エンタメ解説

4×3=12の導出(途中式付き)

算数

182

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

こんにちは。
今回は $4 \times 3$ の値を計算していこうかと思います
あいも変わらず議論領域は自然数です

かけ算

$\forall a \in N \forall b \in N [a \times S (b) = (a \times b) + a, a \times 0 = 0]$

はい。
今回はもう面倒なので自然数の定義はやりません。
足し算の定義は5+7の記事に準拠、可換性は前回の記事で証明したので可換性も使います。

4×3=12

では、定義に従って計算していきましょう

$4 \times 3 = 4 \times S (2)$ 3の定義より
$4 \times S (2) = (4 \times 2) + 4$ かけ算の定義より
$(4 \times 2) + 4 = (4 \times 2) + S (3)$ 4の定義より
$(4 \times 2) + S (3) = S (4 \times 2) + 3$ 足し算の定義より
$S (4 \times 2) + 3 = S (4 \times 2) + S (2)$ 3の定義より
$S (4 \times 2) + S (2) = S (S (4 \times 2)) + 2$ 足し算の定義より
$S (S (4 \times 2)) + 2 = S (S (4 \times 2)) + S (1)$ 2の定義より
$S (S (4 \times 2)) + S (1) = S (S (S (4 \times 2))) + 1$ 足し算の定義より
$S (S (S (4 \times 2))) + 1 = S (S (S (4 \times 2))) + S (0)$ 1の定義より
$S (S (S (4 \times 2))) + S (0) = S (S (S (S (4 \times 2)))) + 0$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (4 \times 2)))) + 0 = S (S (S (S (4 \times 2))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (4 \times 2)))) = S (S (S (S (4 \times S (1)))))$ 2の定義より
$S (S (S (S (4 \times S (1))))) = S (S (S (S ((4 \times 1) + 4))))$ かけ算の定義より
$S (S (S (S ((4 \times 1) + 4)))) = S (S (S (S ((4 \times 1) + S (3)))))$ 4の定義より
$S (S (S (S ((4 \times 1) + S (3))))) = S (S (S (S (S (4 \times 1) + 3))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (4 \times 1) + 3)))) = S (S (S (S (S (4 \times 1) + S (2)))))$ 3の定義より
$S (S (S (S (S (4 \times 1) + S (2))))) = S (S (S (S (S (S (4 \times 1)) + 2))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (S (4 \times 1)) + 2)))) = S (S (S (S (S (S (4 \times 1)) + S (1)))))$ 2の定義より
$S (S (S (S (S (S (4 \times 1)) + S (1))))) = S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1))) + 1))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1))) + 1)))) = S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1))) + S (0)))))$ 1の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1))) + S (0))))) = S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1)))) + 0))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1)))) + 0)))) = S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1))))))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times 1)))))))) = S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times S (0)))))))))$ 1の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S (4 \times S (0))))))))) = S (S (S (S (S (S (S (S ((4 \times 0) + 4))))))))$ かけ算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S ((4 \times 0) + 4)))))))) = S (S (S (S (S (S (S (S (0 + 4))))))))$ かけ算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S (0 + 4)))))))) = S (S (S (S (S (S (S (S (4 + 0))))))))$ 足し算の可換性より
$S (S (S (S (S (S (S (S (4 + 0)))))))) = S (S (S (S (S (S (S (S (4))))))))$ 足し算の定義より
$S (S (S (S (S (S (S (S (4)))))))) = 12$ 12の定義より
$これらより、 4 \times 3 = 12 であることが示された$