2つのAiry関数の積の積分

$(1.1),(1.6),(1.8)$を示せば十分です。$(1.1)$は「Airy関数の一般化２：C-両側Laplace変換と高階Airy関数」で示しているので省略します。まず$(1.6)$を示しましょう。
Airy関数を積分表示で書き換えてから積分の順序を交換すると、デルタ関数の積分表示から次のように書けます。
$$\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty e^{sx}\Ai{}{}(x+b)\Ai{}{}(x+d)dx&=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{i\frac{t^3}{3}+it(x+b)}e^{i\frac{y^3}{3}+iy(x+d)}e^{sx}dxdtdy \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}3(t^3+y^3)+i(bt+dy)}\delta(t+y-is)dtdy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}3(y^3-(y-is)^3)+i(-b(y-is)+dy)}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}e^{\frac{s^3}{3}-bs}\int_{-\infty}^\infty e^{-sy^2-i(s^2+d-b)y}dy\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{s}}e^{\frac{s^3}{3}-bs}\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2-i\frac{s^2+d-b}{\sqrt{s}}y}dy\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\pi s}}e^{\frac{s^3}{3}-bs}e^{-\frac14(\frac{s^2+d-b}{\sqrt{s}})^2}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\pi s}}e^{\frac{s^3}{12}-(b+d)\frac{s}{2}-\frac{(b-d)^2}{4s}} \end{align*}$$

次に$(1.8)$を示します。同じようにAiry関数を積分で書き直してからデルタ関数の積分表示を使いましょう。
$$\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty e^{-2isx}\Ai{}{}(ax+b)\Ai{}{}(cx+d)dx&=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{i\frac{t^3}{3}+it(ax+b)}e^{i\frac{y^3}{3}+iy(cx+d)}e^{-2isx}dxdtdy \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{i\frac{t^3+y^3}{3}+i(bt+dy)}\delta(at+cy-2s)dtdy\\ &=\frac{1}{2\pi|ac|}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}3(\frac{t^3}{a^3}+\frac{y^3}{c^3})+i(\frac{b}{a}t+\frac{d}{c}y)}\delta(t+y-2s)dtdy\\ &=\frac{1}{2\pi|ac|}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}3(-\frac{(y-2s)^3}{a^3}+\frac{y^3}{c^3})+i(-\frac{b}{a}(y-2s)+\frac{d}{c}y)}dy\\ \end{align*}$$
係数が対称的に表れるように$y=z-s$と変数変換し、指数部の多項式を展開して立体完成で二次の項を消しまてから$u=z+\frac{M}{N}s$と変数変換します。
$$\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty e^{-2isx}\Ai{}{}(ax+b)\Ai{}{}(cx+d)dx&=\frac{1}{2\pi|ac|}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{3a^3c^3}\left(Nz^3+3Msz^2+3Ns^2z+Ms^3\right)+\frac{i}{ac}\left(Dz+Ps\right)}dz\\ &=\frac{1}{2\pi|ac|}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{3a^3c^3}\left(N(z+\frac{M}{N}s)^3+3(N-\frac{M^2}{N})s^2z+(M-\frac{M^3}{N^2})s^3\right)+\frac{i}{ac}\left(Dz+Ps\right)}dz\\ &=\frac{1}{2\pi|ac|}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{3a^3c^3}\left(Nu^3+3(N-\frac{M^2}{N})s^2(u-\frac{M}{N}s)+(M-\frac{M^3}{N^2})s^3\right)+\frac{i}{ac}\left(D(u-\frac{M}{N}s)+Ps\right)}du\\ &=\frac{1}{2\pi|ac|}e^{i(P-\frac{DM}{N})\frac{s}{ac}-i(M-\frac{M^3}{N^2})\frac{2s^3}{3a^3c^3}}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{3a^3c^3}\left(Nu^3+3(N-\frac{M^2}{N})s^2u\right)+\frac{iD}{ac}u}du\\ \end{align*}$$
$v=\sqrt[3]{N}u/ac$と変数変換すればAiry関数の積分表示より次のように書けます。
$$\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty e^{-2isx}\Ai{}{}(ax+b)\Ai{}{}(cx+d)dx&=\frac{1}{2\pi\sqrt[3]{|N|}}e^{i(P-\frac{DM}{N})\frac{s}{ac}-i(M-\frac{M^3}{N^2})\frac{2s^3}{3a^3c^3}}\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{3}v^3+\frac{i}{a^2c^2\sqrt[3]{N}}(N-\frac{M^2}{N})s^2v+\frac{iD}{\sqrt[3]{N}}v}dv\\ &=\frac{1}{\sqrt[3]{|N|}}e^{i(P-\frac{DM}{N})\frac{s}{ac}-i(M-\frac{M^3}{N^2})\frac{2s^3}{3a^3c^3}}\Ai{}{}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{N}}(N-\frac{M^2}{N})\frac{s^2}{a^2c^2}+\frac{D}{\sqrt[3]{N}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt[3]{|N|}}e^{i(P-\frac{DM}{N})\frac{s}{ac}+i\frac{M}{N^2}\frac{8s^3}{3}}\Ai{}{}\left(-\frac{4ac}{N\sqrt[3]{N}}s^2+\frac{D}{\sqrt[3]{N}}\right) \end{align*}$$
$s\to is/2$と変数を置き換えれば求めていた式になります。

$(1.13)$を示せば十分です。$\Bi{}{}(x)=2\Re\Ai{}{}(\omega x)$を使えば$(1.8)$の証明と同じように解けます。

先ほど求めた$(1.10),(1.15)$を逆Fourier変換することで以下の積分表示を得ることができます。
$$\Ai{}{}(s+b)\Ai{}{}(s+d)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\cos\left(\frac{x^3}{12}+\frac{b+d}2x-\frac{(b-d)^2}{4x}+sx+\frac\pi4\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}$$
$$\Ai{}{}(s+b)\Bi{}{}(s+d)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\sin\left(\frac{x^3}{12}+\frac{b+d}2x-\frac{(b-d)^2}{4x}+sx+\frac\pi4\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}$$
これの両辺をHilbert変換すれば、三角関数のHilbert変換から求めていた式が得られます。