【小ネタ】(x+2)^5=x^5+4(x+1)^2を解く
【小ネタ】$(x+2)^5=x^5+4(x+1)^2$を解く
$(x+2)^5=x^5+4(x+1)^2$を$x$について解く
展開すると
$x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32=x^5+4x^2+8x+4$
$10x^4+40x^3+76x^2+72x+28=0$
うーん、ここから先は難しそう
解法(平行移動)
$y=x+1$と置き換えると
$(y+1)^5=(y-1)^5+4y^2$
$10y^4+16y^2+2=0$
$5y^4+8y^2+1=0$
$y^2=\frac{-4\pm\sqrt{11}}{5}$
$y=\pm\sqrt{\frac{4\mp\sqrt{11}}{5}}i$
$x=y-1$を用いて整理する
$x=-1\pm\sqrt{\frac{4\mp\sqrt{11}}{5}}i$
変数を平行移動することで奇数次数項が消え、簡単になる。
一般的に$(x+a)^5=(x+b)^5$を解く
$y=\frac{2}{a-b}x+\frac{a+b}{a-b}$とおく
与式は$(\frac{a-b}{2}y+\frac{a-b}{2})^5=(\frac{a-b}{2}y+\frac{-a+b}{2})^5$となり
$(y+1)^5=(y-1)^5$
$5y^4+10y^2+1=0$
$y^2=\frac{-5\pm2\sqrt5}{5}$
$y=\pm\sqrt{\frac{5\mp2\sqrt5}{5}}i$
$y$を$x$に戻す
$x=-\frac{a+b}{2}\pm\frac{a-b}{2}\sqrt{\frac{5\mp2\sqrt5}{5}}i$
例：$(x+\sqrt5π)^5=x^5$を$x$について解く
ルートや超越数を係数に入れても...
解法(平行移動)
$y=\frac{2}{\sqrt5π}x+1$
$(\frac{\sqrt5π}{2}y+\frac{\sqrt5π}{2})^5=(\frac{\sqrt5π}{2}y-\frac{\sqrt5π}{2})^5$
$(y+1)^5=(y-1)^5$
$5y^4+10y^2+1=0$
$y=\pm\sqrt{\frac{5\mp2\sqrt{5}}{5}}i$
$x=\frac{\sqrt5π}2y-\frac{\sqrt5π}2$を用いて整理する
$x=-\frac{\sqrt5π}2\pm\frac{\sqrt5π}2\sqrt{\frac{5\mp2\sqrt{5}}{5}}i$
