米田の補題
0. はじめに
圏論を勉強すると誰もが聞く, 米田の補題について解説します. 圏, 関手, 自然変換の定義の知識は仮定します.
1. Notations
- 圏$\mathcal C$と任意の$a,b\in\mathcal C$に対して, $\mathcal C(a,b)$を$a$から$b$への射の集まりとする.
- $\mathcal C,\ \mathcal D$を圏としたとき, $\mathcal C^{\mathcal D}$を関手圏とする.
2. 準備(hom関手)
$\mathcal C$を局所小圏, $a\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)$を対象としたとき, $\mathcal C(a,-):\mathcal C\to\mathbf{Set}$を, 任意の$x\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)$に対して
\begin{align}
x\ \longmapsto\ \mathcal C(a,x),
\end{align}
任意の$f:x\to y$に対して
\begin{align}
f\ \longmapsto\ \mathcal C(a,f):=f\circ -:\mathcal C(a,x)\to\mathcal C(a,y)
\end{align}
と対応させるものとすると, これは関手となる(証明は略). このように構成された関手を(共変)hom関手という.
3. 本題
$\mathcal C$を局所小圏としたとき, 集合としての全単射
\begin{align}
\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)\cong Fa
\end{align}
が存在する.
主張の全単射性を確認するため, まずは左辺$\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)$に住んでいる元の性質について確認する. $\beta\in\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)$は自然変換であるので, 各$x\in\mathcal C$に対して写像$\beta_x:\mathcal C(a,x)\to Fx$がある.
\begin{xy}
\xymatrix{
\mathcal C(a,x)\ar[d]^{\beta_x}\\
Fx
}
\end{xy}
実は, この写像$\beta_x$は, $\beta$が自然変換であることから非常に限られる. 具体的に$\beta_x$がどのような写像になるか見てみよう.
- $\mathcal C(a,x)=\varnothing$(空集合)のとき
$\beta_x:\mathcal C(a,x)=\varnothing\to Fx$は, 唯一の空写像に限られる. - $\mathcal C(a,x)\ne\varnothing$のとき
$\beta$は自然変換なので, 任意の$f\in\mathcal C(a,x)$に対して以下の図式が可換となる.
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal C(a,a)\ar[r]^{f\circ -}\ar[d]_{\beta_a}&\mathcal C(a,x)\ar[d]^{\beta_x}\\ Fa\ar[r]_{Ff}&Fx } \end{xy}
このとき, この図式に関して$\mathrm{id}_a\in\mathcal C(a,a)$を使ってdiagram chaseを行うと, ($u:=\beta_a(\mathrm{id}_a)$としている)
\begin{xy} \xymatrix{ \mathrm{id}_a\ar@{|->}[r]^{f\circ -}\ar@{|->}[d]_{\beta_a}&f\ar@{|->}[d]^{\beta_x}\\ u\ar@{|->}[r]_{Ff}&\substack{\beta_x(f)\\=F(f)(u)} } \end{xy}
となる. よって写像$\beta_x:\mathcal C(a,x)\to Fx$は
\begin{align} \beta_x(f)=F(f)(u) \end{align}
という写像であることがわかる.
以上の考察から, $\mathrm{id}_a$の行き先である$u:=\beta_a(\mathrm{id}_a)$さえわかれば, $\beta\in \mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)$がどのような自然変換かが一意に定まることが分かる. よって, 以下の写像
\begin{align}
\Phi_{a,F}:\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)\to Fa,\qquad \beta\mapsto \beta_a(\mathrm{id}_a)
\end{align}
を考えることで米田の補題の両辺を調べようとするのは自然な発想である. 実は, 写像$\Phi_{a,F}$は以下の写像を逆写像として持つ.
\begin{align}
\Psi_{a,F}:Fa\to\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F),\qquad u\mapsto F(-)(u).
\end{align}
これは, 先ほどのdiagram chaseを思い出してほしい.
\begin{xy}
\xymatrix{
\mathrm{id}_a\ar@{|->}[r]^{f\circ -}\ar@{|->}[d]_{\beta_a}&f\ar@{|->}[d]^{\beta_x}\\
u\ar@{|->}[r]_{Ff}&\substack{\beta_x(f)\\=F(f)(u)}
}
\end{xy}
このことから, 自然変換の各成分の形は
\begin{align}
\beta_x=F(-)(u)
\end{align}
となるべきことがわかる. このようなことから$\Psi_{a,F}$が$\Phi_{a,F}$の逆写像の候補として容易に考えられる.
これらの考察から, $\Phi_{a,F}$が米田の補題の同型を与えることが予想できたが, 最後にこれらが本当に全単射であるかを確認する.
上で与えた$\Phi_{a,F},\ \Psi_{a,F}$が逆写像の関係であることをみる.
- 任意の$\beta\in\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F),\ f:a\to x$に対して,
\begin{align} (\Psi_{a,F}\circ \Phi_{a,F}(\beta))_x(f)&=\Psi_{a,F}(\beta_a(\mathrm{id}_a))_x(f)\\ &=F(f)(\beta_a(\mathrm{id}_a))\\ &=\beta_x(f). \end{align}
ただし, 最後の等式は以下のdiagram chaseによる.
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal C(a,a)\ar[r]^{f\circ -}\ar[d]_{\beta_a}&\mathcal C(a,x)\ar[d]^{\beta_x}&{\mathrm{id}_a}\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d]&f\ar@{|->}[d]\\ Fa\ar[r]_{Ff}&Fx&{\beta_a(\mathrm{id}_a)}\ar@{|->}[r]&\substack{\beta_x(f)\\=F(f)(\beta_a(\mathrm{id}_a))} } \end{xy}
よって,
\begin{align} \Psi_{a,F}\circ \Phi_{a,F}(\beta)=\beta. \end{align} - 任意の$u\in Fa$に対して
\begin{align} \Phi_{a,F}\circ\Psi_{a,F}(u)&=\Phi_{a,F}(F(-)(u))\\ &=F(\mathrm{id}_a)(u)\\ &=\mathrm{id}_{Fa}(u)\\ &=u. \end{align}
4. 本当の米田
実は, 米田の補題は定理1のステートメントでは不十分である.
$\mathcal C$を局所小圏としたとき, 集合としての$a,F$について自然な全単射
\begin{align}
\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)\cong Fa
\end{align}
が存在する.
「$a,F$について自然な」という条件は, つまり写像$\Phi_{a,F}:\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)\to Fa$が自然変換になっているという意味である.
つまり, 2つの関手
\begin{align}
\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(\Box_1,-),\Box_2)&:\mathcal C\times \mathbf{Set}^{\mathcal C}\to \mathbf{Set},\qquad \langle a,F\rangle\mapsto \mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F),\\
\mathrm{ev}&:\mathcal C\times \mathbf{Set}^{\mathcal C}\to \mathbf{Set},\qquad \langle a,F\rangle\mapsto Fa
\end{align}
を考えたとき(射の対応の構成は省略),
\begin{align}
\Phi:\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(\Box_1,-),\Box_2)\Rightarrow \mathrm{ev}
\end{align}
は自然変換である, という条件である. 図式化すると, 任意の$f:a\to b,\ \rho:F\Rightarrow G$に対して以下の2つの図式が可換である, と言い換えることもできる.
\begin{xy}
\xymatrix{
{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)}\ar[rr]^{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(f,-),F)}\ar[d]_{\Phi_{a,F}}&&{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(b,-),F)}\ar[d]^{\Phi_{b,F}}\\
Fa\ar[rr]_{Ff}&&Fb
}
\end{xy}
\begin{xy}
\xymatrix{
{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)}\ar[rr]^{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),\rho)}\ar[d]_{\Phi_{a,F}}&&{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),G)}\ar[d]^{\Phi_{a,G}}\\
Fa\ar[rr]_{\rho_a}&&Ga
}
\end{xy}
- 次の図式が可換であることを示す.
\begin{xy} \xymatrix{ {\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)}\ar[rr]^{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(f,-),F)}\ar[d]_{\Phi_{a,F}}&&{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(b,-),F)}\ar[d]^{\Phi_{b,F}}\\ Fa\ar[rr]_{Ff}&&Fb } \end{xy}
任意の$\beta\in\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)$に対して,
\begin{align} \Phi_{b,F}\circ\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(f,-),F)(\beta)&=\Phi_{b,F}(\beta\circ\mathcal C(f,-))\\ &=\beta_b\circ\mathcal C(f,b)(\mathrm{id}_b)\\ &=\beta_b(f),\\\\ Ff\circ \Phi_{a,F}(\beta)&=Ff(\beta_a(\mathrm{id}_a))\\ &=\beta_b(f). \end{align}
ただし, 最後の等式は以下のdiagram chaseによる.
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal C(a,a)\ar[r]^{f\circ -}\ar[d]_{\beta_a}&\mathcal C(a,b)\ar[d]^{\beta_b}&{\mathrm{id}_a}\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d]&f\ar@{|->}[d]\\ Fa\ar[r]_{Ff}&Fb&{\beta_a(\mathrm{id}_a)}\ar@{|->}[r]&\substack{\beta_b(f)\\=F(f)(\beta_a(\mathrm{id}_a))} } \end{xy} - 次の図式が可換であることを示す.
\begin{xy} \xymatrix{ {\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)}\ar[rr]^{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),\rho)}\ar[d]_{\Phi_{a,F}}&&{\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),G)}\ar[d]^{\Phi_{a,G}}\\ Fa\ar[rr]_{\rho_a}&&Ga } \end{xy}
任意の$\beta\in\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),F)$に対して,
\begin{align} \Phi_{a,G}\circ\mathbf{Set}^{\mathcal C}(\mathcal C(a,-),\rho)(\beta)&=\Phi_{a,G}(\rho\circ\beta)\\ &=\rho_a\circ\beta_a(\mathrm{id}_a),\\\\ \rho_a\circ\Phi_{a,F}(\beta)&=\rho_a\circ\beta_a(\mathrm{id}_a). \end{align}
5. おわりに
(米田の補題の自然性は少し込み入った話になりますが, )米田の補題の全単射は, ここでしたような考察によって自力で構成できるようになると, 自然と米田の補題が身体になじむような気がしてきて, とても嬉しい気持ちになります.
