値である．
$F$ を直線 $AD$ に関して対称移動させた点を $F^{\prime}$ とすると，これは反転により
「円 $AGF$ と直線 $HF^{\prime}$ が接する」ことに言い換えられ、さらに、これを直線 $AD$ に関して対称移動させると，「円 $AGF^{\prime}$ と直線 $HF$ が接する」ことと同値であることがわかる．

　以下では円 $AGF^{\prime}$ と直線 $CF$ が，$AP$ と $CF$ の交点 $Z$ で接することを示す．
$$\angle AHT=\angle AST=\angle FHG=\angle F^{\prime}HA$$
より，$3$ 点 $H,F^{\prime},T$ は一直線上にあり，さらに $\angle AF^{\prime}H=90°$ である．
よって，円 $AGF^{\prime}$ は $AT$ の中点 $N$ を中心として $A,T$ を通る円である．
　ここで，$AB\parallel X^* Z$ を示す．
反転により，これは円 $AZ^* X$ が直線 $AB$ に接することと同値で，$\angle Z^* X A =\angle BAP$ を示せばよい．($Z^*$ は $B$ から $AP$ に下した垂線の足)
$AM$ と $BZ^*$ の交点を $U$ とすると，$4$ 点 $U,X,P,Z^*$ は共円より，$\angle Z^* PU =\angle Z^* XA $ である．
ここで，以下の補題から $\angle Z^* PU =\angle BAP$ が従い，$AB\parallel X^* Z$ は示され，$AS\parallel NX^* $ と合わせて $NZ\perp CF$ が従う．

$AB \lt AC$ である鋭角三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$，内心を $I$ として，$AI$ と $BC$ の交点を $X$，$B$ を通る $AI$ の垂線と $AM$ との交点を $Y$ とする時，$XY\parallel AB$ が成り立つ．

　ここで，
$$\angle BAP=\angle AZN=\angle PAC$$
より，$AN=NZ=NT$ が従い，点 $Z$ は円 $AGF^{\prime}$ 上にある．
$NZ\perp CF$ と合わせて，円 $AGF^{\prime}$ と直線 $CF$ は，点 $Z$ で接する．
以上より，題意は示された．

$P(p,q)$ で与式への $x=p,y=q$ の代入を表す．
$P(1,y)$ より，
$$f(f(y)+y^2)=y^4f(335)$$
右辺は任意の正の実数値をとるので $f$ は全射．
ここで、以下の補題を示す．

$\mathbf{補題 1}$．任意の $x$ に対し $f(x+a)=bf(x)$ なる $a,b$ ($a$ は $0$ 以上，$b$ は正の実数)が存在するならば，$b=1$ である．

$\mathbf{補題 2}$．$f$ は単射である．

$\mathbf{補題 3}$．$f(1)=334$ である．

$\mathbf{補題 4}$．$f(x)$ は狭義単調増加である．

$\mathbf{補題 5}$．$f(x)\geqq 334x^2$ である．

$\mathbf{補題 6}$．$xy\gt1$ なる任意の実数 $x,y$ について，$x^2f(y)\leqq f(xy)$ である．

　まず，$x\gt 1,y\gt 1$ のときを考える．補題 $6$ より，
$$x^2f(y)\leqq f(xy)$$
補題 $6$ で，$x→\dfrac{1}{x},y→xy$ として，
$$f(xy)\leqq x^2f(y)$$
よって，$f(xy)=x^2f(y)$ であるから，$x^2f(y)=y^2f(x)$ で，任意の $x(\gt 1)$ に対し，$\dfrac{f(x)}{x^2}=c$ とおけて，元の方程式に代入すると $c=334$ が得られる．
よって，$f(x)=334x^2\quad (x\gt 1)$ である．
$0\lt x \leqq 1$ のときも，十分大きな $y$ について，$\dfrac{f(x)}{x^2}=\dfrac{f(y)}{y^2}=334$ が得られ，$f(x)=334x^2$ である．
以上より，$f(x)=334x^2$ である．また，これは与式を満たす．