ある命題の真偽に関する問題について

本稿では，以下の投稿で取り上げられている問題について解説する．

大学受験生の答案を添削中。以下のような答案が何枚かあった。「ある」の意味を誤解しているのだろうか…？ pic.twitter.com/MZkyVObH5k

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) January 26, 2026

取り上げられている内容

問題

次の命題$p$の真偽を判定せよ．（理由も述べよ）
命題$p$：ある正の整数$n$に対し$n(n+1)$は奇数である．

答案

命題$p$は偽である．理由は次の通りである．
$n=1$のとき$n(n+1)=2$で，これは奇数でない．

この答案は残念ながら誤りである．以下，その理由を解説する．

命題$p$を正しく理解する

この問題に正答するためには，命題$p$の意味を正しく理解する必要がある．結論を述べてしまうと，
「ある正の整数$n$に対し$n(n+1)$は奇数である．」＝「$n(n+1)$が奇数となる正の整数$n$が存在する．」
である．よって，命題$p$が偽であることを示すには「$n(n+1)$が奇数となる正の整数$n$が存在しない」ことを証明する必要がある．
この言い換えは数学に慣れている者であれば何も違和感なく受け入れられるのだが，そうでなければ迷ってしまうのも無理はない．

数学は日常から離れ，形式的に創り上げられた非日常の世界を渡り歩く学問である．ゆえに，数学で使われる表現はしばしば日常世界のそれと乖離しうる．命題$p$に現れる「ある」は正にその一例である．

余談：ヘンペルのカラス

一般に，何らかの対象が存在しないことを証明するのは困難である．何故なら，存在することの証明では対象を一つでも見つけてくればよいのに対し，存在しないことの証明ではそれが通用しないからである．これと関連する話題に『ヘンペルのカラス』というものがある．

この世に存在する全ての「黒くないもの」が「カラスでない」ことを証明するのは極めて困難である．これも結局は存在しないことの証明だからである．

数学における「任意の」と「ある」

説明のために，次の命題$q$を考える．
命題$q$：任意の正の整数$n$に対し$n(n+1)$は奇数である．

命題$q$は「全ての正の整数$n$に対し$n(n+1)$は奇数である．」と言い換えられる．これは「任意の」を「全ての」に置き換えただけなので，「ある」に比べればわかりやすい．命題$p,q$が並べてあれば，もしかしたら最初の問題の正答率は上がるかもしれない．

「任意の」

先述の通り，「任意の～に対して…」は「全ての～に対して…」という意味である．
英語では"For all ～, …"と表現される．
記号では$\forall$を用いて表す．

「ある」

「ある～に対して…が成り立つ」は「…が成り立つような～が存在する」という意味である．
英語では"There exists ～ such that …"と表現される．
記号では$\exists$を用いて表す．また，"such that"はよくs.t.と略される．

「任意」と「ある」の合わせ技

「…が成り立つような～が存在する」というわかりやすい言い方があるにもかかわらず，わざわざ「ある」という表現を使うのには理由がある．例えば，次のような命題を考えてみよう．

• 命題$r_1$：任意の正の整数$m$に対し，ある正の整数$n$が存在して$m< n$が成り立つ．
• 命題$r_2$：ある正の整数$m$が存在して，任意の正の整数$n$に対し$m< n$が成り立つ．

命題$r_1,r_2$は「任意の」と「ある」の位置を入れ替えただけであるが，その真偽は異なる．
さらに，記号$\forall$と$\exists$を用いて書くと次のようになる．

• 命題$r_1$：$\forall m:$正の整数，$\exists n:$正の整数 s.t. $m< n$
• 命題$r_2$：$\exists m:$正の整数 s.t. $\forall n:$正の整数，$m< n$

「任意の」や「ある」による言い回しは，記号を用いた記述を“直訳”したものなのである．

問題の解答

問題1

任意の正の整数$n$に対して$n(n+1)$が奇数でない，すなわち偶数であることを示せばよい．

• $n$が偶数のとき，$n(n+1)$は偶数である．
• $n$が奇数のとき，$n+1$は偶数であるから，$n(n+1)$も偶数である．

よって，任意の正の整数$n$に対して$n(n+1)$は奇数でないから，$n(n+1)$が奇数となる正の整数$n$は存在しない．

問題2

命題$q$は偽である．理由は次の通りである．
$n=1$のとき$n(n+1)=2$で，これは奇数でない．

問題3

命題$r_1$

命題$r_1$は真である．理由は次の通りである．
任意の正の整数$m$に対し，$n=m+1$は$m< n$を満たす．

命題$r_2$

命題$r_2$は偽である．理由は次の通りである．
任意の正の整数$n$に対して$m< n$が成り立つには，$n=1$に対して$m< n$が成り立つことが必要条件となる．ところが，$m<1$を満たす正の整数$m$は存在しない．