［数学的帰納法」の最初の問題

これは，私が初めて「数学的帰納法」に触れた問題です．
高校１年の１学期「剰余の定理」を学んだところで
解答に頓挫した私は学校の先生に質問にいって，
教科書「数学ⅡB」のここをマネしてやれと，
アドバイスをもらったというワケです．
整式といわず，多項式といういい方をすることにします．
［解１］「数学的帰納法」で
［証明］
［basis］$n=1,2$のとき，trivial．
$n=3$のとき，$x^3=x(x-1{)}^2+2x^2-x$なので成り立つ．
［induction step］$n=k$ $(k\geqq 3)$のとき，成り立つと仮定する：
$$x^k=x(x-1{)}^2{Q}_k(x)+(k-1)x^2+(2-k)x$$
（ただし，$Q_k(x)$は$x$の多項式とする．）
が成り立つと仮定する．
この仮定から，
$$x^{k+1}=x(x-1{)}^2(x{Q}_k(x))+(k-1)x^3+(2-k)x^2$$
$x^{k+1}$を$x(x-1{)}^2$で割ったときの余りは，
$(k-1)x^3+(2-k)x^2$を$x(x-1{)}^2$で割ったときの余りに等しい．
$n=3$のときの式を使って，
$$(k-1)x^3+(2-k)x^2=(k-1)x(x-1{)}^2+(k-1)(2x^2-x)+(2-k)x^2$$
$$(k-1)x^3+(2-k)x^2=(k-1)x(x-1{)}^2+k{x}^2+(1-k)x$$
よって，$n=k+1$のときも成り立つ．
［conclusion］
以上から，証明された．□□

上で確認したとおり，$n=1,2$のとき，trivialなので，
以降，$n$は3以上の自然数とする．

［解２］「積の微分」で，
$$x^n=x(x-1{)}^2{Q}_n(x)+a{x}^2+bx+c$$
ここで，余りは高々２次の多項式なので，$a{x}^2+bx+c$とし，
商は多項式$Q_n(x)$とした．
$x=0,1$として，
$c=0$, $a+b+c=1$
さらに等式を微分して，
$$n{x}^{n-1}=((x-1{)}^2{)}^{\prime }(x{Q}_n(x))+(x-1{)}^2(x{Q}_n(x){)}^{\prime }+2ax+b$$
$$n{x}^{n-1}=2(x-1)(x{Q}_n(x))+(x-1{)}^2(x{Q}_n(x){)}^{\prime }+2ax+b$$
ここで，$x=1$として，
$2a+b=n$
これらから，$a=n-1$，$b=2-n$，$c=0$.
余りは，$(n-1)x^2+(2-n)x$．
よって証明された．□□

［解３］「２項定理」で，
$$x^n=x((x-1)+1{)}^{n-1}=x\sum _{r=0}^{n-1}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r{(x-1)}^r$$
$$x^n=x\sum _{r=2}^{n-1}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r{(x-1)}^r+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{1}x(x-1)+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{0}x$$
余りは，
$${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{1}x(x-1)+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{0}x=(n-1)x^2+(2-n)x$$
よって証明された．□□