文献あり

ゼータ関数可愛すぎてごめんなさいNo.2

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あいさつ

んちゃ！
シリーズものだよ。
ゼータ関数可愛いし気持ちよすぎだろ！
ということで今回は正弦関数を使ってゼータ値を書き直して遊ぶよ。
皆で作って遊ぼうぜなのだ！

準備

正整数$m$に対して次式が成り立つ。
\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{m}}=\frac{2^{m}}{2^{m}-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{m}} \end{equation}

\begin{equation}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{m}}=\frac{1}{2^{m}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{m}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{m}}\end{equation}

\begin{equation} x-\frac{x^{3}}{6}\lt\sin{x}\lt x-\frac{2x^{3}}{3\pi^{2}}\quad(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}) \end{equation}

[1]前者の不等式について：
$f(x)=\sin{x}-(x-\frac{x^{3}}{6})$とおく。すると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f^{'}(x)=\cos{x}-(1-\frac{x^{2}}{2})\\ f^{''}(x)=-\sin{x}+x=g(x)\\ 0\lt g^{'}(x)=-\cos{x}+1\lt 1\quad(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}) \end{array} \right. \end{eqnarray}より$g(0)=0$なので$g(x)=f^{''}(x)\gt 0\quad(0\lt x\lt 1)$。また$f^{'}(0)=0$より$f^{'}(x)\gt 0\quad(0\lt x\lt 1)$。さらに$f(0)=0$なので、$f(x)\gt 0\quad(0\lt x\lt 1)$。
[2]後者の不等式について：
> 分かり次第追記

正弦関数でゼータ値を表そう。

正整数$m,n\geq 1$に対して次の不等式が成り立つ。
\begin{equation} \sum_{k=1}^{2^{n}-1}\frac{1}{k^{m}}\leq n \end{equation}

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2^{n}-1}\frac{1}{k^{m}}&\leq&\sum_{k=1}^{2^{n}-1}\frac{1}{k}\\ &\leq&1+2^{1}\frac{1}{2}+2^{2}\frac{1}{2^{2}}+\cdots+2^{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}\\ &=&n \end{eqnarray}

任意の正整数$m\gt 2$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation} \zeta{(m)}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2^{m}\pi^{m}}{2^{m}-1})\sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{1}{(2^{n}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n}})})^{m}} \end{equation}

以下の様な記号を定める。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A_{N}=\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1}{(2k-1)^{m}}\\ \displaystyle B_{N}=\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\pi^{m}\frac{1}{(2^{N}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})})^{m}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
このとき、以下の事を示す。
\begin{equation} \lim_{N\rightarrow\infty}(B_{N}-A_{N})=0 \end{equation}
この式は次の様にして示すことができる。
\begin{eqnarray} B_{N}-A_{N}&=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}(\frac{1}{(\frac{2^{N}}{\pi}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})})^{m}}-\frac{1}{(2k-1)^{m}})\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{(2k-1)^{m}-(\frac{2^{N}}{\pi}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})})^{m}}{(2k-1)^{m}(\frac{2^{N}}{\pi}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})})^{m}}\\ &\lt&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{(2k-1)^{m}-(\frac{2^{N}}{\pi}(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}}-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{3}}{6}))^{m}}{(2k-1)^{m}(\frac{2^{N}}{\pi}(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}}-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{3}}{6}))^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{(2k-1)^{m}-((2k-1)(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6}))^{m}}{(2k-1)^{m}((2k-1)(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6}))^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1-(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}{(2k-1)^{m}(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &\lt&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{(\frac{\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}}}{6})^{2}(1+(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6}))+\cdots+(1+(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6}))^{m-1}}{(2k-1)^{m}(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &\lt&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{m}{2^{2N-2}(2k-1)^{m-2}(1-\frac{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &\lt&\frac{m}{2^{2N-2-3m}}\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1}{(2k-1)^{m-2}}\\ &\rightarrow& 0\quad(N\rightarrow \infty) \end{eqnarray}
以上の式変形では次の事実を用いたのだ。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})\\ \frac{(\frac{(2^{N-1}-1)\pi}{2^{N}})^{2}}{6}\lt\frac{1}{6}\\ 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\gt\frac{1}{8} \end{array} \right. \end{eqnarray}

任意の正整数$m\gt 2$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation} \zeta{(m)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi^{m}\sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{1}{(2^{n}\sin{(\frac{k\pi}{2^{n}})})^{m}} \end{equation}

先と同様に次の様に記号を定める。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A_{N}=\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1}{k^{m}}\\ \displaystyle B_{N}=\pi^{m}\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1}{(2^{n}\sin{(\frac{k\pi}{2^{n}})})^{m}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
このとき、以下の事を証明する。
\begin{equation} \lim_{N\rightarrow \infty}(A_{N}-B_{N})=0 \end{equation}
\begin{eqnarray} B_{N}-A_{N}&=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}(\pi^{m}\frac{1}{(2^{N}\sin{(\frac{k\pi}{2^{N}})})^{m}}-\frac{1}{k^{m}})\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{k^{m}-(\frac{2^{N}}{\pi}\sin{(\frac{k\pi}{2^{N}})})^{m}}{k^{m}(\frac{2^{N}}{\pi}\sin{(\frac{k\pi}{2^{N}})})^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{k^{m}-(\frac{2^{N}}{\pi}(\frac{k\pi}{2^{N}}-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{3}}{6}))^{m}}{k^{m}(\frac{2^{N}}{\pi}(\frac{k\pi}{2^{N}}-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{3}}{6}))^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{k^{m}-k^{m}(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}{k^{2m}(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1-(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}{k^{m}(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6}(1+\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})}{6}+\cdots+(\frac{(\frac{(k\pi)}{2^{N}})^{2}}{6})^{m-1})}{k^{m}(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &\lt&\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{m}{2^{2N-2}k^{m-2}(1-\frac{(\frac{k\pi}{2^{N}})^{2}}{6})^{m}}\\ &\lt&\frac{m}{2^{2N-2-3m}}\sum_{k=1}^{2^{N-2}}\frac{1}{k^{m-2}}\\ &\rightarrow&0\quad(N\rightarrow\infty) \end{eqnarray}

具体的にゼータ値を求めよう

正整数$n\geq 2$に対して以下の事が成り立つ。
\begin{equation} \sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{1}{(\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n}}))^{2}}}=2^{2n-3} \end{equation}

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{1}{\sin{((\frac{(2k-1)\pi}{2^{n}}))^{2}}}&=&\sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{2}{1-\cos{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n-1}})}}\\ &=&\sum_{k=1}^{2^{n-3}}(\frac{2}{1-\cos{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n-1}})}}+\frac{2}{1+\cos{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n-1}})}})\\ &=&4\sum_{k=1}^{2^{n-3}}\frac{1}{1-\cos^{2}{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n-1}})}}\\ &=&4\sum_{k=1}^{2^{n-3}}\frac{1}{(\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n-1}}))^{2}}} \end{eqnarray}
特に$n=2$とするとそれは$2$になるので与えられた式の左辺は$2^{2n-3}$

イメージが湧かない人向け。🔷
$n=4$の場合を考えてみよう。
△🔶🔷は正八角形上の点だと思ってほしい。
この時、🔶は反時計回りの和。🔷は時計回りの和を表している。
これで伝われなのだ！

□	□	△	□	□
□	🔶	□	🔶	□
△	□	□	□	△
□	🔷	□	🔷	□
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\begin{equation} \zeta{(2)}=\frac{\pi^{2}}{6} \end{equation}

\begin{eqnarray} \zeta{(2)}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4\pi^{2}}{3}\sum_{k=1}^{2^{n-2}}\frac{1}{(2^{n}\sin{(\frac{(2k-1)\pi}{2^{n}}))^{2}}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4\pi^{2}}{3}\frac{2^{2n-3}}{2^{2n}}\\ &=&\frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray}