円を拡張（?）した曲線たちについて［知見なし］

曲線

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はじめに

将来的に調べてみたいと思っていたテーマですが、学力が低すぎてキッカケすらつかめないので、
ネットの海に放流しておこうと思います。この記事に数学的な知見は何もありません。

動機

「三角関数に類似した別の関数を考えたら有用なのでは？」
おそらく、だれもが一度は考えるであろうこのテーマが出発点です。
三角関数は円から生まれるので、円の概念から派生した別の曲線を使って
同じような関数を作る。というのが基本的な方針。

曲線のはなし

円

定点 $A$ がある. ある点 $P$ に対し
$AP = d$
とする. $c$ を定数として
$d = c$
を満たす点 $P$ の集合を円とよぶ.

楕円

定点 $A_{1}$ , $A_{2}$ がある. ある点 $P$ に対し
$A_{1} P = d_{1}$ , $A_{2} P = d_{2}$
とする. $c$ を定数として
$d_{1} + d_{2} = c$
を満たす点 $P$ の集合を楕円とよぶ.

これを参考にして拡げてみれば良いよね。ということで

円派生曲線

$n$ 個の点 $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $\dots$ , $A_{n}$ がある. ある点 $P$ に対し
$A_{k} P = d_{k}$
とする.
$d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ , $\dots$ , $d_{n}$ を組み合わせて四則演算したものを
$L (d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n})$
とおく. $c$ を定数として
$L (d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}) = c$
を満たす点 $P$ の集合を円派生曲線とよぶ.

$L$ については

和
基本対称式
など色々な式を考えてみる。

と、結構大きく風呂敷を拡げた結果……
……
何の成果も得られませんでした。
もう、学力が低すぎてどこから手を付けたら良いのかすら分からない。

曲線の描画

とりあえず、曲線の形を知りたかったので描画してみました。
参考までに、「3点からの距離の和が一定の曲線」の描き方を置いておきます。

GeoGebrageogを立ち上げて適当に3点A、B、Cを置きます。
数式として「sqrt((x-x(A))^2+(y-y(A))^2)+sqrt((x-x(B))^2+(y-y(B))^2)+sqrt((x-x(C))^2+(y-y(C))^2)=L0」
を入力します。
L0のスライダーの設定を0～100くらいにします
点やスライダーをぐりぐり動かします。はい、面白い。

ちなみに、入力コマンドだと読みにくいので数式で書くとこんな感じ
$\sqrt{(x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2}} + \sqrt{(x - x_{B})^{2} + (y - y_{B})^{2}} + \sqrt{(x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2}} = L_{0}$