HKA杯解説

471

求値問題

$n$ を自然数とする．
$gcd (2051^{n} + 4099^{n}, 2051^{n + 1} + 4099^{n + 1} - 2051^{n})$
の値が最大となるような最小の $n$ を求めよ．ただし， $gcd (X, Y)$ で $X$ と $Y$ の最大公約数を表す．

ユーグリッドの互除法より，
$\begin{aligned} gcd (2051^{n} + 4099^{n}, 2051^{n + 1} + 4099^{n + 1} - 2051^{n}) & = gcd (2051^{n} + 4099^{n}, 2049 \times 4099^{n}) \\ = gcd (2051^{n} + 4099^{n}, 2049) ≦ 2049 \end{aligned}$
よって，この式は $2051^{n} + 4099^{n}$ が $2049$ の倍数となるとき最大値 $2049$ をとる．
$2^{n} + 1 \equiv 0 (\mod 2049)$ を満たす最小の $n$ は $11$ ．

$x, y, z$ は正の実数で，
$x + 2 y + 3 z ≦ x y z$
を満たす．このとき， $x y + y z + z x$ の最小値を求めよ．

$x, y, z$ は正より，相加・相乗平均の大小関係から，
$\begin{aligned} x y + y z + z x = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) x y z & ≧ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) (x + 2 y + 3 z) \\ = 6 + \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x} + \frac{2 y}{z} + \frac{3 z}{y} + \frac{3 z}{x} + \frac{x}{z} \\ ≧ 6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6} \end{aligned}$
等号成立は， $x y z = x + 2 y + 3 z$ かつ $x : y : z = \sqrt{6} : \sqrt{3} : \sqrt{2}$ ，すなわち，
$x = \sqrt{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}, y = \sqrt{\frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{2}}, z = \sqrt{\frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{3}}$ のとき．

$n$ を自然数とし， $1$ から $n$ までの最小公倍数を $L (n)$ とする．すなわち， $L (n) = lcm (1, 2, . . ., n)$ である．このとき，
$L (m) + L (m + 1) = L (m + 2)$
を満たす $4$ 桁の自然数 $m$ のうち最大のものを求めよ．

$m$ が素数 $p$ の累乗の形で表されるとき $L (m) = p L (m - 1)$ ，表されないとき $L (m) = L (m - 1)$ である．ここで， $p, q$ を $1$ または素数とするとき， $L (m) + p L (m) = p q L (m)$ が成り立つ必要があるが，これを満たす $(p, q)$ は $(1, 2)$ のみである．よって $m + 2$ が $2$ の累乗であるときを考えればよいが， $m = 8190$ のときは $8191$ が素数であるので不適である． $m = 4094$ のとき， $4095 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ より成り立つ．よって最大の $4$ 桁の $m$ は $4094$ である．

鋭角三角形 $A B C$ の垂心を $H$ ， $A H$ と $B C$ ， $B H$ と $A C$ ， $C H$ と $A B$ の交点をそれぞれ $D, E, F$ とする．また， $A D$ の中点を $M$ とすると， $5$ 点 $B, F, M, E, C$ は同一円周上にあった．
$H F = 3, H E = 5$
を満たすとき， $A E$ の長さを求めよ．

$A E, A F$ の中点をそれぞれ $X, Y$ とする．
$∠ E C H = ∠ E D H = ∠ X M A$ より， $4$ 点 $X, M, H, C$ は共円．
同様に $Y, M, H, B$ も共円．
ここで，
$∠ B M C = ∠ B M H + ∠ C M H = ∠ F Y H + ∠ E X H = 90 °$
より， $△ Y F H ∽ △ H E X$ が従い， $X E = x, Y F = y$ と置くと，
$x y = 15$
また，三平方の定理より，
$A H^{2} = 4 x^{2} + 25 = 4 y^{2} + 9$
これを解くと， $x = \sqrt{- 2 + \sqrt{229}}$ となり， $A E = 2 x = 2 \sqrt{- 2 + \sqrt{229}}$ である．

一般項が $n$ の $2024$ 次関数で表される数列 $a_{n}$ （ $n ≧ 0$ ）は以下を満たす．
$a_{n + 1} - a_{n} = ⌈ 2^{n - 1} ⌉ (n = 0, 1, 2, . . ., 2023)$
このとき， $| a_{2027} |$ を最小にするような $a_{0}$ を求めよ．ただし， $⌈ X ⌉$ で $X$ 以上の最小の整数を表す．

はじめに，以下の補題を示す．

$0$ 以上の整数 $i$ に対し，
$\begin{array}{r} {\begin{cases} p_{0} (x) = 1 \\ p_{i} (x) = \frac{x (x - 1) (x - 2) . . . (x - i + 1)}{i!} (i ≧ 1) \end{cases} \end{array}$
とおく．このとき，一般の $n$ 次多項式 $P (x)$ は，適当な実数 $c_{i}$ を用いて，
$P (x) = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} p_{i} (x)$
と表せる．

(ⅰ) $n = 0$ のとき
　明らかに成立する．
(ⅱ) $n ≦ k (k ≧ 0)$ で補題が成り立つと仮定する．
　任意の $k + 1$ 次多項式 $f (x) = a_{k + 1} x^{k + 1} + a_{k} x^{k} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ に対して
　 $g (x) = f (x) - a_{k + 1} (k + 1)! p_{k + 1} (x)$ とおくと， $g (x)$ は高々 $k$ 次の多項式で，
　 $f (x) = a_{k + 1} (k + 1)! p_{k + 1} (x) + \sum_{i = 0}^{k} c_{i} p_{i} (x)$
　と表せる．ここで， $c_{k + 1} = a_{k + 1} (k + 1)!$ とおくことにより $k + 1$ 次多項式で補題が成り立つことがわかる．
(ⅰ)(ⅱ)より，補題は示された．

$0$ 以上の整数 $k$ に対し，
$\begin{array}{r} {\begin{cases} p_{0} (n) = 1 \\ p_{k} (n) = \frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1)}{k!} (k ≧ 1) \end{cases} \end{array}$
とおくと，補題より
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{2024} c_{k} p_{k} (n)$
とおける．
$a_{1} - a_{0} = 1, a_{k + 1} - a_{k} = 2^{k - 1} (k = 1, 2, . . ., 2023)$ より，
$a_{n} - a_{0} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, . . ., 2024)$ である．
ここで，
$\begin{aligned} c_{k} = 0 (k = 2, 4, . . ., 2024) \\ c_{k} = 1 (k = 1, 3, . . ., 2023) \end{aligned}$
を示す．

(ⅰ) $k = 1, 2$ のとき
　明らかに成立する．
(ⅱ) $k ≦ 2 i (i ≧ 1)$ で成り立つと仮定する．
　 $a_{2 i + 1} - a_{0} = \sum_{k = 0}^{i - 1}_{2 i + 1} C_{2 k + 1} + c_{2 i + 1} = 2^{2 i} + c_{2 i + 1} - 1 = 2^{2 i}$
　より， $c_{2 i + 1} = 1$ ．
　 $a_{2 i + 2} - a_{0} = \sum_{k = 0}^{i}_{2 i + 2} C_{2 k + 1} + c_{2 i + 2} = 2^{2 i + 1} + c_{2 i + 2} = 2^{2 i + 1}$
　より， $c_{2 i + 2} = 0$ ．
(ⅰ)(ⅱ)より，示された．

ここで，
$a_{2027} = a_{0} +_{2027} C_{1} +_{2027} C_{3} + . . . +_{2027} C_{2023} = a_{0} + 2^{2026} - 2053352$
となり， $| a_{2027} | = 0$ となるとき最小であるから，そのときの $a_{0}$ は，
$a_{0} = 2053352 - 2^{2026}$ ．

$∠ B A D = 120 °$ を満たす凸四角形 $A B C D$ に円 $w_{1}$ が内接しており， $w_{1}$ と $A B, B C, C D, D A$ との接点をそれぞれ $P, Q, R, S$ とする． $S D$ の中点を $X$ とし， $X$ を通り $C D$ と平行な直線と $B C$ の交点を $Y$ とする．ここで， $A B$ と点 $P$ で， $A Y$ と点 $Z$ で接する円 $w_{2}$ を考える．
$X Y - A X = Z Y - A Z$
を満たすとき，( $w_{1}$ の半径) $:$ ( $w_{2}$ の半径) を求めよ．

$A S = A P = A Z$ と条件から，
$S X = A X - A S = A X - A Z = X Y - Z Y$
ここで，線分 $X Y$ 上に $Z Y = Y W$ となるような点 $W$ をとると，
$A S = A Z, Z Y = Y W, X W = X S$
が従う．
ここで，三角形 $A X Y$ の内心を $I$ とすると， $I A, I Y, I X$ はそれぞれ $S Z, Z W, W S$ の垂直二等分線であるから， $I$ は三角形 $S Z W$ の外心である．
よって， $S, W, Z$ を通る円を $w_{3}$ とすると， $w_{3}$ は三角形 $A X Y$ の内接円である．
また， $△ S X W ∽ △ S D R$ で，相似比は $1 : 2$ であるから， $w_{3}$ の半径を $r$ とおくと $w_{1}$ の半径は $2 r$ である．
$w_{1}$ の中心を $O_{1}$ ， $w_{2}$ の中心を $O_{2}$ として， $w_{2}$ の半径を $x$ とおく．すると，三角形 $I O_{1} O_{2}$ について，
$I O_{2} = r + x, I O_{1} = r, O_{1} O_{2} = 2 r - x, ∠ I O_{1} O_{2} = 60 °$
となるので，余弦定理を用いて， $5 x = 2 r$ がわかる．
以上より，( $w_{1}$ の半径) $:$ ( $w_{2}$ の半径) $= 2 r : x = 5 : 1$ ．

記述問題

問題7

$p$ を奇素数とする．ある自然数 $N$ を $p$ 進数と $p - 1$ 進数で表したところ，いずれもすべての桁で $1$ が続いた．このような $10$ 進数の $N$ は $p$ の値によらず $1$ のみであることを示せ．

題意を満たす $N$ は自然数 $x, y$ を用いて，
$N = \frac{p^{x} - 1}{p - 1} = \frac{(p - 1)^{y} - 1}{p - 2}$
と表せる．整理して，
$(p - 1)^{y + 1} - (p - 2) p^{x} = 1$
である． $\mod p$ で考えると， $y + 1$ は偶数であるので， $y + 1 = 2 y^{'}$ と表せて，
$(p - 1)^{2 y^{'}} - (p - 2) p^{x} = 1$
$(p - 2) p^{x} = ((p - 1)^{y^{'}} + 1) ((p - 1)^{y^{'}} - 1)$
$p ≧ 3$ より， $(p - 1)^{y^{'}} + 1$ と $(p - 1)^{y^{'}} - 1$ が共に $p$ の倍数となることはないので， $p - 2$ の正の約数 $k$ を用いて
$(p - 1)^{y^{'}} + 1 = k \cdot p^{x}, (p - 1)^{y^{'}} - 1 = \frac{p - 2}{k}$
と表せる．整理して，
$k^{2} \cdot p^{x} = p + 2 k - 2$
ここで， $k ≧ 2$ と仮定すると， $k ≦ p - 2$ より
$k^{2} \cdot p^{x} ≧ 4 \cdot p^{x} ≧ 4 p, p + 2 k - 2 ≦ 3 p - 6$
より矛盾．よって $k = 1$ で， $p^{x} - p = 0$ から $p^{x - 1} = 1$ より， $x = 1, y^{'} = 1$ である．
以上より，あり得る $N$ の値は $1$ のみであることが示された．

問題8

$A B < A C$ である鋭角三角形 $A B C$ について， $B C$ の中点を $M$ ， $A M, B M, C M$ の中点をそれぞれ $N, X, Y$ とする． $M$ から $A C$ に下した垂線の足を $D$ ， $X$ を通り $D Y$ に平行な直線と直線 $D N$ の交点を $P$ ，三角形 $P N X$ の外接円と $A B, B C$ の交点をそれぞれ $Q, R$ とする．三角形 $P N X$ の外接円と $D R$ の交点を $S$ とするとき， $3$ 点 $Q, S, M$ は同一直線上にあることを示せ．

三角形 $A M C$ の九点円と $B C$ の交点のうち $B$ に近い方を $R^{'}$ とする． $R^{'}$ は $A$ から $B C$ に下した垂線の足である．このとき，
$∠ N R X = ∠ N P X = ∠ 180 ° - ∠ Y D N = ∠ N R^{'} X$
から， $R$ と $R^{'}$ は一致する．すなわち，円 $P N X$ は三角形 $A B M$ の九点円である．
ここで， $A M ≦ B M$ と仮定すると， $∠ A B M ≦ ∠ B A M$ ， $∠ A C M ≦ ∠ C A M$ より $∠ B A C$ が鋭角とならず矛盾．よって $A M > B M$ で，点 $Q$ は $A B$ の中点である．このとき $Q M ∥ A C$ である．
ここで，円 $P N X$ と $A B$ の交点（ $\neq Q$ ）を $T$ とする． $∠ A T M = ∠ A R M = ∠ A D M = 90 °$ より $A, T, R, M, D$ は共円で，
$∠ B A C = 180 ° - ∠ T R S = ∠ T Q S$
より $A C ∥ Q S$ である．
$Q M ∥ A C$ と合わせて， $Q, S, M$ は共線で，示された．

問題9

実数に対して定義され，実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x, y$ に対して
$f (x y + f (2024 y)) = y f (x)$
を満たすものを全て求めよ．

$P (p, q)$ で与式への $x = p, y = q$ の代入を表す．
$P (0, 0)$ より $f (f (0)) = 0$ ．
$P (2024, \frac{f (0)}{2024})$ より，
$f (f (0) + f (f (0))) = \frac{f (0) f (2024)}{2024} = 0$
よって， $f (0)$ または $f (2024)$ は $0$ である．

(ⅰ) $f (0) \neq 0$ のとき
$f (2024) = 0$ で， $P (0, \frac{y}{2024})$ より，
$f (f (y)) = \frac{y}{2024} f (0)$
$f (a) = f (b)$ なる $a, b$ について，
$f (f (a)) = \frac{a}{2024} f (0), f (f (b)) = \frac{b}{2024} f (0)$
$f (0) \neq 0$ より $a = b$ ．よって $f$ は単射である． $P (2024, \frac{x}{2024})$ より
$f (x + f (x)) = \frac{x}{2024} f (2024) = 0 = f (2024)$
$f$ は単射より $x + f (x) = 2024$ ，すなわち $f (x) = 2024 - x$ である．（これは与式を満たす）

(ⅱ) $f (0) = 0$ のとき
$f$ が全射もしくは $f (x) = 0 (\forall x)$ で， $f$ が全射と仮定すると， $P (0, y)$ より
$f (f (2024 y)) = y f (0) = 0$
で $f (y) = 0 (\forall y)$ となり全射とならず矛盾．
よって $f (x) = 0$ である．（これは与式を満たす）

以上より， $f (x) = 0, f (x) = 2024 - x$ である．

問題10

$1$ から $9$ までの整数が一つずつ使われた $9$ 桁の自然数 $a$ がある．この自然数 $a$ について以下の操作を行う．

任意の $1$ 以上 $9$ 以下の整数 $n$ について， $a$ の上から $n$ 桁目の数字が $m$ の時に $b$ の上から $m$ 桁目の数字が $n$ であるような $9$ 桁の自然数 $b$ を作る．例えば， $a = 479512638$ の時は $b = 568147293$ となる．

このとき， $a - b$ の値は常に $81$ の倍数であることを示せ．

　まず，次のような操作を考える．

ある $a$ に対し， $a$ の上から $p$ 桁目と $q$ 桁目の数を入れ替えた数を $a_{1}$ とする( $p > q$ )．また， $a_{1}$ に対し，問題のような操作を行ってできた数を $b_{1}$ とする．また， $A = a - b$ ， $B = a_{1} - b_{1}$ と定義する．

このとき，まず $a = 123456789$ に対しこの操作を行い，次に $a_{1}$ に対しこの操作を行うというようなことを繰り返せばすべての $a$ について調べることができる．
ここで， $a = 123456789$ のとき， $A = a - b = 0$ となり $81$ の倍数であるから， $A - B$ が常に $81$ の倍数であることを示せばよい．

$a$ の上から $p$ 桁目の数を $m$ ， $q$ 桁目の数を $n$ とすると， $b$ の上から $m$ 桁目は $p$ ， $n$ 桁目は $q$ となる．
また， $a_{1}$ の上から $p$ 桁目は $n$ ， $q$ 桁目は $m$ ， $b_{1}$ の上から $m$ 桁目は $q$ ， $n$ 桁目は $p$ となる．
よって，
$\begin{aligned} A - B & = a - b - (a_{1} - b_{1}) \\ = a - a_{1} - (b - b_{1}) \\ = (m - n) \times 10^{9 - p} + (n - m) \times 10^{9 - q} - (q - p) \times 10^{9 - n} - (p - q) \times 10^{9 - m} \\ = (m - n) (10^{9 - p} - 10^{9 - q}) + (p - q) (10^{9 - n} - 10^{9 - m}) \end{aligned}$
となる．ここで， $n > m$ のときを考える．すると，
$A - B = 10^{9 - p} \times (m - n) \times (1 - 10^{p - q}) + 10^{9 - n} \times (p - q) \times (1 - 10^{n - m})$
となり， $p > q, n > m$ より $1 - 10^{p - q}, 1 - 10^{n - m}$ はともに $9$ の倍数であるから $k, l$ を整数として
$1 - 10^{p - q} = 9 k, 1 - 10^{n - m} = 9 l$
と表せて，
$k = - \overset{p - q 個}{\overset{⏞}{111. . .11}} \equiv q - p (\mod 9)$
$l = - \overset{n - m 個}{\overset{⏞}{111. . .11}} \equiv m - n (\mod 9)$
となる．このとき，
$A - B = 9 \cdot (10^{9 - p} \times (m - n) \times k - 10^{9 - n} \times (p - q) \times l)$
となり，
$10^{9 - p} \times (m - n) \times k - 10^{9 - n} \times (p - q) \times l \equiv (m - n) (q - p) + (p - q) (m - n) \equiv 0 (\mod 9)$
であるから， $A - B$ は $81$ の倍数である．
$n < m$ のときも，
$A - B = 10^{9 - p} \times (m - n) \times (1 - 10^{p - q}) + 10^{9 - m} \times (q - p) \times (1 - 10^{m - n})$
と変形することで同様の議論ができて， $A - B$ は $81$ の倍数である．
以上より， $a - b$ の値は全て $81$ の倍数であることが示された．

問題11

$A B < A C$ である鋭角三角形 $A B C$ があり，その垂心を $H$ とする． $3$ 点 $A, B, C$ からそれぞれ対辺に下した垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とする．また， $A H$ と $E F$ の交点を $G$ ， $B C$ の中点を $M$ ， $∠ B A C$ の内角の二等分線と $B C$ との交点を $P$ ， $B$ を点 $D$ に関して対称移動させた点を $Q$ とする．ここで， $M$ を通り $A P$ に垂直な直線と， $P$ を通り $A M$ に垂直な直線は三角形 $A B C$ の外接円上で交わった．このとき，三角形 $A G E$ の外接円は直線 $Q H$ に接することを示せ．

$M$ を通り $A P$ に垂直な直線と $P$ を通り $A M$ に垂直な直線との交点を $R$ とすると， $R$ は常に $A D$ 上にあり（ $P$ が三角形 $A R M$ の垂心），特に外接円上にある時は， $R$ は $A D$ と外接円の交点である．
　まず、 $A$ を中心とする半径 $\sqrt{A H \times A D}$ の円で反転する．点 $X$ がこの反転によって移った点を $X^{*}$ というように表す．
この反転で， $B$ と $F$ ， $D$ と $H$ ， $C$ と $E$ ， $R$ と $G$ は互いに移り合い， $M^{*}$ は円 $A F E$ と $A M$ の交点に， $P^{*}$ は円 $A F E$ と $A P$ の交点である．
また， $R P$ と $A M$ の交点を $X$ ， $R M$ と $A P$ の交点を $Y$ とすると， $X^{*}$ は $A M$ 上の $∠ X^{*} P^{*} A = 90 °$ を満たす点，すなわち $A M$ と $H P^{*}$ の交点．同様に $Y^{*}$ は $A P$ と $H M^{*}$ の交点である．
ここで， $A, X, Y, R$ は共円より，直線 $X^{*} Y^{*}$ と $A B$ の交点を $S$ ， $A C$ とのの交点を $T$ とすると， $G = R^{*}$ から， $G$ は $S T$ 上で， $Y^{*}$ は三角形 $A X^{*} H$ の垂心であるから， $∠ T G A = 90 °$ ，すなわち $S T ∥ B C$ が成り立つ．
ここで，三角形 $A B C$ を三角形 $A S T$ に移す相似拡大を考えると， $R$ は $H$ に移るので， $4$ 点 $A, S, H, T$ は共円である．
$Q H$ と $A B$ の交点を $S^{'}$ とすると，
$∠ S^{'} H A = ∠ B H D = ∠ A C B = ∠ A T S$
$∠ S H A = ∠ A T S$ より， $S^{'}$ と $S$ は一致する．
よって， $B E$ と $S T$ の交点を $I$ とすれば， $I$ は $S$ を $A D$ に関して対称移動させた点で， $A, I, Q$ は共線である．円 $A G E$ は $A I$ を直径としていることを考えれば，示すべきことは「円 $A D Q$ と直線 $B R$ が接する」ことと同値である．
$F$ を直線 $A D$ に関して対称移動させた点を $F^{'}$ とすると，これは反転により
「円 $A G F$ と直線 $H F^{'}$ が接する」ことに言い換えられ、さらに、これを直線 $A D$ に関して対称移動させると，「円 $A G F^{'}$ と直線 $H F$ が接する」ことと同値であることがわかる．

　以下では円 $A G F^{'}$ と直線 $C F$ が， $A P$ と $C F$ の交点 $Z$ で接することを示す．
$∠ A H T = ∠ A S T = ∠ F H G = ∠ F^{'} H A$
より， $3$ 点 $H, F^{'}, T$ は一直線上にあり，さらに $∠ A F^{'} H = 90 °$ である．
よって，円 $A G F^{'}$ は $A T$ の中点 $N$ を中心として $A, T$ を通る円である．
　ここで， $A B ∥ X^{*} Z$ を示す．
反転により，これは円 $A Z^{*} X$ が直線 $A B$ に接することと同値で， $∠ Z^{*} X A = ∠ B A P$ を示せばよい．( $Z^{*}$ は $B$ から $A P$ に下した垂線の足)
$A M$ と $B Z^{*}$ の交点を $U$ とすると， $4$ 点 $U, X, P, Z^{*}$ は共円より， $∠ Z^{*} P U = ∠ Z^{*} X A$ である．
ここで，以下の補題から $∠ Z^{*} P U = ∠ B A P$ が従い， $A B ∥ X^{*} Z$ は示され， $A S ∥ N X^{*}$ と合わせて $N Z ⊥ C F$ が従う．

$A B < A C$ である鋭角三角形 $A B C$ について， $B C$ の中点を $M$ ，内心を $I$ として， $A I$ と $B C$ の交点を $X$ ， $B$ を通る $A I$ の垂線と $A M$ との交点を $Y$ とする時， $X Y ∥ A B$ が成り立つ．

$A I$ と $B Y$ の交点を $P$ ， $B Y$ と $A C$ の交点を $R$ とすると， $B P = P R$ より $P M ∥ A C$ である．ここで， $A B = x, A C = y$ とすると， $A R = A B$ で，
$B X : X M = x : \frac{y - x}{2}$
また，
$A Y : Y M = A R : P M = A B : \frac{C R}{2} = x : \frac{y - x}{2}$
よって $X Y ∥ A B$ である．

　ここで，
$∠ B A P = ∠ A Z N = ∠ P A C$
より， $A N = N Z = N T$ が従い，点 $Z$ は円 $A G F^{'}$ 上にある．
$N Z ⊥ C F$ と合わせて，円 $A G F^{'}$ と直線 $C F$ は，点 $Z$ で接する．
以上より，題意は示された．

問題12

正の実数に対して定義され，正の実数値をとる関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x, y$ に対して
$f (x f (y) + y^{2}) = y^{4} f (1 + 334 x)$
を満たすものを全て求めよ．

$P (p, q)$ で与式への $x = p, y = q$ の代入を表す．
$P (1, y)$ より，
$f (f (y) + y^{2}) = y^{4} f (335)$
右辺は任意の正の実数値をとるので $f$ は全射．
ここで、以下の補題を示す．

$補題 1$ ．任意の $x$ に対し $f (x + a) = b f (x)$ なる $a, b$ ( $a$ は $0$ 以上， $b$ は正の実数)が存在するならば， $b = 1$ である．

$f (p) = 1$ なる $p$ について， $P (x + a, p)$ より，
$f (x + a + p^{2}) = p^{4} \cdot f (334 a + 334 x + 1)$
$b \cdot f (x + p^{2}) = p^{4} \cdot b^{334} \cdot f (334 x + 1)$
$P (x, p)$ より，
$f (x + p^{2}) = p^{4} \cdot f (334 x + 1)$
よって， $b^{333} = 1$ となり， $b = 1$ である．

$補題 2$ ． $f$ は単射である．

$f (a) = f (b)$ なる $a, b$ について， $P (\frac{x}{f (a)}, a), P (\frac{x}{f (b)}, b)$ より，
$f (x + a^{2}) = a^{4} \cdot f (1 + \frac{334 x}{f (a)})$
$f (x + b^{2}) = b^{4} \cdot f (1 + \frac{334 x}{f (b)})$
よって，
$f (x + a^{2}) = \frac{a^{4}}{b^{4}} f (x + b^{2})$
補題 $1$ より， $a^{4} = b^{4}$ であるから $a = b$ ．よって $f$ は単射である．

$補題 3$ ． $f (1) = 334$ である．

$P (x, 1)$ より，
$f (x f (1) + 1) = f (334 x + 1)$
$f$ は単射より， $f (1) = 334$ である．

$補題 4$ ． $f (x)$ は狭義単調増加である．

ある $x, y (x < y)$ で， $f (x) > f (y)$ なる正の実数 $x, y$ が存在すると仮定する．
$z = \frac{y^{2} - x^{2}}{f (x) - f (y)} > 0$ で，
$\begin{aligned} x^{2} + z f (x) & = \frac{x^{2} f (x) - x^{2} f (y) + y^{2} f (x) - x^{2} f (x)}{f (x) - f (y)} \\ = \frac{y^{2} f (x) - x^{2} f (y)}{f (x) - f (y)} \end{aligned}$
$\begin{aligned} y^{2} + z f (y) & = \frac{y^{2} f (x) - y^{2} f (y) + y^{2} f (y) - x^{2} f (y)}{f (x) - f (y)} \\ = \frac{y^{2} f (x) - x^{2} f (y)}{f (x) - f (y)} \end{aligned}$
よって， $x^{2} + z f (x) = y^{2} + z f (y)$ で， $P (z, x), P (z, y)$ より，
$f (z f (x) + x^{2}) = x^{4} f (334 z + 1)$
$f (z f (y) + y^{2}) = y^{4} f (334 z + 1)$
から， $x = y$ より矛盾．よって $f (x)$ は広義単調増加で，単射と合わせて狭義単調増加である．

$補題 5$ ． $f (x) ≧ 334 x^{2}$ である．

$P (\frac{y}{f (\sqrt{x})}, \sqrt{x})$ より，
$f (x + y) = f (1 + \frac{334 y}{f (\sqrt{x})}) > x^{2} f (1) = 334 x^{2}$
$f (x) > 334 (x - y)^{2}$
$y$ を $0$ に近づけて， $f (x) ≧ 334 x^{2}$ ．

$補題 6$ ． $x y > 1$ なる任意の実数 $x, y$ について， $x^{2} f (y) ≦ f (x y)$ である．

　 $x^{2} < y$ とする． $P (\frac{y - x^{2}}{f (x)}, x)$ より，
$\begin{aligned} f (y) & = x^{4} \cdot f (1 + \frac{334 (y - x^{2})}{f (x)}) \\ ≦ x^{4} \cdot f (1 + \frac{334 (y - x^{2})}{334 x^{2}}) \\ = x^{4} \cdot f (\frac{y}{x^{2}}) \end{aligned}$
$x \to \frac{1}{\sqrt{x}}$ として， $x^{2} f (y) ≦ f (x y) (x y > 1)$

　まず， $x > 1, y > 1$ のときを考える．補題 $6$ より，
$x^{2} f (y) ≦ f (x y)$
補題 $6$ で， $x \to \frac{1}{x}, y \to x y$ として，
$f (x y) ≦ x^{2} f (y)$
よって， $f (x y) = x^{2} f (y)$ であるから， $x^{2} f (y) = y^{2} f (x)$ で，任意の $x (> 1)$ に対し， $\frac{f (x)}{x^{2}} = c$ とおけて，元の方程式に代入すると $c = 334$ が得られる．
よって， $f (x) = 334 x^{2} (x > 1)$ である．
$0 < x ≦ 1$ のときも，十分大きな $y$ について， $\frac{f (x)}{x^{2}} = \frac{f (y)}{y^{2}} = 334$ が得られ， $f (x) = 334 x^{2}$ である．
以上より， $f (x) = 334 x^{2}$ である．また，これは与式を満たす．