JJMO 2004/8 をスチュワートの定理で瞬殺しよう！

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JJMO　2004 第8問

$B C = 3, C A = 2, A B = 4$ であるような三角形 $A B C$ がある.辺 $A B$ 上に2点 $D, E$ をとり、 $A D = 1, ∠ A C D = ∠ B C E$ となるようにする.線分 $B E$ の長さを求めなさい。

雑談

2008年までのJJMOは色々と迷走しておりまして、今回もそのうちの一つです。難易度が結構簡単だったり、形式が定まってなかったり(記述ができたりなくなったり、問題数がいきなり $9$ 問になったり)、「ただし, $P Q$ で線分 $P Q$ の長さを表すものとする.」という注意書きもなかったり、という時代でした。

解く！！

角度が同じ三角形が何組かできるので、CDとかCEとかを使って比を作れそうだ。
$(A D : D B)$ が $(1 : 3)$ であり、三角形の各辺の長さが与えられているので、スチュワートの定理で $C D$ が求められる！
$3^{2} \cdot 1 + 2^{2} \cdot 3 = 4 (C D^{2} + 1 \cdot 3)$

$C D = \frac{3}{2}$

できた〜。あとは $C E$ と $B E$ を使って連立方程式でも作れば終わりかな。

$∠ A C D = ∠ B C E より、$ $A D : B E = (C A \cdot C D) : (C B \cdot C E)$
$また、 ∠ A C E = ∠ B C D だから、$
$A E : D B = (C A \cdot C E) : (C B \cdot C D)$
分かってる数値を代入して、
$1 : B E = \frac{6}{2} : (3 \cdot C D)$ $(4 - B E) : 3 = (2 \cdot C E) : \frac{9}{2}$
内項と外項をそれぞれかけて整理して
$\begin{array}{r} {\begin{cases} 6 \cdot C E + \frac{9}{2} \cdot B E = 18 \\ 3 \cdot C E - \frac{6}{2} \cdot B E = 0 \end{cases} \end{array}$
これを解き、
$B E = \frac{12}{7}$