文献あり

「特異点のこころえ」問1.1の回答

「特異点のこころえ」(参考文献参照)の演習問題の回答を順次記事にしていきます。
今回は問1.1の回答を作成しました。

問1.1 $(x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$ が $\bar{f}$ の特異点であるとき, $rank J_{\bar{f}} (x_{1}, y_{1}) = 1$ が成り立つ（ヤコビ行列の階数が0となる特異点は現れない）ことを示せ.

\bar{f}

の定義

$\bar{f} (x, y) = (x^{2} - y^{2} + 2 ϵ x, 2 x y - 2 ϵ y) =: (f_{1} (x, y), f_{2} (x, y)) (ϵ \neq 0)$ 　

仮定の $(x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$ が $\bar{f}$ の特異点であるとは, $rank J_{\bar{f}} (x_{1}, y_{1}) \leq 1$ であることに他ならない.すなわち, $rank J_{\bar{f}} (x_{1}, y_{1}) = 0, 1$ であるので, $rank J_{\bar{f}} (x_{1}, y_{1}) \neq 0$ を示せばよい.これを背理法で示す.
$rank J_{\bar{f}} (x_{1}, y_{1}) = 0$ ,すなわち,
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} (x_{1}, y_{1}) & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} (x_{1}, y_{1}) \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} (x_{1}, y_{1}) & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} (x_{1}, y_{1}) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 x_{1} + 2 ϵ & * \\ * & 2 x_{1} - 2 ϵ \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) \end{array}$ が成立すると仮定すると. $ϵ = x_{1} = - ϵ$ となり, $ϵ = 0$ が得られる.
しかし,これは $ϵ \neq 0$ と矛盾する.