Nelsenによるヘロンの公式のエレガントな証明

$\mathrm{△}ABC$の3辺の長さを$AB=c,BC=a,CA=b$, 内接円の半径を$r$とする. さらに, 図1のように長さ$x,y,z$と角度$\alpha ,\beta ,\gamma$を設定する.
このとき,$x+y+z=s,x+y=c,y+z=a,z+x=b$より, $x=s-a,y=s-b,z=s-c.$ また, ${\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs.}$
ヘロン1

$\alpha +\beta +\gamma =90°$に注意すると, 図1の緑・青・黄と相似な三角形を図2のように組み合わせて長方形をつくることができる. その縦の長さに注目して
$xyz=r^2(x+y+z)=r^{2}s.$ よって, ${\displaystyle 1=\frac{xyz}{r^{2}s}=\frac{sxyz}{(rs{)}^2}=\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{S^2}}$より ${\displaystyle S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.}$

ヘロン2