「特異点のこころえ」問1.1の回答
「特異点のこころえ」(参考文献参照)の演習問題の回答を順次記事にしていきます。
今回は問1.1の回答を作成しました。
問1.1 $(x_1,y_1)\in \mathbb{R}^2$が$\bar{f}$の特異点であるとき, $\mathrm{rank}J_{\bar{f}}(x_1,y_1)=1$が成り立つ（ヤコビ行列の階数が0となる特異点は現れない）ことを示せ.
$\bar{f}(x,y)=(x^2-y^2+2\epsilon x,2xy-2\epsilon y)=:(f_1(x,y),f_2(x,y)) (\epsilon\neq0)$
仮定の$(x_1,y_1)\in \mathbb{R}^2$が$\bar{f}$の特異点であるとは,$\mathrm{rank}J_{\bar{f}}(x_1,y_1)\leq1$であることに他ならない.すなわち,$\mathrm{rank}J_{\bar{f}}(x_1,y_1)=0,1$であるので,$\mathrm{rank}J_{\bar{f}}(x_1,y_1)\neq0$を示せばよい.これを背理法で示す.
$\mathrm{rank}J_{\bar{f}}(x_1,y_1)=0$,すなわち,
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x}(x_1,y_1)&\frac{\partial f_1}{\partial y}(x_1,y_1)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x}(x_1,y_1)&\frac{\partial f_2}{\partial y}(x_1,y_1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2x_1+2\epsilon&*\\
*&2x_1-2\epsilon
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}が成立すると仮定すると.$\epsilon=x_1=-\epsilon$となり,$\epsilon=0$が得られる.
しかし,これは$\epsilon\neq0 $と矛盾する.