積分の問題集

新しい問題ができたら追加します
...解答も気が向いたら追加します。

問1

$\int ^{1} _{0}e^{-2x} \ dx$を求めよ

問2

$(1) \log(\log(x))$を微分せよ
$(2) \int ^{e} _{-\frac{e}{2}} \log(\log(3x)) dx$を求めよ

問3

$(1))x^{x}\sin(x) $を$x$で微分せよ
$(2)\int x^{\sqrt{x}}e^{x} dx$を求めよ。ただし、積分定数は省略してもよい。

問4

(1)$f(x)=\log(x-\frac{x^2}{2})$の極値を求め、グラフの概形を描け。

問5

以下、$n$を自然数とする。
$$(1)I=\int ^{1}_{0} \frac{1}{1+x}dx$$を求めよ
$$(2) I_n=\int ^{1} _{0} \frac{n}{1+x^n}dx$$と定める時、
$　I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ。また、
$$I_5-I_4-I_3-I_2-I_1$$の値を求めよ。

問6

$$(1) \int ^{e} _{1} \log x dx$$の値を求めよ。
$$(2) \int ^{\log_10 9} _{0}x^3\log(x^2+2)dx$$の値を求めよ。

問7

$$(1)\int ^1_0 \frac{1}{e^x}dx, \int^1_0 \frac{1}{e^x+1}dx,\int^1_0\frac{1}{e^{x+1}}dx$$の大小関係を述べよ。
$$(2) \int^2 _0 \frac{2}{e^{2x}+e^x+1}dx $$の整数部分求めよ。

ここいらでちょっと雑談

問6は2003京大、問7は結構最近の東工大(新東京科学大)の問題を参考にしました。
京大の積分はちゃんと良問が多い気がします。
話変わりますが、積分の最後の方のdxって
$dx$か$\text{d}x$の二通りありますよね。
あなたはどっち派ですか？

問8

$$(1) \int x\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}dx$$を計算せよ。