パスカルの三角形と冪の冪級数

はじめに

今回書くのは結論を言うと予想です。

まず次の冪級数を考えます。
$\sum_{i = 0}^{\infty} i^{n} x^{i}$
これの母関数を考えます。
一々導出しようとすると、わたしが持たないのでWolfram Alphaを使います。
表

n	1	2	3	4
母関数	$\frac{x}{(1 - x)^{2}}$	$\frac{x (x + 1)}{(1 - x)^{3}}$	$\frac{x (x^{2} + 4 x + 1)}{(1 - x)^{4}}$	$\frac{x (x^{3} + 11 x^{2} + 11 x + 1)}{(1 - x)^{5}}$

で、ここに出てくる多項式の法則性を掴みたい。
ここでパスカルの三角形の拡張がでてきます！
多項式の係数の対称性に注目します。多項式の係数を図1のように並べ、
図1
二項係数のような対応をとる。
図2
本題の予想はこれが次の等式を満たすかです。

予想

$_{a} T_{0} =_{0} T_{a} = 1$
$(a - b + 1)_{a - 1} T_{b - 1} + (b + 1)_{a - 1} T_{b} =_{a} T_{b}$

見ていただきありがとうございます。
間違いなどかありましたら、教えてくださると嬉しいです。

投稿日：30日前

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高二です

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