Moyal ＊-積と1変数部分代数のメモ
この記事は以下の意図で書かれている：
- 作用素の定式化に伴う順序問題を避ける。
- 非自明な現象が関数空間の変形のレベルで既に現れることを強調する。
- 正規順序 $:A:$ のような煩雑な記法を避ける。
- 作用素的方法と整合的だが、より直接的な形で理論を記述する。
- 非自明な構造を統一的かつ整合的な記法で記述する。
- 1次変数 $\zeta$ の場合と2次変数 $\xi = uv$ の場合を対比し、intertwiner $T_1$, $T_2$ の構造の違いを明らかにする。
記号の対応表を先に示す。ここで $P_0$ は通常の積を表す。1次（$\zeta$） 2次（$\xi = uv$） bidifferential operator $B_1 = \partial_\zeta \otimes \partial_\zeta$ $B_2 = D \otimes D$, $D = \xi\partial_\xi^2 + \partial_\xi$ 変形積 $P_1 = P_0\,e^{\hbar B_1}$ $P_2 = P_0\exp\left(\frac{\hbar^2}{4}B_2\right) $ intertwiner $T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ $T_2$：tan/sec 型
量子群とその表現
まず $U_\hbar(\mathfrak{sl}_2)$ とその多項式代数上の表現を導入する。
$\hbar$ を形式的変数とし、$q = e^{\hbar}$ と置く。$U_\hbar(\mathfrak{sl}_2)$ を生成元 $E, F, H$ と定義関係
$$
[H,E] = 2E, \qquad [H,F] = -2F, \qquad [E,F] = \frac{e^{\hbar H} - e^{-\hbar H}}{e^{\hbar} - e^{-\hbar}}
$$
を持つ $\mathbb{C}[[\hbar]]$-代数とする。Put$
K = e^{\hbar H}.
$Hopf 代数構造を
$$
\Delta(H) = H \otimes 1 + 1 \otimes H, \qquad \Delta(K) = K \otimes K,
$$
$$
\Delta(E) = K \otimes E + E \otimes 1, \qquad \Delta(F) = 1 \otimes F + F \otimes K^{-1},
$$
余単位を
$$
\varepsilon(E) = \varepsilon(F) = \varepsilon(H) = 0, \qquad \varepsilon(K) = 1
$$
により定める。
$\mathcal{A} := \mathbb{C}[[\hbar]][x,y]$ と置く。
$$
\theta_x := x\partial_x, \qquad \theta_y := y\partial_y, \qquad [z] := \frac{q^z - q^{-z}}{q - q^{-1}}
$$
と定義し、表現 $\rho : U_\hbar(\mathfrak{sl}_2) \to \operatorname{End}_{\mathbb{C}[[\hbar]]}(\mathcal{A})$ を
$$
\rho(E) = \frac{x}{y}[\theta_y], \qquad \rho(F) = \frac{y}{x}[\theta_x], \qquad \rho(H) = \theta_x - \theta_y, \qquad \rho(K) = q^{\theta_x - \theta_y}
$$
により定める。$a, b \ge 0$ に対して
$$
\rho(K) \cdot x^a y^b = q^{a-b} x^a y^b,
$$
$$
\rho(E) \cdot x^a y^b = [b]\,x^{a+1} y^{b-1}, \qquad \rho(F) \cdot x^a y^b = [a]\,x^{a-1} y^{b+1}.
$$
Module-algebra 構造
加群に、作用する Hopf 代数の coproduct 構造と両立する代数構造を入れる。
$\beta = (\beta_1, \beta_2),\, \gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^2$ に対して $X^\beta = x^{\beta_1} y^{\beta_2}$, $X^\gamma = x^{\gamma_1} y^{\gamma_2}$ と書く。双線形写像 $g : \mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}$ を用いて $\mathcal{A}$ 上の積 $*$ を
$$
X^\beta * X^\gamma = q^{g(\beta,\gamma)} X^{\beta+\gamma}
$$
により定め、$\mathbb{C}[[\hbar]]$-双線形に拡張する。
$(\mathcal{A}, *)$ は結合的代数である。
$\beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^2$ に対して
$$
(X^\beta * X^\gamma) * X^\delta = q^{g(\beta,\gamma) + g(\beta+\gamma,\delta)}\,X^{\beta+\gamma+\delta},
$$
$$
X^\beta * (X^\gamma * X^\delta) = q^{g(\beta,\gamma+\delta) + g(\gamma,\delta)}\,X^{\beta+\gamma+\delta}.
$$
$g$ の双線形性から $g(\beta,\gamma) + g(\beta+\gamma,\delta) = g(\beta,\gamma+\delta) + g(\gamma,\delta)$ が成り立つ。$\square$
$H$ を Hopf 代数、$\mathcal{A}$ を代数とし、$\mathcal{A}$ が $\rho : H \to \operatorname{End}(\mathcal{A})$ による左 $H$-加群であるとする。$\mathcal{A}$ が $H$-module-algebra であるとは、すべての $h \in H$, $f, g \in \mathcal{A}$ に対して
$$
\rho(h) \cdot (f * g) = \sum \bigl(\rho(h_{(1)}) \cdot f\bigr) * \bigl(\rho(h_{(2)}) \cdot g\bigr)
$$
が成り立ち（ここで $\Delta(h) = \sum h_{(1)} \otimes h_{(2)}$）、かつ
$$
\rho(h) \cdot 1_\mathcal{A} = \varepsilon(h)\,1_\mathcal{A}
$$
がすべての $h \in H$ に対して成り立つことをいう。
上で定義した積 $*$ と表現 $\rho$ に関して、$\mathcal{A} = \mathbb{C}[[\hbar]][x,y]$ は $U_\hbar(\mathfrak{sl}_2)$-module-algebra である。
$\mathcal{A}$ を $\mathbb{C}[[\hbar]]$ 上の多項式環と見なし、その上に追加の積 $*$ を入れている。通常の積 $P_0$ では module-algebra 構造を与えないことに注意する。
click
生成元 $K, E, F$ について定義の等式を検証すれば十分である。
$\Delta(K) = K \otimes K$ であるから、
$$ \rho(K) \cdot (f * g) = \bigl(\rho(K) \cdot f\bigr) * \bigl(\rho(K) \cdot g\bigr) $$
を示す。monomial $X^\beta, X^\gamma$ に対して、$\alpha = (1,-1)$ と置くと
$$ \rho(K) \cdot (X^\beta * X^\gamma) = q^{g(\beta,\gamma)} q^{(\alpha,\beta+\gamma)} X^{\beta+\gamma}, $$
$$ \bigl(\rho(K) \cdot X^\beta\bigr) * \bigl(\rho(K) \cdot X^\gamma\bigr) = q^{g(\beta,\gamma)} q^{(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)} X^{\beta+\gamma}. $$
$(\alpha,\beta+\gamma) = (\alpha,\beta) + (\alpha,\gamma)$ であるから両辺は等しい。
$\Delta(E) = K \otimes E + E \otimes 1$ であるから、
$$ \rho(E) \cdot (f * g) = \bigl(\rho(K) \cdot f\bigr) * \bigl(\rho(E) \cdot g\bigr) + \bigl(\rho(E) \cdot f\bigr) * g $$
を示す。$\rho(E) \cdot X^\beta = [\beta_2]\,X^{\beta+\alpha}$ を用いると $*$ の定義から従う。
$\Delta(F) = 1 \otimes F + F \otimes K^{-1}$ についても同様に、$\rho(F) \cdot X^\beta = [\beta_1]\,X^{\beta-\alpha}$ を用いて確認できる。
単位元条件 $\rho(h) \cdot 1 = \varepsilon(h)\,1$ はすべての $h \in U_\hbar(\mathfrak{sl}_2)$ に対して成り立つ。$\square$
$\mathcal{A}$-型量子群では coproduct は一意でない。1-parameter family
$$
\Delta(E_i) = K_i^{1-\mu} \otimes E_i + E_i \otimes K_i^{-\mu}, \qquad
\Delta(F_i) = K_i^{\mu} \otimes F_i + F_i \otimes K_i^{\mu-1}, \qquad
\Delta(K_i) = K_i \otimes K_i
$$
が存在し、対応する module-algebra の積は
$$
P_\mu = P_0\, q^{(1-\mu)\theta_x \otimes \theta_y - \mu\,\theta_y \otimes \theta_x}
$$
と変化する。$\mu = 1, 0, \frac{1}{2}$ はそれぞれ正規順序、反正規順序、Weyl 順序に対応し、変数変換を経て DO 積の公式や Moyal 積に帰着する。
以下では ordering の違いには立ち入らず、1変数の積への帰着を重点的に扱う。
関数環の拡張
代数 $\mathcal{A}$ を拡大した対象 $\mathcal{A}'$ を導入する。
$\mathcal{A} = \mathbb{C}[[\hbar]][x,y]$ に対数的・指数的な表現と $\hbar$ の形式的関数を添加し、拡大された代数を $\mathcal{A}'$ と書く。
$\mathcal{A}'$ は意図的に曖昧にしておく：以下で用いる表現を含むのに十分な $\mathcal{A}$ の拡大であるが、$\mathcal{A}'$ の厳密な内在的定義はこの段階では与えない。拡大された対象上の積を
$$
P : \mathcal{A}' \otimes \mathcal{A}' \to \mathcal{A}'
$$
と書く。$\mathcal{A}$ 上では積は正則に振る舞うが、$\mathcal{A}'$ 上では新しい、やや奇妙な現象が現れる。
$$
\varpi_{00} := 2\exp\!\left(\frac{2}{\hbar}\log x\,\log y\right), \qquad
\bar{\varpi}_{00} := 2\exp\!\left(-\frac{2}{\hbar}\log x\,\log y\right).
$$
$\varpi_{00}$ を vacuum 元、$\bar{\varpi}_{00}$ を conjugate vacuum 元と呼ぶ。これらは $\mathcal{A}'$ に属し、$\mathcal{A}$ には属さない。
$$
(\log y) * \varpi_{00} = \varpi_{00} * (\log x) = 0,
$$
$$
(\log x) * \bar{\varpi}_{00} = \bar{\varpi}_{00} * (\log y) = 0.
$$
1次の変形積（$P_1$-型）
1変数の構造を取り出すために$ \zeta := \log(xy) $と置き、$\mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}'$ を $\zeta$ の関数が生成する部分空間とする。
Bidifferential operator $B_1$ と積 $P_1$
bidifferential operator$
B_1 := \partial_\zeta \otimes \partial_\zeta
$を用いて、$\mathcal{A}_1$ 上の積 $P_1$ を
$$
P_1 := P_0\,\exp(\hbar\,B_1) : \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_1
$$
により定める。すなわち
$$
f * g := P_0\,\exp(\hbar\,B_1)(f \otimes g) \qquad (f, g \in \mathcal{A}_1).
$$
$f, g \in \mathcal{A}_1$ が $\zeta$ のみに依存するとき、$P_1$ は2変数の積
$$
P = P_0\,q^{\theta_x \otimes \theta_y} : \mathcal{A}' \otimes \mathcal{A}' \to \mathcal{A}'
$$
の制限である。
click
$q = e^{\hbar}$ であるから $P = P_0\,e^{\hbar\,\theta_x \otimes \theta_y}$。また
$$ \theta_x = x\partial_x = \partial_{\log x}, \qquad \theta_y = y\partial_y = \partial_{\log y}. $$
$\zeta = \log x + \log y$ のみの関数に対して
$$ \partial_{\log x}f(\zeta) = \partial_\zeta f(\zeta), \qquad \partial_{\log y}f(\zeta) = \partial_\zeta f(\zeta) $$
であるから、$\theta_x \otimes \theta_y = \partial_\zeta \otimes \partial_\zeta = B_1$ となる。$\square$
Intertwiner $T_1$
可逆作用素$ T_1 := \exp\!\left(\dfrac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2\right) $を定める。
$$
P_1 = T_1\,P_0\,(T_1^{-1} \otimes T_1^{-1}),
$$
$$
f * g = T_1\!\left((T_1^{-1}f)(T_1^{-1}g)\right). \qquad (f, g \in \mathcal{A}_1)
$$
click
$\partial_\zeta$ は primitive であるから
$$ \Delta(\partial_\zeta) = \partial_\zeta \otimes 1 + 1 \otimes \partial_\zeta. $$
通常の積 $P_0 : f \otimes g \mapsto fg$ は $\partial_\zeta\,P_0 = P_0\,\Delta(\partial_\zeta)$ を満たすから、$\partial_\zeta$ の任意の関数、特に $T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ に対して $T_1 P_0 = P_0\,\Delta(T_1)$ が成り立つ。したがって
$$ P_1 = T_1\,P_0\,(T_1^{-1} \otimes T_1^{-1}) = P_0\,\Delta(T_1)(T_1^{-1} \otimes 1)(1 \otimes T_1^{-1}). $$
$$ \Delta(\partial_\zeta)^2 = \partial_\zeta^2 \otimes 1 + 2\,\partial_\zeta \otimes \partial_\zeta + 1 \otimes \partial_\zeta^2 $$
であるから
$$ \Delta(T_1) = \exp\!\left(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2 \otimes 1 + \hbar\,\partial_\zeta \otimes \partial_\zeta + \frac{\hbar}{2}\,1 \otimes \partial_\zeta^2\right). $$
$T_1^{-1} \otimes 1$ および $1 \otimes T_1^{-1}$ を掛けると $\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2 \otimes 1$ と $\frac{\hbar}{2}\,1 \otimes \partial_\zeta^2$ の項が消え、
$$ P_1 = P_0\,\exp(\hbar\,B_1). $$
$\square$
$T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ は Weierstrass 変換（Gauss 変換）、すなわち熱核発展作用素と一致する。したがって $*$-積は
$$
f * g = T_1\!\left((T_1^{-1}f) \cdot (T_1^{-1}g)\right)
$$
と書ける。任意の $*$-関数 $F_*$ は通常の関数 $F$ から
$$
F_*(\zeta) = T_1 \cdot F(T_1^{-1} \cdot \zeta)
$$
によって得られる。特に $\exp_*(\zeta)$, $\delta_*(\zeta)$, $\zeta_*^{-1}$ などは古典的関数のこの変換の像である。
特殊関数の変形
$*$-指数関数
$\exp(a\zeta)$ は $\partial_\zeta$ の固有関数（固有値 $a$）であるから、
$$
\exp_*(a\zeta) = T_1 \cdot e^{aT_1^{-1} \cdot \zeta} = \exp\!\left(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2\right) \cdot e^{a\zeta} = \exp\!\left(a\zeta + \frac{\hbar}{2}a^2\right).
$$
$$ \exp_*(a\zeta) = \exp\!\left(a\zeta + \frac{\hbar}{2}a^2\right). $$
$*$-delta 関数
$T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ は Weierstrass 変換であるから、Gauss 核の形
$$
T_1 f(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} f(u)\exp\!\left(-\frac{(\zeta-u)^2}{2\hbar}\right)du
$$
を持つ。通常の Dirac delta に適用すると次を得る。
$$ \delta_*(\zeta) := T_1(\delta)(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp\!\left(-\frac{\zeta^2}{2\hbar}\right). $$
$*$-delta は Gauss 熱核、すなわち点質量の Weierstrass 変換像に他ならない。
$*$-逆関数
$\operatorname{Daw}(z) := e^{-z^2}\int_0^z e^{t^2}\,dt$ を Dawson 関数とする。
$\Re(\hbar) < 0$ に対して、
$$
\zeta_{\pm}^{-1} = \int_0^{\pm\infty} \exp_*(-t\zeta)\,dt = \zeta_*^{-1} \mp i\pi\,\delta_*(\zeta),
$$
ここで
$$
\zeta_*^{-1} := \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\hbar}}\,\operatorname{Daw}\!\left(\frac{\zeta}{\sqrt{2\hbar}}\right).
$$
Laplace 型公式による証明
$*$-指数関数を用いて $\zeta$ の $*$-逆に対する Laplace 型公式を書くと
$$ \begin{aligned} \zeta_{\pm}^{-1} &= \int_0^{\pm\infty} \exp_*(-t\zeta)\,dt \\ &= \pm\int_0^\infty \exp\!\left(\mp t\zeta + \frac{\hbar}{2}t^2\right)dt \\ &= \pm\exp\!\left(-\frac{\zeta^2}{2\hbar}\right) \int_0^\infty \exp\!\left(\frac{\hbar}{2}\left(t \mp \frac{\zeta}{\hbar}\right)^2\right)dt \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\hbar}}\,\operatorname{Daw}\!\left(\frac{\zeta}{\sqrt{2\hbar}}\right) \mp i\pi\,\delta_*(\zeta). \end{aligned} $$
Borel 総和法による証明
$F(\zeta) := \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2) \cdot \frac{1}{\zeta}$ の形式的展開は
$$ F(\zeta) \sim \frac{1}{\zeta}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)_n \left(\frac{2\hbar}{\zeta^2}\right)^n. $$
Borel 変換は $\widehat{\Phi}(s) = (1-s)^{-1/2}$ であるから、lateral Borel 和は
$$ \mathcal{S}_\pm F(\zeta) = \frac{\zeta}{2\hbar}\int_0^{(1 \pm i\epsilon)\infty} e^{-au}(1-u)^{-1/2}\,du, \qquad a = \frac{\zeta^2}{2\hbar}. $$
$u = 1$ で分割し、$0 < u < 1$ の部分が Dawson 関数を、$u > 1$ の lateral contour からの寄与が $\delta_*$ を与える。$\square$
佐藤 hyperfunction 流の表示として
$$
\zeta_+^{-1} - \zeta_-^{-1} = -2\pi i\,\delta_*(\zeta)
$$
が成り立つ。
特異性の由来
$\partial_\zeta^2\zeta = 0$ であるから $T_1^{-1}\zeta = \zeta$ が成り立つ。したがって
$$
\zeta * \delta_*(\zeta) = T_1(\zeta\,\delta(\zeta)) = 0, \qquad \delta_*(\zeta) * \zeta = T_1(\delta(\zeta)\,\zeta) = 0.
$$
$$
\zeta * \delta_* = 0, \qquad \delta_* * \zeta = 0.
$$
したがって任意の $a \in \mathbb{C}$ に対して $\zeta_*^{-1} + a\,\delta_*(\zeta)$ は再び $\zeta$ の $*$-逆である。
関数空間をこのような非零な零化子な対象を許すように拡大すると、$\zeta$ の逆は一意でなくなる。結合代数では非零な零化子と逆元の共存はできないのである。
$(\mathcal{A}_1, *)$ は結合的でない。
$a, b \in \mathbb{C}$ に対して
$$
(\zeta_*^{-1} + a\,\delta_*(\zeta)) * \zeta * (\zeta_*^{-1} + b\,\delta_*(\zeta)) = \zeta_*^{-1} + (a \text{ or } b)\,\delta_*(\zeta),
$$
ここで結果は括弧の付け方に依存する。$1/\zeta$ と $\delta(\zeta)$、すなわち逆元と非自明な零化元が同じ代数に共存することが結合性の破れを強制する。
Theta 関数
先の量子群の $q = e^{\hbar}$ との混同を避けるため$ Q := e^{\hbar/2} $と置く。
$Q = e^{\hbar/2}$, $z = e^\zeta$ と置く。
$$
\theta_3(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} Q^{n^2} z^n, \qquad
\theta_4(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n Q^{n^2} z^n,
$$
$$
\theta_2(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} Q^{(n+\frac{1}{2})^2} z^{n+\frac{1}{2}}, \qquad
\theta_1(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n Q^{(n+\frac{1}{2})^2} z^{n+\frac{1}{2}}.
$$
$$
\theta_3(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \exp_*(n\zeta), \qquad
\theta_4(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n \exp_*(n\zeta),
$$
$$
\theta_2(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \exp_*\!\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\zeta\right), \qquad
\theta_1(z;Q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n \exp_*\!\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\zeta\right).
$$
$\exp_*(a\zeta) = \exp(a\zeta + \frac{\hbar}{2}a^2)$ に $a = n$ を代入すると $\exp_*(n\zeta) = z^n Q^{n^2}$ であるから、$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \exp_*(n\zeta) = \theta_3(z;Q)$ が直ちに従う。$(-1)^n$ を挿入すると $\theta_4$ が、$n$ を $n + \frac{1}{2}$ に置き換えると $\theta_2$ が、さらに $(-1)^n$ を付けると $\theta_1$ が得られる。
各 theta 関数は $*$-指数関数の格子和として得られ、2次の重みは $\exp_*(a\zeta)$ の変形項から自然に生じる。
2次の変形積（$P_2$-型）
本節では、2変数 $(u,v)$ 上の Moyal 積を $\xi = uv$ の部分代数に制限し、1次の場合とは異なる変形積を導出する。
Moyal 積と $\xi$-部分代数
$\mathbb{C}[[u,v]]$ 上の Moyal 積を
$$
f * g := P_0 \circ \exp\!\left(\frac{i\hbar}{2}B_0\right)(f \otimes g), \qquad B_0 := \partial_v \otimes \partial_u - \partial_u \otimes \partial_v
$$
で定める。これは $v * u = uv + i\hbar/2$, $u * v = uv - i\hbar/2$ を与える。
$\xi := uv$ と置く。$f(\xi), g(\xi) \in \mathbb{C}[[\xi]]$ に対して、$\xi$ の関数における偏微分は $\partial_u f(\xi) = v f'(\xi)$, $\partial_v f(\xi) = u f'(\xi)$ であるから
$$
B_0(f(\xi) \otimes g(\xi)) = (u \otimes v - v \otimes u)\,f'(\xi) \otimes g'(\xi).
$$
$P_0(u \otimes v - v \otimes u) = 0$ であるから $B_0$ の奇数べきの寄与は消える。
Bidifferential operator $B_2$ と積 $P_2$
$$ D := \xi\partial_\xi^2 + \partial_\xi. $$
monomial 上の作用は $D(\xi^n) = n^2\xi^{n-1}$ であり、反復して$ D^k(\xi^n) = n^2(n-1)^2\cdots(n-k+1)^2\,\xi^{n-k} $となる。
$$ P_0\!\left(B_0^{2k}(f(\xi) \otimes g(\xi))\right) = (2k)!\,(D^k f)(\xi)\,(D^k g)(\xi). $$
monomial $\xi^m \otimes \xi^n$ に対して $B_0^{2k}$ を直接展開すると、$P_0$ を施した後に $(2k)!\,D^k(\xi^m)\,D^k(\xi^n)$ と一致する。$\square$
$c := \hbar^2/4$ と置くと、bidifferential operator$ B_2 := D \otimes D $を用いて $*$-積は次の形に書ける。
$$ f(\xi) * g(\xi) = \sum_{k \ge 0} \frac{c^k}{k!}(D^k f)(\xi)\,(D^k g)(\xi), \qquad c = \frac{\hbar^2}{4}. $$
$$ \xi * \xi = \xi^2 + \frac{\hbar^2}{4}, \qquad \xi * \xi^2 = \xi^3 + \hbar^2\xi, \qquad \xi^2 * \xi^2 = \xi^4 + 4\hbar^2\xi^2 + \frac{\hbar^4}{2}. $$
Intertwiner $T_2$
$P_2$-型の intertwiner は $T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ とは異なり、tan/sec 型の閉じた形式を持つ。
指数関数 $e^{t\xi}$ 上での作用を
$$
T_2(e^{t\xi}) := \sec\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right) \exp\!\left(\frac{2}{\hbar}\tan\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right)\xi\right)
$$
により定め、$T_2$ を $\mathbb{C}[\xi]$ 上の線形作用素に拡張する。
指数型母関数
$$
F(t, \xi) := \sum_{n \ge 0} \frac{t^n}{n!}\,\xi^{* n}
$$
は微分方程式 $\partial_t F = (\xi + cD)F$, $F(0,\xi) = 1$ を満たす。ansatz $F = B(t)e^{\mathcal{A}(t)\xi}$ を代入すると
$$
\mathcal{A}'(t) = 1 + c\mathcal{A}(t)^2, \qquad B'(t) = c\mathcal{A}(t)B(t), \qquad \mathcal{A}(0) = 0, \qquad B(0) = 1
$$
が得られ、解は
$$
\mathcal{A}(t) = \frac{2}{\hbar}\tan\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right), \qquad B(t) = \sec\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right).
$$
すべての $n \ge 0$ に対して $T_2(\xi^n) = \xi^{* n}$。したがってすべての多項式 $f, g \in \mathbb{C}[\xi]$ に対して
$$
P_2(f, g) = T_2\!\left(P_0(T_2^{-1}f,\, T_2^{-1}g)\right),
$$
すなわち
$$
f * g = T_2\!\left((T_2^{-1}f)(T_2^{-1}g)\right).
$$
$T_2(\xi^n) = \xi^{* n}$ は母関数との係数比較から従う。$m, n \ge 0$ に対して
$$
T_2(\xi^{m+n}) = \xi^{*(m+n)} = \xi^{* m} * \xi^{* n} = T_2(\xi^m) * T_2(\xi^n).
$$
線形性により一般の多項式に拡張される。$\square$
$T_2$ の形式的作用素表示
変数変換$ \Phi(t) := \frac{2}{\hbar}\tan\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right) $に対し、特殊関数$\phi_\hbar(t)$ を $\exp(\phi_\hbar(t)\partial_t)\cdot t = \Phi(t)$ により定める。
$$ T_2 = \exp\!\big(\xi\,\phi_\hbar(\partial_\xi)\big)\,\sec\!\left(\frac{\hbar}{2}\partial_\xi\right). $$
$\phi_\hbar$ を特徴付ける関数等式は次の通りである。
$$
\phi_\hbar\!\left(\frac{2}{\hbar}\tan\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right)\right) = \sec^2\!\left(\frac{\hbar t}{2}\right)\phi_\hbar(t).
$$
これは $\phi_\hbar$ を形式的奇べき級数として一意に決定する。
まとめ
1次と2次の変形積を対比すると次のようになる。
1次（変数 $\zeta$）では bidifferential operator が $B_1 = \partial_\zeta \otimes \partial_\zeta$ であり、変形積は $P_1 = P_0\,e^{\hbar B_1}$ で与えられる。intertwiner $T_1 = \exp(\frac{\hbar}{2}\partial_\zeta^2)$ は Weierstrass 変換であり、Gauss 核を持つ。$*$-特殊関数（$*$-指数関数、$*$-delta、$*$-逆関数、theta 関数）は古典的特殊関数の $T_1$-変換像として自然に理解される。
2次（変数 $\xi = uv$）では bidifferential operator が $B_2 = D \otimes D$（$D = \xi\partial_\xi^2 + \partial_\xi$）であり、変形積 $P_2$ は $P_2 = \sum \frac{c^k}{k!}(D^k \cdot)(D^k \cdot)$ で与えられる。intertwiner $T_2$ は tan/sec 型の閉じた形式を持ち、その形式的作用素表示はtan関数の合成対数によって支配される。
両者はいずれも量子群の module-algebra 構造から ordering の選択を通じて生じ、変形積を通常積 $P_0$ に絡める intertwiner によって明示的に自明化される。
