文献あり

Vietnam MO 1995 | 4乗根を含む方程式

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

こんにちは。初投稿です。

「代数・解析パーフェクト・マスター」^[1]の第4章にある次の問題の解答を書きます。
(既出の可能性が非常に高いですので、すでに同じ解答で記事を書かれた方がいた場合、記事を削除させていただく場合があります。)

本の解答じゃダメなのか？　と思われるかもしれませんが、なんと本になってる解法は計算力 is POWERな解法なんですよね。

問題

Vietnam MO 1995 P1

次の方程式を解け．
$$ x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$$

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ネタバレ防止
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(自分の)方針

$x=3$が解であることはすぐわかります。流石に両辺$4$乗とかはしたくないけど、$4$乗根どうしようかなーとか思っているとこんなん思いつきますね。

4変数のAM-GM！！

何と何と何と何に対してAM$\ge$GMするかは悩ましいところですが、$x=3$が等号成立条件になると良さそうですから、$x+1=4$とかになってくれるようにしよう、と思えると勝ちです。

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ネタバレ防止
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(自分の)解答

$\sqrt[4]{4x+4}\ge0$すなわち$x+1\ge0$が必要．$x=-1$は解でないことが容易に確かめられるので，$x+1>0$である．
このとき，相加相乗平均の不等式から
$$ \begin{align*} x^3-3x^2-8x+40 &=8\sqrt[4]{4x+4}\\[5pt] &=4\sqrt[4]{(x+1)\cdot4\cdot4\cdot4}\\[5pt] &\le(x+1)+4+4+4\\[5pt] &=x+13 \end{align*}$$
すなわち
$$ x^3-3x^2-9x+27\le0$$
を得る．左辺を因数分解すると
$$ (x-3)^2(x+3)\le0$$
となるから，$x+1>0$と合わせて，これを満たす$x$は$\boldsymbol{x=3}$のみである．実際これは与えられた方程式の解になっているから，これが求める解である．