［数学的帰納法」の最初の問題

これは，私が初めて「数学的帰納法」に触れた問題です．
高校１年の１学期「剰余の定理」を学んだところで
解答に頓挫した私は学校の先生に質問にいって，
教科書「数学ⅡB」のここをマネしてやれと，
アドバイスをもらったというワケです．
整式といわず，多項式といういい方をすることにします．
［解１］「数学的帰納法」で
［証明］
［basis］$n=1,2$のとき，trivial．
$n=3$のとき，$x^3=x(x-1)^2+2x^2-x$なので成り立つ．
［induction step］$n=k$ $(k \geqq 3)$のとき，成り立つと仮定する：
$$x^k=x(x-1)^2 Q_{k}(x)+(k-1)x^2+(2-k)x $$
（ただし，$Q_{k}(x)$は$x$の多項式とする．）
が成り立つと仮定する．
この仮定から，
$$x^{k+1}=x(x-1)^2(xQ_{k}(x)) +(k-1)x^3+(2-k)x^2 $$
$x^{k+1}$を$x(x-1)^2$で割ったときの余りは，
$(k-1)x^3+(2-k)x^2 $を$x(x-1)^2$で割ったときの余りに等しい．
$n=3$のときの式を使って，
$$(k-1)x^3+(2-k)x^2=(k-1)x(x-1)^2+(k-1)(2x^2-x)+(2-k)x^2 $$
$$(k-1)x^3+(2-k)x^2=(k-1)x(x-1)^2+kx^2+(1-k)x $$
よって，$n=k+1$のときも成り立つ．
［conclusion］
以上から，証明された．□□

上で確認したとおり，$n=1,2$のとき，trivialなので，
以降，$n$は3以上の自然数とする．

［解２］「積の微分」で，
$$x^n=x(x-1)^2 Q_{n}(x)+ax^2+bx+c $$
ここで，余りは高々２次の多項式なので，$ax^2+bx+c$とし，
商は多項式$Q_{n}(x)$とした．
$x=0,1$として，
$c=0$, $a+b+c=1$
さらに等式を微分して，
$$nx^{n-1}=((x-1)^2)' (xQ_{n}(x))+(x-1)^2 (xQ_{n}(x))'+2ax+b $$
$$nx^{n-1}=2(x-1) (xQ_{n}(x))+(x-1)^2 (xQ_{n}(x))'+2ax+b $$
ここで，$x=1$として，
$2a+b=n$
これらから，$a=n-1$，$b=2-n$，$c=0$.
余りは，$ (n-1)x^2+(2-n)x$．
よって証明された．□□

［解３］「２項定理」で，
$$x^n=x((x-1)+1)^{n-1}=x \sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{ C }_r{(x-1)}^r $$
$$x^n=x \sum_{r=2}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{ C }_r{(x-1)}^r+ {}_{n-1} \mathrm{ C }_1x(x-1)+ {}_{n-1} \mathrm{ C }_0x $$
余りは，
$$ {}_{n-1} \mathrm{ C }_1x(x-1)+ {}_{n-1} \mathrm{ C }_0x =(n-1)x^2+(2-n)x $$
よって証明された．□□