「三角形の内角の和はなぜ180°なのか」の説明について、数学において原因って何？

$A*B*C$より定義から$\exists l(A\in l, B\in l, C\in l)$
$l$に属する$B$から出る$A$と同じ側の半直線を$\textbf{l}_{h}$、
$l$に属する$B$から出る$C$と同じ側の半直線を$\textbf{l}'_{h}$とすると
$A\in \textbf{l}_{h},C\in \textbf{l}'_{h}$となるため$\angle ABC=\angle(\textbf{l}_{h},\textbf{l}'_{h})$と書ける
$\text{$\angle(m_{h},m'_{h})$が180°}\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\exists l(A\in l,B\in l,O\in l,A*O*B\land\exists\angle(l_{h},l'_{h})(\angle(l_{h},l'_{h})=\angle AOB,(l_{h},l'_{h})\equiv(m_{h},m'_{h})))$
という定義から、定義中の$\angle(l_{h},l_{h'})$を今回定めた$\angle(\textbf{l}_{h},\textbf{l}'_{h})$とすると
$\angle ABC=\angle(\textbf{l}_{h},\textbf{l}'_{h})$と書けるため
$\angle ABC$は180°の定義を満たす。

定義から明らかに$\angle(l_{h},m_{h})=\angle BAC,\angle(l_{h},m'_{h})=\angle BAC',\angle(m_{h},m'_{h})=\angle CAC'$
となっている。
ここで$C*A*C'$より$\angle(m_{h},m'_{h})$は180°と書け,
同様$B*A*B'$より$\angle(l_{h},l'_{h})$は180°と書ける。
180°の定義及び角の推移律より$\angle(m_{h},m'_{h})\equiv\angle(l_{h},l'_{h})$
定義から$l_{h},l'_{h}$は同一直線$l$に含まれ$m_{h},m'_{h}$も同一直線$m$に含まれる。
それより$\angle(l_{h},l'_{h}),\angle(m_{h},m'_{h})$の内部をそれそれ、
$l$で分けられた$C'$と同じ側の半平面、$m$で分けられた$B$と同じ側の半平面とすると
$m'_{h}$は$\angle(l_{h},l'_{h})$の内部に含まれ、$l_{h}$は$\angle(m_{h},m'_{h})$の内部に含まれると言える。
ここで$\angle(l_{h},m'_{h})\equiv\angle(m'_{h},l_{h})$及び、$\angle(l_{h},l'_{h})\equiv\angle(m'_{h},m_{h})$より角の加法性より、
$\angle(l_{h},l'_{h})\equiv\angle(m'_{h},m_{h})\land\angle(l_{h},m'_{h})\equiv\angle(m'_{h},l_{h})\Rightarrow\angle(l'_{h},m'_{h})\equiv\angle(l_{h},m_{h})$となる。

$n$は$l$に含まれない$A$を含むため$n\ne l$
平行の定義より$l$に含まれる$B$は$m$に含まれない。
$m$に並行で$B$を通る直線は$l$ただ一つ。よって$n\ne l$から$n$は$m$に並行でない。
すなわち$m,n$に共に含まれる点$C$が存在。

$n$に含まれ、$m$に含まれない点$A$を取ると$l$に並行で$A$を含むものは$n$ただ一つ。
$n$と$m$に含まれる点$B$が存在した時、命題3より$n,l$に共に含まれる$C$が存在する。
これは$n,l$が並行であることに反し$n,m$に含まれる$B$は存在せず$m,n$は並行。

$B,C$を含む$l$をとり、$l_{h}$を$l$に属し$B$から出る$C$と同じ側の半直線、
$l'_{h}$を$l$に属し$C$から出る$B$と同じ側の半直線とする。
$m$を$l$と異なる$B$を含む直線とし$m$に属し$B$から出るの半直線$m_{h}$及び$m_{h}$と異なる$m$に属し$B$から出るの半直線$m'_{h}$を取る。
$l$で分けられる半平面で$m_{h}$を含むものを取り、そこに含まれる点$C$から出る半直線$n_{h},n'_{h}$で$\angle(l_{h},m_{h})\equiv\angle(l'_{h},n_{h}),\angle(l_{h},m'_{h})\equiv\angle(l'_{h},n'_{h})$となるものが存在。
同様$l$で分けられる半平面で$m'_{h}$を含むものを取り、そこに含まれる点$C$から出る半直線$n''_{h},n'''_{h}$で$\angle(l_{h},m_{h})\equiv\angle(l'_{h},n''_{h}),\angle(l_{h},m'_{h})\equiv\angle(l'_{h},n'''_{h})$となるものが存在。
一点を含む平行線の一意性より$m_{h}$または$m'_{h}$は$n_{h},n'_{h},n''_{h},n'''_{h}$のいずれかと交点(二半直線に共に含まれる点)を持つ。
これより$m_{h},n_{h}$に共に含まれる$A$が存在するとして良い。
$AB\equiv AC$を示すことで題意の$A$の存在を示そう
$AB\not\equiv AC$を仮定すると$AB,AC$のどちらかの内点$B',C'$があり$AB'\equiv AC,AC'\equiv AB$となる。
それゆえ$AB$の内点で$AB'\equiv AC$なる$B'$が存在するとしよう。
$AC\equiv B'B,\angle B'BC\equiv \angle ACB,BC\equiv CB$より$\angle ABC\equiv\angle B'CB$が成り立つ。
$\angle ABC\equiv\angle ACB$より$\angle B'CB\equiv\angle ABC$が成立するが$l$で分けられた$A$と同じ側に$B'$があるため角の一意性より$A,B'$は$C$から出る同一の半直線$n_{h}$に含まれる。
しかし$A,B'$は同一の半直線$m_{h}$にも含まれるため$A=B'$でありこれは$A*B'*B$に反する。
よって$AB\equiv AC$となり、題意を満たす$A$が存在する。

さらに上から$AB\equiv AC\Leftarrow \angle ABC\equiv\angle ACB$もわかる。
$AB\equiv AC$の時$\angle BAC\equiv\angle CAB$も踏まえると$\angle ABC\equiv\angle ACB$となるため、
$AB\equiv AC\Rightarrow \angle ABC\equiv\angle ACB$が示された。

$l'_{h}$に含まれ$AO\equiv A''O$となる$A''$が存在するので$A''$を$A'$として取り直すとしよう。
命題5より$A,A'$から$AB\equiv A'B$なる点$B$が存在、命題5から$l$で分けられる半平面で$B$と異なる側に$\angle B'AA'\equiv\angle B'A'A$なる$B'$が取れる。
$B$と同様$B'$についても命題5から$B'A\equiv B'A'$となる。
$AA',BB'$共に内点となる$O'$をとる。
$\angle BAA'\equiv\angle BA'A,\angle B'AA'\equiv\angle B'A'A$より$\angle BAB'\equiv\angle BA'B'$となるため。
$AB\equiv A'B,AB'\equiv A'B',\angle BAB'\equiv\angle BA'B'$より
$\angle ABB'\equiv\angle A'BB'$が成り立つ。
$A*O'*A',B*O'*B'$より
$\angle BAO'\equiv\angle BAA'\equiv\angle BA'A\equiv\angle BA'O',\angle B'AO'\equiv\angle B'AA'\equiv\angle B'A'A\equiv\angle B'A'O'$
となる。
$BO'\equiv BO',AB\equiv A'B,\angle ABO'\equiv\angle A'BO'$より$\angle BO'A\equiv\angle BO'A'$となり、
これまでと同じ様に$O'A\not\equiv O'A'$とした時$O'A''\equiv O'A,O'*A''*A'$となる$A''$が存在するとしてよく$\angle O'BA''\equiv\angle O'BA'$となるが角の一意性より$A'=A'',O'A\equiv O'A'$でないといけない。
線分の加法性と$AO\equiv A'O,AO'\equiv A'O'$より$O'=O$となる。
以上より$O,B$を含む直線を$m$とし$m$に属し$O$から出る$B$と同じ側にある半直線を
$m_{h}$とすると$\angle(l_{h},m_{h})\equiv\angle(l'_{h},m_{h})$が成り立つ。

$l,m$が平行でないとすると$l,m$に共に含まれる点$E$が存在、命題6から$E$が$l,m$で$C,D$と同じ側にある時も、そうでない時も$\angle BAE,\angle ABE$は共に直角となる。
ここで$C'*A*E,D'*B*E$となる様に$C',D'$をとった時について
$\angle C'AB,\angle D'BA$も命題6から直角となる。
$l$に属する$A$から出る$C'$と同じ側の半直線は$AE\equiv AE'$なる$E'$を含むが、
この$E'$で$\angle E'BA\equiv \angle BAE$となる。角の一意性から$\angle E'BA$が直角の時$E'$は$m$に含まれる、すなわち$E'$は$l,m$ともに含まれる。
$l,m$と$E,E'$はそれぞれ明らかに異なり異なる直線$l,m$に共に含まれる点が2つとなってしまい矛盾。
よって$l,m$は平行。

$n'_{h}$が$n'$に属する半直線とする。
$n'$が$n$と平行であることを示せば良い。
命題5の証明より$A,B$について$A*M*B,AM\equiv BM$なる点$M$が取れた。
$n$に並行で$M$を含む直線$k$を取り$M$から出る半直線$k_{h}$を一つとっておくと
命題6で$M$を頂点とする角$\angle(k_{h},j_{h})$が直角である様なものが取れる、$j_{h}$は$j$に属するとする。
$n,j$が共に含む点を$H$、$n',j$が共に含む点を$H'$とする、
$MH\not\equiv MH'$とした時$j$に含まれ$MH''\equiv MH$なる$H'$でない点$H''$が$j$の$M$から出る$H'$と同じ側の半直線に含まれる。
$MH''\equiv MH,AM\equiv BM,\angle HMB\equiv\angle H''MA$より、
$\angle H''AM\equiv\angle HBM$となるが、$\angle H'AM\equiv\angle HBM$となっていたので
角の一意性から$H',H''$は同一の直線に含まれ$H'=H''$となってしまう。
よって$MH\equiv MH'$
命題2から
$MH\equiv MH',MA\equiv MB,\angle AMH'\equiv\angle BMH$より$\angle MH'A\equiv\angle MBH$
つまり$\angle MH'A$が直角とわかる。
命題7より$n,n'$は平行である。

命題8及び一点を通る平行線の一意性より
$\angle(m'_{h},n''_{h})\equiv\angle(l_{h},n_{h})$でない時$l,m$が平行でなく$\angle(m'_{h},n''_{h})\equiv\angle(l_{h},n_{h})$となる。
さらに命題2より$\angle(m'_{h},n''_{h})\equiv\angle(m_{h},n'_{h})$となるため
$\angle(l_{h},n_{h})\equiv\angle(m_{h},n'_{h})$

$B,C$を共に含む$C$から出る$B$と同じ側の半直線を$m_{h}$で$m$に属す、
$C,A$を共に含む$C$から出る$A$と同じ側の半直線を$n_{h}$で$n$に属す、とする。
$AB$の内点$D$を一つ取り$C,D$を共に含む直線を$i$とする。
$\angle ABC\equiv\angle(m_{h},l_{h})$なる$l_{h}$で
$i$で分けられた$B$と同じ側の半平面に含まれているものをとる。
$\angle CAB\equiv\angle(n_{h},k_{h})$なる$k_{h}$で
$i$で分けられた$A$と同じ側の半平面に含まれているものをとる。
$A,B$を共に含む直線に平行で$C$を含むものを$j$とする。
この時命題9より$j$に属す半直線$l'_{h},k'_{h}$で$\angle ABC\equiv\angle(m_{h},l'_{h}),\angle BAC\equiv\angle(n_{h},k'_{h})$
となる。これにより$\angle(m_{h},l'_{h})\equiv\angle(m_{h},l_{h}),\angle(m_{h},l_{h})\equiv\angle(m_{h},k_{h})$がわかる。
角の一意性より$l_{h},k_{h}$は$j$に含まれる半直線である。
$A,B$が$i$で分けられた半平面で異なる側に含まれるため$l_{h},k_{h}$は$C$で分けられる異なる側の半直線2つ。
故に$l_{h}$に含まれる$E$、$k_{h}$に含まれる$E'$を取ると、
$E*C*E'$となり$\angle(l_{h},k_{h})$は180°となる。
以上の時$\angle ABC\equiv\angle(l_{h},m_{h}),\angle BCA\equiv\angle(m_{h},n_{h}),\angle CAB\equiv\angle(n_{h},k_{h})$
となり、$\angle(l_{h},k_{h})$は180°となっている。