Legendre関数の積のモーメント

Legendre関数は
\begin{align} P_{\nu}(x):=\F21{-\nu,\nu+1}{1}{\frac{1-x}2} \end{align}
によって定義される. 今回は区間を$(0,1)$に移して$a=-\nu$としてモーメント
\begin{align} \int_0^1t^n\F21{a,1-a}1{t}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt \end{align}
を考える. まず, 項別積分により,
\begin{align} &\int_0^1t^n\F21{a,1-a}1{t}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt\\ &=\int_0^1\sum_{0\leq k}\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}t^{n+k}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}\int_0^1t^{n+k}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt \end{align}
である. ここで, さらに項別積分により,
\begin{align} &\int_0^1t^m\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}\int_0^1t^m(1-t)^k\,dt\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}\frac{m!k!}{(m+k+1)!}\\ &=\frac 1{m+1}\F21{a,1-a}{m+2}1\\ &=\frac 1{m+1}\frac{\Gamma(m+2)\Gamma(m+1)}{\Gamma(m+2-a)\Gamma(m+1+a)}\\ &=\frac{\sin\pi a}{\pi}\frac{m!^2}{(a,1-a)_{m+1}} \end{align}
であるから, これを用いると,
\begin{align} &\int_0^1t^n\F21{a,1-a}1{t}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt\\ &=\frac{\sin\pi a}{\pi}\sum_{0\leq k}\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}\frac{(n+k)!^2}{(a,1-a)_{n+k+1}}\\ &=\frac{\sin\pi a}{\pi}\sum_{0\leq k}\frac{(k+1)_n^2}{(a+k,1-a+k)_{n+1}} \end{align}
となる. ここで, $a\neq \frac 12$としておいて, 部分分数分解により,
\begin{align} \frac{(x+1)_n^2}{(a+x,1-a+x)_{n+1}}&=\sum_{j=0}^n\frac 1{j+a+x}\frac{(-1)^j(1-a-j)_n^2}{j!(n-j)!(1-2a-j)_{n+1}}\\ &\qquad+\sum_{j=0}^n\frac 1{j+1-a+x}\frac{(-1)^j(a-j)_n^2}{j!(n-j)!(2a-1-j)_{n+1}}\\ &=\frac 1{1-2a}\sum_{j=0}^n\frac 1{j+a+x}\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}\\ &\qquad-\frac 1{1-2a}\sum_{j=0}^n\frac 1{j+1-a+x}\frac{(a)_{n-j}^2(1-a)_j^2}{(n-j)!(2a)_{n-j}j!(2-2a)_j}\\ &=\frac 1{1-2a}\sum_{j=0}^n\left(\frac 1{j+a+x}-\frac 1{n-j+1-a+x}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}} \end{align}
となるから,
\begin{align} &\int_0^1t^n\F21{a,1-a}1{t}\F21{a,1-a}1{1-t}\,dt\\ &=\frac{\sin\pi a}{\pi(1-2a)}\sum_{j=0}^n\sum_{0\leq k}\left(\frac 1{j+a+k}-\frac 1{n-j+1-a+k}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}\\ &=\frac{\sin\pi a}{\pi(1-2a)}\sum_{j=0}^n\left(\sum_{0\leq k}\left(\frac 1{a+k}-\frac 1{1-a+k}\right)-\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}+\sum_{m=0}^{n-j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}\\ &=\frac{\cos\pi a}{1-2a}\sum_{j=0}^n\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}\\ &\qquad-\frac{\sin\pi a}{\pi(1-2a)}\sum_{j=0}^n\left(\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}-\sum_{m=0}^{n-j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}} \end{align}
となる. ここで, 第2項の係数を除いた部分の母関数を考えると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}x^n\sum_{j=0}^n\left(\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}-\sum_{m=0}^{n-j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}\\ &=\left(\sum_{0\leq j}\frac{(a)_j^2}{j!(2a)_j}x^j\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}\right)\F21{1-a,1-a}{2-2a}{x}-\left(\sum_{0\leq j}\frac{(1-a)_j^2}{j!(2-2a)_j}x^j\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\F21{a,a}{2a}{x} \end{align}
となる. Eulerの変換公式
\begin{align} \F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{c}{x} \end{align}
の両辺を$a$で偏微分してから$b=a,c=2a$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq j}\frac{(a)_j^2}{j!(2a)_j}x^j\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}&=-\frac 12\ln(1-x)\F21{a,a}{2a}x \end{align}
を得る. $a\mapsto 1-a$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq j}\frac{(1-a)_j^2}{j!(2-2a)_j}x^j\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+1-a}=-\frac 12\ln(1-x)\F21{1-a,1-a}{2-2a}x \end{align}
も分かる. よって, これらを用いて,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}x^n\sum_{j=0}^n\left(\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}-\sum_{m=0}^{n-j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}}=0 \end{align}
つまり,
\begin{align} \sum_{j=0}^n\left(\sum_{m=0}^{j-1}\frac 1{m+a}-\sum_{m=0}^{n-j-1}\frac 1{m+1-a}\right)\frac{(a)_j^2(1-a)_{n-j}^2}{j!(2a)_j(n-j)!(2-2a)_{n-j}} \end{align}
が得られた. まとめると以下を得る.

特に$a\to\frac 12$とすると以下を得る.
\begin{align} &\int_0^1t^n\F21{\frac 12,\frac 12}1{t}\F21{\frac 12,\frac 12}1{1-t}\,dt=\frac{\pi}2\sum_{k=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_k^2\left(\frac 12\right)_{n-k}^2}{k!^2(n-k)!^2} \end{align}

定理1はLegendre関数に書き直すと
\begin{align} \int_{-1}^1\left(\frac{1+t}2\right)^nP_{\nu}(t)P_{\nu}(-t)\,dt&=\frac{2\cos\pi\nu}{2\nu+1}\sum_{k=0}^n\frac{(-\nu)_k^2(1+\nu)_k^2}{k!(-2\nu)_k(n-k)!(2+2\nu)_{n-k}} \end{align}
となる.

母関数と有限Hilbert変換

定理1の両辺の母関数を考えると,
\begin{align} \int_0^1\frac{\F21{a,1-a}{1}{t}\F21{a,1-a}{1}{1-t}}{1-xt}\,dt&=\frac{\cos\pi a}{1-2a}\F21{a,a}{2a}{x}\F21{1-a,1-a}{2-2a}{x} \end{align}
を得る.　ここで, Euler積分表示より,
\begin{align} \frac 1{x^a}\F21{a,a}{2a}{\frac 1x}&=\frac{\Gamma(2a)}{\Gamma(a)^2}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{a-1}(x-t)^{-a}\,dt \end{align}
であり, $\Im(x)>0$としておくと,
\begin{align} &\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{a-1}(x-t)^{-a}\,dt\\ &=\int_0^xt^{a-1}(1-t)^{a-1}(x-t)^{-a}\,dt+\int_x^1t^{a-1}(1-t)^{a-1}(x-t)^{-a}\,dt\\ &=\int_0^1t^{a-1}(1-xt)^{a-1}(1-t)^{-a}\,dt+\int_0^{1-x}t^{a-1}(1-t)^{a-1}(x-1+t)^{-a}\,dt\\ &=\frac{\pi}{\sin\pi a}\F21{a,1-a}{1}{x}+e^{-i\pi a}\int_0^1t^{a-1}(1-(1-x)t)^{a-1}(1-t)^{-a}\,dt\\ &=\frac{\pi}{\sin\pi a}\left(\F21{a,1-a}{1}{x}+e^{-i\pi a}\F21{a,1-a}{1}{1-x}\right) \end{align}
つまり,
\begin{align} \frac 1{x^a}\F21{a,a}{2a}{\frac 1x}&=\frac{\Gamma(2a)\Gamma(1-a)}{\Gamma(a)}\left(\F21{a,1-a}{1}{x}+e^{-i\pi a}\F21{a,1-a}{1}{1-x}\right) \end{align}
を得る. $a\mapsto 1-a$としたものと掛け合わせると
\begin{align} &\frac 1{x}\F21{a,a}{2a}{\frac 1x}\F21{1-a,1-a}{2-2a}{\frac 1x}\\ &=\Gamma(2a)\Gamma(2-2a)\left(\F21{a,1-a}{1}{x}+e^{-i\pi a}\F21{a,1-a}{1}{1-x}\right)\\ &\qquad\cdot\left(\F21{a,1-a}{1}{x}-e^{i\pi a}\F21{a,1-a}{1}{1-x}\right)\\ &=\frac{\pi(1-2a)}{\sin 2\pi a}\left(\F21{a,1-a}{1}{x}^2-\F21{a,1-a}1{1-x}^2\right)\\ &\qquad-\frac{\pi i(1-2a)}{\cos\pi a}\F21{a,1-a}{1}{x}\F21{a,1-a}{1}{1-x}\\ \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\int_0^1\frac{\F21{a,1-a}{1}{t}\F21{a,1-a}{1}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &=\frac{\cos\pi a}{1-2a}\frac 1{x}\F21{a,a}{2a}{\frac 1x}\F21{1-a,1-a}{2-2a}{\frac 1x}\\ &=\frac{\pi}{2\sin\pi a}\left(\F21{a,1-a}{1}{x}^2-\F21{a,1-a}1{1-x}^2\right)\\ &\qquad-\pi i\F21{a,1-a}{1}{x}\F21{a,1-a}{1}{1-x} \end{align}
となるから, $0<\Re(x)<1$として, $\Im(x)\searrow 0$とすると,
\begin{align} &PV\int_0^1\frac{\F21{a,1-a}{1}{t}\F21{a,1-a}{1}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &=\frac{\pi}{2\sin\pi a}\left(\F21{a,1-a}{1}{x}^2-\F21{a,1-a}1{1-x}^2\right) \end{align}
を得る. ここで, $PV$は主値積分
\begin{align} PV\int_0^1\frac{f(t)}{x-t}\,dt=\lim_{\varepsilon\searrow 0}\left(\int_0^{x-\varepsilon}+\int_{x+\varepsilon}^1\right)\frac{f(t)}{x-t}\,dt \end{align}
を表す. これはLegendre関数で書き換えると以下のようになる.

これはZhouの2014年の論文で示された結果であり, Legendre関数の4つの積の積分に応用されている.