コラッツ予想で循環する数が「1」のみ存在することの証明のアイデア

1.はじめに

こんにちは。えのきたけです。
ご覧いただきありがとうございます。
今回は、コラッツ予想で循環する数が「1」のみ存在することについての証明です。

2.仮定

コラッツ予想で1を除いた循環する奇数をC、Dとする。
C、Dは自然数かつ奇数、nは自然数。

3.循環の条件

条件とした以下の２つがあります。

①1に帰着しない。

②Cは $2^n\times C$ という偶数を通過する。
通過した時点で循環は示される。
循環の入り口はこれのみ。

8C→4C→2C→Cという道が唯一の Cに再帰する方法であり、2C、4C…という偶数に合流する奇数が再帰するための入り口のようなものです。

4.証明①（C＝D）

5.証明②（C≠D）

6.結論

7.最後に

最後までご覧いただきありがとうございました。
いかがでしたでしょうか？
ご意見・ご指摘を下さると助かります。

.追記

条件A、Bではどちらもnが使われていますが、値が違う可能性もあります。

A. 3D＋1 ＝ 2^{n}×C
B. 3C＋1 ＝ 2^{m}×D

と訂正します。本文中の証明はn＝mの場合です。

n≠mの場合のDは
$$D＝\frac{2^n＋3}{2^{n＋m}-9}$$
となります。
ですが、この場合でも結論は変わりません。

n＝2かつm＝2のときを考えると、
D＝1です。

分子と分母の大小関係について考えます。
n＝2かつ m＝2のときに分母と分子の差は0になります。

nの値で場合分けをします。

n＝1の場合

$$D＝\frac{5}{2^{1＋m}-9}$$
Dが正の数となるとき、 m＞2
（分子）＞（分母）となるとき m＝3
$$G＝\frac{5}{7}$$
（分子）＜（分母）となるとき m＞3

n＝2の場合

$$D＝\frac{7}{2^{2＋m}-9}$$
Dが正の数となるとき m＞1
（分子）＝（分母）となるとき m＝2、G＝1
（分子）＜（分母）となるとき m＞2

n＝3の場合

$$D＝\frac{11}{2^{3＋m}-9}$$
Dが正の数となるとき m＞0
（分子）＞（分母）となるとき m＝1
$G＝\frac{11}{7}$
（分子）＜（分母）となるとき m＞1

n＝4の場合

$$D＝\frac{19}{2^{4＋m}-9}$$
Gが正の数となるとき m＞0
（分子）＜（分母）となるとき m＞0

n＝5の場合…

つまり、言いたいことは、n＝4まで
（分子）＝（分母）となる数は「1」しか存在しなく
n$\geqq$4から、 mがどのような値でも
（分子）＜（分母）となるGしか現れなくなるということです。

結論としては、n≠mでも、G＝1のみだということです。