JMO2024本選2

　$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},\mathrm{lcm}(m,f(m+f(n)))=\mathrm{lcm}(f(m),f(m)+n)$らしいです．

　以下で与式への代入を$P(m,n)$で表す．
　まず，$m$を固定し，$f(m)+n$が$m$と互いに素であるように$n$を取ることで任意の$m$について$m\mid f(m)$であることがわかる．
　$f(1)=a$とおく．$P(1,1)$より$f(a+1)=a(a+1)$．さらに$P(1,a+1)$から$f(a^2+a+1)=2a^2+a$．よって$a^2+a+1\mid 2a^2+a=(a^2+a+1)+a^2-1$であるから，$a^2+a+1>a^2-1\ge 0$より$a=1$．
　$P(1,n)$より$f(f(n)+1)=n+1$．これより帰納的に任意の$n$について$f(n)=n$であることが分かる．十分性は明らか．