OMCE019 嘘解法（CA）

はじめに

　先日のOMCE019(C)を比較的短時間で通したのですが，勘違いが生み出した嘘解法であったので紹介します．

問題 OMCE019(C)

$x$の$5050$次方程式$\prod_{k=1}^{100}(x^k−1)+x^{50}+x^{49}+⋯+x+1=0$の（重複を含めた）複素数解をそれぞれ$a_1,a_2,…,a_{5050}$とします．このとき，以下の値は整数となるので，これを$10403=101×103$で割った余りを解答してください．
$$ \prod_{k=1}^{5050}(a_k^{101}−1)$$

（嘘）解法

　$\mod{101},103$ のそれぞれが分かればよい．
(1)$\mod{101}$を考える
　Fermatの小定理より，$a_k^{101} \equiv a_k \pmod{101} $ だから（？？？），
　$f(x)=\prod_{k=1}^{100}(x^k−1)+x^{50}+x^{49}+⋯+x+1$ とおけば．$\prod_{k=1}^{5050}(a_k−1)=f(1)=51$ である．

(2)$\mod{103}$を考える
　Fermatの小定理より，$a_k^{101} \equiv \dfrac{1}{a_k} \pmod{103} $ だから（？？？），
　$\prod_{k=1}^{5050}\Bigl(\dfrac{1}{a_k}−1\Bigr)=\prod_{k=1}^{5050}\Bigl(\dfrac{1}{a_k}(a_k-1)\Bigr)=\dfrac{51}{2}\equiv 77 \pmod{103}$ である．

よってあとは頑張ると，$\bf9141$ を得ることができ，CAしてしまう．

おわりに

　何より勘違いに気づかぬまま提出しCAを得たことが反省点です．最近注意不足で減点されまくりなので気を付けたいです．