レベル5デスに関する探究
ゲーム『Final Fantasy V』におけるレベル5デスに関する探究
ここでは$\mathbb{Z}$など, 一般的な数学で使われる用語を用います.
対象とする操作
$L \in \mathbb{Z}$とする.以下の操作を可能な操作とする.
(1) $L$に$10$を加える.この操作を$S$とよぶ.
(2) $L$を$2$で割り, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$において$L = 1$なら端数を切り捨てる.この操作を$B$とよぶ.
それぞれFF5における「サムソンパワー」「黒の衝撃」というアビリティに対応する.
「レベル2オールド」「ドラゴンパワー」という操作もFF5にはあるが, これは扱わない.
また黒の衝撃は効かないこともあるが, それは無視する.
FF5のレベル下限は$1$であり, それ未満にはならない.これは手数を増やさないと考えられるので, 無視する.
これらの条件のもとでどのくらいの手数を以って$L$を$5$の倍数にできるかを考える.
$L$を$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$で考えたものを$L = R \ (0 \le R \le 4)$とおく.
$L$をバイナリ($2$進法)で表したものを$L = \cdots p_8p_4p_2p_1$と表す.
これらの組$(R, \cdots p_8p_4p_2p_1)$によって$L$を表現する.
$(0, \cdots p_8p_4p_2p_1)$のようになればこれは$5$の倍数となる.
$S$と$B$によって$L$は以下のように変わる.
(1) $S$は$(R, \cdots p_8p_4p_2p_1)$を$(R, \cdots p_8^cp_4p_2^cp_1)$に変える.$p_8^c, p_2^c$は0, 1の交替であり, $p_{16}$以降は$p_8 = 1$であるときに交替するが, 必要になるまで無視する.
(2) $B$は$(R, \cdots p_4p_2p_1)$を$(R', \cdots p_4p_2)$に変える.ただし,
$R' =
\begin{cases}
0 ; ((R, p_1) = (1, 1)) \\
1 ; ((R, p_1) = (2, 0) \ \text{or} \ (3, 1)) \\
2 ; ((R, p_1) = (4, 0)) \\
3 ; ((R, p_1) = (1, 0) \ \text{or} \ (2, 1)) \\
4 ; ((R, p_1) = (4, 1) \ \text{or} \ (3, 0))
\end{cases}$
- $S$は$10 = 1010_{(2)}$を加える操作であるから成り立つ.
- 二進法において$2$で割る操作は位をひとつ動かす操作に対応するが, 小数下を無視するので$p_1$を無視することになり, $p_4p_2p_1$は$p_4p_2$となる.
また, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$は体であるため$2$は単元であり, $2$の乗法逆元は$3$である.
$p_1 = 0$のときは$2$で割り切れるということを意味するので, 単純に$3$を掛けることができ,
$1 \rightarrow 3, 2 \rightarrow 1, 3 \rightarrow 4, 4 \rightarrow 2$という変換則が得られる.
$p_1 = 1$のときは$B$を$-1$を行ってから$2$で割る操作と同一視できるので,
$2 \rightarrow 3, 3 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 4$という変換則が得られる.
$1$の場合は$-1$すると$10$の倍数となるため, $0$となる.
よって上記のような対応規則が得られる.
以下のような手数を考えた(すでに$5$の倍数である$L$は無視する).
case1:$(1, \cdots p_4p_21)$の場合
$B$をすればよい.1手.
case2-1, 2:$(1, \cdots 110), (3, \cdots 11)$の場合
$B \rightarrow B$をすると$(1, \cdots 110) \rightarrow (3, \cdots 11) \rightarrow (1, \cdots 1)$となりcase1に帰着できる.あわせて3手.同時に$(3, \cdots 11)$の場合も網羅でき, この場合は2手.
case3:$(1, \cdots 101), (3, \cdots 01)$の場合
$B \rightarrow S$をすると$(1, \cdots 101) \rightarrow (3, \cdots 01) \rightarrow (3, \cdots p_{16}^cp_811)$となりcase2-2に帰着できる.あわせて4手.$(3, \cdots 01)$の場合も網羅でき, この場合は3手.
case4:$(2, \cdots 10)$の場合
$B$をすると$(1, \cdots 1)$となりcase1に帰着できる.あわせて2手.
case5:$(2, \cdots 11)$の場合
$B$をすると$(3, \cdots 1)$となりcase2, 3に帰着できる.あわせて3 or 4手.
case6:$(2, \cdots 0p_1)$の場合
$S$をすると$(2, \cdots p_8^cp_41p_1)$となりcase4, 5に帰着できる.あわせて3 or 4 or 5手.
case7:$(4, \cdots 0)$の場合
$B$をすると$(2, \cdots p_2)$となりcase4, 5, 6に帰着できる.あわせて3 or 4 or 5 or 6手.
case8:$(4, \cdots 01)$の場合
$B$をすると$(4, \cdots 0)$となりcase7に帰着できる.あわせて4 or 5 or 6 or 7手.
case9:$(4, \cdots 11)$の場合
$S \rightarrow B$をすると$(4, \cdots 11) \rightarrow (4, p_4^c01) \rightarrow (4, p_4^c0)$となりcase7に帰着できる.あわせて5 or 6 or 7 or 8手.
case10:$(3, \cdots 0)$の場合
$B$をすると$(4, \cdots p_4p_2)$となりcase7, 8, 9に帰着できる.あわせて6 or 7 or 8 or 9手.
9手であるケースの場合, ドラゴンパワーであれば9回用いると180レベル上昇する.
レベル上限が255であることからドラゴンパワーを用いてレベル255にする場合もレベルは5の倍数となるため, これと比較して手数が減っているかも問題の対象となりうる.
255 - 180 = 75でありこれは実際ありうる数字だ.
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