円を拡張（?）した曲線たちについて［知見なし］

曲線

157

はじめに

将来的に調べてみたいと思っていたテーマですが、学力が低すぎてキッカケすらつかめないので、
ネットの海に放流しておこうと思います。この記事に数学的な知見は何もありません。

動機

「三角関数に類似した別の関数を考えたら有用なのでは？」
おそらく、だれもが一度は考えるであろうこのテーマが出発点です。
三角関数は円から生まれるので、円の概念から派生した別の曲線を使って
同じような関数を作る。というのが基本的な方針。

曲線のはなし

円は「1点からの距離が一定の点の集合」なので、これを拡げてみれば良いよね。
ということで「1点」と「距離が一定」の部分をいじることにしました。
これを「2点からの距離の和」とすれば楕円です。
点の数はいくら増やしても良いし、距離に関する話も「各点からの距離の和が一定」に限らず、「各点からの距離でつくった基本対称式が一定」くらいまで範囲を拡げてみたら面白いのでは
と、結構大きく風呂敷を拡げた結果……
……
何の成果も得られませんでした。
もう、学力が低すぎてどこから手を付けたら良いのかすら分からない。

曲線の描画

とりあえず、曲線の形を知りたかったので描画してみました。
参考までに、「3点からの距離の和が一定の曲線」の描き方を置いておきます。

GeoGebrageogを立ち上げて適当に3点A、B、Cを置きます。
数式として「sqrt((x-x(A))^2+(y-y(A))^2)+sqrt((x-x(B))^2+(y-y(B))^2)+sqrt((x-x(C))^2+(y-y(C))^2)=L0」
を入力します。
L0のスライダーの設定を0～100くらいにします
点やスライダーをぐりぐり動かします。はい、面白い。

ちなみに、入力コマンドだと読みにくいので数式で書くとこんな感じ
$\sqrt{(x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2}} + \sqrt{(x - x_{B})^{2} + (y - y_{B})^{2}} + \sqrt{(x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2}} = L_{0}$