コラッツ予想で循環する数が「1」のみ存在することの証明のアイデア

まず、コラッツ予想において、1つの偶数に合流する奇数は1つのみです。
$2^{n}×C$ に合流する奇数をDとします。

証明①では、D＝Cの場合について考えます。

これは、$3C＋1 ＝ 2^{n}×C$
が成り立つとき、循環が発生することを示しています。

\begin{align} 3C ＋ 1 &＝ 2^{n}×C \\ 3C − 2^{n}×C &＝ −1 \\ C（3−2^{n}）&＝ −1 \\ 　C &＝ −\frac{1}{3−2^{n}} \\ 　C &＝　\frac{1}{2^{n}−3} \\ \end{align}

Cは自然数かつ奇数ですので、
結果の式が成り立つのはn＝2のときのみです。
n＝2のとき、C＝1になります。

よって、D＝Cのとき、Cは1のみという結論が得られました。

証明②では、D≠Cの場合を考えます。
D≠Cの場合、以下の２つの条件があります。

A.DがCの2のn乗倍を通過する
B.CがDの2のn乗倍を通過する

数式化すると、

.（D≠Cの場合の２つの条件）

A. $3D ＋ 1 ＝ 2^{n}×C$
B. $3C ＋ 1 ＝ 2^{n}×D$

Aの式からCの値を求めます。

\begin{align} 2^{n}×C &＝ 3D ＋ 1 \\ C &＝ \frac{3D＋1}{2^ {n}} \\ \end{align}

この式をBの数式に代入します。

\begin{align} 3（\frac{3D＋1}{2^ {n}}）＋1 &＝ 2^{n} × D \\ 　\frac{9D＋3}{2^ {n}}＋1 &＝ 2^{n} × D \\ 　\frac{9D＋3＋2^{n} }{2^ {n}} &＝ 2^{n} × D \\ 　両辺に2のn乗をかける \\ 　9D＋3＋2^{n} &＝ 2^{2n} × D \\ 　9D − 2^{2n} × D &＝ −（3＋2^{n}）\\ 　D（9−2^{2n}）&＝　−（2^{n}＋3）\\ 　D &＝ \frac{−（2^{n}＋3）}{9−2^{2n}} \\ 　D &＝ \frac{2^{n}＋3}{2^{2n}−9} \\ \end{align}
最後の式を見に注目して下さい。
nについて考えると、n＝1のとき、分母が負の値、n＞2のとき、分子＜分母となるので、
n＝2のみであることが分かります。

n＝2を代入して計算します。

Dを求める式（C≠Dの場合）

$$ D ＝ \frac{2^{n}＋3}{2^{2n}−9} $$

$$ D ＝ \frac{2^{2}＋3}{2^{2×2}−9} ＝ \frac{4＋3}{16−9} ＝ \frac{7}{7} ＝　1 $$

n＝2のとき、D＝1であることが分かりました。

もし、CがDに合流する間に別の奇数Eを通過するとしても、DとEで同じことが言えるので、問題はないです。

C≠Dの場合は、Cが存在しないことが証明されました。
（これは、Cは1に帰着しないという条件があるためです。）