積分の問題集

新しい問題ができたら追加します
...解答も気が向いたら追加します。

問1

${\int }_0^1{e}^{-2x}dx$を求めよ

問2

$(1)\log (\log \left(x\right))$を微分せよ
$(2){\int }_{-\frac{e}{2}}^e\log (\log \left(3x\right))dx$を求めよ

問3

$(1))x^x\sin \left(x\right)$を$x$で微分せよ
$(2)\int x^{\sqrt{x}}{e}^{x}dx$を求めよ。ただし、積分定数は省略してもよい。

問4

(1)$f(x)=\log (x-\frac{x^2}{2})$の極値を求め、グラフの概形を描け。

問5

以下、$n$を自然数とする。
$$(1)I={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx$$を求めよ
$$(2)I_n={\int }_0^1\frac{n}{1+x^n}dx$$と定める時、
$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ。また、
$$I_5-I_4-I_3-I_2-I_1$$の値を求めよ。

問6

$$(1){\int }_1^e\log xdx$$の値を求めよ。
$$(2){\int }_0^{{\log }_{1}09}{x}^3\log (x^2+2)dx$$の値を求めよ。

問7

$$(1){\int }_0^1\frac{1}{e^x}dx,{\int }_0^1\frac{1}{e^x+1}dx,{\int }_0^1\frac{1}{e^{x+1}}dx$$の大小関係を述べよ。
$$(2){\int }_0^2\frac{2}{e^{2x}+e^x+1}dx$$の整数部分求めよ。

ここいらでちょっと雑談

問6は2003京大、問7は結構最近の東工大(新東京科学大)の問題を参考にしました。
京大の積分はちゃんと良問が多い気がします。
話変わりますが、積分の最後の方のdxって
$dx$か$\text{d}x$の二通りありますよね。
あなたはどっち派ですか？

問8

$$(1)\int x\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}dx$$を計算せよ。