JMO2006本選2

はじめに

どうも，Weskです．
本選前(3日前！)の大事な時間を一発ゲーに破壊されたので(1時間！)，これ以上被害を出さないようにすべく(？)，思いつき方をメモっておこうと思います．

問題

これ を見ましょう．

スペースを空けます．

1
11
111
1111
11111
111111
1111111
11111111
111111111
1111211111
111111111
11111111
1111111
111111
11111
1111
111
11
1

解説

まず無限個あるっていうのが引っかかります．なんですかこれは(？)
取り敢えず式を変形しましょう．
$(a^2-k)(b^2-k)=c^2-k$で$b=a+n$として$(a^2-k)((a+n)^2-k)=c^2-k$.
これを展開して，$$a^4+2na^3+n^2a^2-ka^2-ka^2-2kna-kn^2+k^2=c^2-k$$

$c$は平方部分の括りだしのみに使いそうなので，そこまで考慮しなくても良さそうですね．
右辺に$k$が出てきていないので，$-kn^2=-k$を満たす$n=±1$を代入したくなります．

試しに$n=1$としてみます．
$$a^4+2a^3+a^2-ka^2-ka^2-2ka-k+k^2=c^2-k$$
これを整理して，$$a^4+2a^3+(1-2k)a^2-2ka+k^2=c^2$$
なにやら因数分解出来そうな感じがします．実際，
$$a^4+2a^3+(1-2k)a^2-2ka+k^2=(a^2+a-k)^2$$ですね．なので条件を満たす組は$k$によらず，$a$の個数分すなわち無限個存在することがわかります．

よって答えは全ての整数です．

終わりに

これ本番中の極限状態で思いつくんですかね．思いつきましょう．
ところで皆さん，"スペース"中にある1箇所の間違えに気が付きましたか？