4×3=12の導出(途中式付き)
こんにちは。
今回は$4\times 3$の値を計算していこうかと思います
あいも変わらず議論領域は自然数です
$\forall a \in \mathbb{N}\forall b \in \mathbb{N}[a\times S(b)=(a\times b)+a,a\times 0 = 0]$
はい。
今回はもう面倒なので自然数の定義はやりません。
足し算の定義は5+7の記事に準拠、可換性は前回の記事で証明したので可換性も使います。
4×3=12
では、定義に従って計算していきましょう
$4\times 3 = 4\times S(2)$ 3の定義より
$4\times S(2) = (4 \times 2) + 4$ かけ算の定義より
$(4\times 2)+ 4 = (4\times 2)+S(3)$ 4の定義より
$(4\times 2)+S(3)=S(4\times 2)+3$ 足し算の定義より
$S(4\times 2)+3=S(4\times 2)+S(2)$ 3の定義より
$S(4\times 2)+S(2)=S(S(4\times 2))+2$ 足し算の定義より
$S(S(4\times 2))+2=S(S(4\times 2))+S(1)$ 2の定義より
$S(S(4\times 2))+S(1)=S(S(S(4\times 2)))+1$ 足し算の定義より
$S(S(S(4\times 2)))+1=S(S(S(4\times 2)))+S(0)$ 1の定義より
$S(S(S(4\times 2)))+S(0)=S(S(S(S(4\times 2))))+0$足し算の定義より
$S(S(S(S(4\times 2))))+0=S(S(S(S(4\times 2))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(4\times 2))))=S(S(S(S(4\times S(1)))))$ 2の定義より
$S(S(S(S(4\times S(1)))))=S(S(S(S((4\times 1)+4))))$ かけ算の定義より
$S(S(S(S((4\times 1)+4))))=S(S(S(S((4\times 1)+S(3)))))$ 4の定義より
$S(S(S(S((4\times 1)+S(3)))))=S(S(S(S(S(4\times 1)+3))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(4\times 1)+3))))=S(S(S(S(S(4\times 1)+S(2)))))$3の定義より
$S(S(S(S(S(4\times 1)+S(2)))))=S(S(S(S(S(S(4\times 1))+2))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(S(4\times 1))+2))))=S(S(S(S(S(S(4\times 1))+S(1)))))$ 2の定義より
$S(S(S(S(S(S(4\times 1))+S(1)))))=S(S(S(S(S(S(S(4\times 1)))+1))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(4\times 1)))+1))))=S(S(S(S(S(S(S(4\times 1)))+S(0)))))$ 1の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(4\times 1)))+S(0)))))=S(S(S(S(S(S(S(S(4\times 1))))+0))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S(4\times 1))))+0))))=S(S(S(S(S(S(S(S(4\times 1))))))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S(4\times 1))))))))=S(S(S(S(S(S(S(S(4\times S(0)))))))))$ 1の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S(4\times S(0)))))))))=S(S(S(S(S(S(S(S((4\times 0)+4))))))))$ かけ算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S((4\times 0)+4))))))))=S(S(S(S(S(S(S(S(0+4))))))))$ かけ算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S(0+4))))))))=S(S(S(S(S(S(S(S(4+0))))))))$ 足し算の可換性より
$S(S(S(S(S(S(S(S(4+0))))))))=S(S(S(S(S(S(S(S(4))))))))$ 足し算の定義より
$S(S(S(S(S(S(S(S(4))))))))=12$ 12の定義より
$これらより、4\times 3=12であることが示された$
だから毎回言ってるけどやってられるかこんなもの
閲覧、ありがとうございました。
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