特異点論入門〜これほど簡単な入門記事は多分ない〜スピンオフ

音沙汰ナクテってVtuberっぽい

続編は少々お待ちください...

皆々様,お久しぶりです.しんぎゅらです！！続編を書く書くと言いながら,音沙汰なくてすみません.
今回は,part2で紹介した

齋藤の

定理の

具体例を

紹介します

実はこの度,卒業研究発表会を無事完遂いたしまして,その際に調べた関数芽とその$\mathcal{K}$-軌道を紹介します.

本題

後々説明しますが$\mathcal{K}$-単純特異点(後ほど説明)の分類がある程度(私もどの程度か分かってない)研究されていて,有名なもので$A-D-E$のタイプは特異点論を勉強すれば耳にしないことはないでしょう.
今回説明するのは$E_{18}$-型特異点というものです.
$$\begin{array}{r}f(x,y)=x^3+y^{10}+\sum _{10i+3j>30}{a}_{ij}{x}^i{y}^j\end{array}$$という冪級数を考えます.

さてこの$f$は実は$f_{a,b}(x,y)=x^3+y^{10}+ax{y}^7+bx{y}^8$に$\mathcal{R}$-同値になります.(詳しくいうと,$\{a_{ij}\}$に対して$(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$が存在して$\mathcal{R}$-同値)(これは気合いの計算と$10$-決定(後ほど説明)を用います)
$f_{a,b}$は$a,b$を動かすと関数としてめっちゃ変わりそうですが,実は$a,b$によらずMilnor数$\mu (f)$は$18$で一定なのです.更に$\mathcal{K}$-同値類もたったの3つになるのです.はい、もう激ヤバ確定〜〜
その同値類とは
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{lll}{g}_1=x^3+y^{10}+x{y}^7+x{y}^8& & (a\ne 0)\\ g_2=x^3+y^{10}+x{y}^8& & (a=0,b\ne 0)\\ g_3=x^3+y^{10}& & (a=b=0)\end{array}\end{array}$
を代表元とする3つです.
同値類分布の様子(画像デカすぎ)
同値類が$3$つであることの証明はpart2で紹介した
$T(f)\cong T(g)\Rightarrow f{\sim }_{\mathcal{K}}g$(Mather-Yauの定理)
を用います.数式処理ソフトSingularで$T(g_1),T(g_2),T(g_3)$を調べると生成元を見比べれば,すぐに確認できます.手計算はやめとけ.

それぞれのTjurina数を求めると,$\tau (g_1)=16$,$\tau (g_2)=17$,$\tau (g_3)=18$になります.
齋藤の定理から,$\tau (f)=18$の時のみ重み付き斉次多項式$g_3=x^3+y^{10}$に$\mathcal{R},\mathcal{K}$-同値です.　ヤバ！！(ギャルピース)
また,$f_{a,b}$は$a,b$についてモジュライ($\mathcal{R}$-同値について)です。すなわち,$f_{a,b}{\sim }_{\mathcal{R}}{f}_{c,d}$ならば$(a,b)=(c,d)$ということです.これを考えれば「$\mathcal{K}$-同値だけど$\mathcal{R}$-同値でない」関数の具体例も得られますね！！ワオ！！

まとめ

• 単純特異点を勉強しよう
• 有限決定性を勉強しよう
• 齋藤の定理は大事
• 坂東は英二
• Mather-Yauの定理〜名前だけでも覚えて帰ってください

以上しんぎゅらでした！！まったね〜〜！！