LTEの補題の証明

$n=p^k\times m$($m$は$p$と互いに素な整数)としよう.このとき$x^{p^k\times m}-y^{p^k\times m}=(x^{p^k}-y^{p^k}){\displaystyle \sum _{t=0}^{m-1}(x^{p^k}{)}^t(y^{p^k}{)}^{m-1-t}}$.

${\displaystyle \sum _{t=0}^{m-1}(x^{p^k}{)}^t(y^{p^k}{)}^{m-1-t}}$は$p$で割り切れないので結局$n$が$p$のべきの場合のみを考えればよいことがわかる.また$k=0$の時の成立は明らかであるので$k>0$の場合を考える.k=1のとき,$$x^p-y^p=(x-y)\sum _{t=0}^{p-1}(x^t{y}^{p-1-t})$$

${\displaystyle v_p(\sum _{t=0}^{p-1}(x^t{y}^{p-1-t}))=1}$を示せばよい.$x,y$が$p$と互いに素であることをふまえると$$\sum _{t=0}^{p-1}(x^t{y}^{p-1-t})\equiv y^{p-1}\sum _{t=0}^{p-1}(x{y}^{-1}{)}^t(\mathrm{mod}{p}^2)$$

$x\equiv y(\mathrm{mod}{p}^2)$のとき${\displaystyle \sum _{t=0}^{p-1}(x{y}^{-1}{)}^t\equiv \sum _{t=0}^{p-1}{1}^t\equiv p(\mathrm{mod}{p}^2)}$より従う.

$x\not\equiv y(\mathrm{mod}{p}^2)$であるときある$1$以上$p-1$未満の正整数$m$が存在して$x{y}^{-1}\equiv mp+1(\mathrm{mod}{p}^2)$となること,二項定理より$(mp+1{)}^t={\displaystyle \sum _{k=0}^t(mp{)}^k{}_t{\mathrm{C}}_k\equiv mtp+1(\mathrm{mod}{p}^2)}$となることから$${\displaystyle \sum _{t=0}^{p-1}(x{y}^{-1}{)}^t\equiv \sum _{t=0}^{p-1}mtp+1\equiv p+mp\sum _{t=0}^{p-1}t\equiv p(\mathrm{mod}{p}^2)}$$となるので$v_p(x^p-y^p)=v_p(x-y)+1$がわかる.ここで$n=p^k$のときに補題が成り立てば$v_p(x^{p^{k+1}}-y^{p^{k+1}})=v_p((x^{p^k}{)}^p-(y^{p^k}{)}^p)=v_p(x^{p^k}-y^{p^k})+1=v_p(x-y)+k+1$となるので帰納的に任意の$k$について補題は示され,それと同時に任意の$n$についても補題は示された.