JJMO 2004/8 をスチュワートの定理で瞬殺しよう！
$BC=3,CA=2,AB=4$であるような三角形$ABC$がある.辺$AB$上に2点$D,E$をとり、$AD=1,∠ACD=∠BCE$となるようにする.線分$BE$の長さを求めなさい。
雑談
2008年までのJJMOは色々と迷走しておりまして、今回もそのうちの一つです。難易度が結構簡単だったり、形式が定まってなかったり(記述ができたりなくなったり、問題数がいきなり$9$問になったり)、「ただし,$PQ$で線分$PQ$の長さを表すものとする.」という注意書きもなかったり、という時代でした。
解く！！
角度が同じ三角形が何組かできるので、CDとかCEとかを使って比を作れそうだ。
$(AD:DB)$が$(1:3)$であり、三角形の各辺の長さが与えられているので、スチュワートの定理で$CD$が求められる！
$$
3^{2}\cdot 1+2^{2}\cdot3=4(CD^{2}+1\cdot3)
$$
$$ CD=\frac{3}{2} $$
できた〜。あとは$CE$と$BE$を使って連立方程式でも作れば終わりかな。
$$
∠ACD=∠BCEより、
$$$$
AD:BE=(CA\cdot CD):(CB\cdot CE)
$$
$$
また、∠ACE=∠BCDだから、
$$
$$
AE:DB=(CA\cdot CE):(CB\cdot CD)
$$
分かってる数値を代入して、
$$
1:BE=\frac{6}{2}:(3 \cdot CD)
$$$$
(4-BE):3=(2\cdot CE):\frac{9}{2}
$$
内項と外項をそれぞれかけて整理して
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
6\cdot CE+\frac{9}{2} \cdot BE=18\\
3\cdot CE-\frac{6}{2} \cdot BE=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
これを解き、
$$BE=\frac{12}{7}$$
数式のときって改行のたびに新しく囲み直さなきゃいけなくて大変でした…。
ㅤ
ㅤ瞬殺？
