LTEの補題の証明

$n=p^k×m$($m$は$p$と互いに素な整数)としよう.このとき$x^{p^k×m}-y^{p^k×m}=(x^{p^k}-y^{p^k})\displaystyle\sum_{t=0}^{m-1}(x^{p^k})^{t}(y^{p^k})^{m-1-t}$.

$\displaystyle\sum_{t=0}^{m-1}(x^{p^k})^{t}(y^{p^k})^{m-1-t}$は$p$で割り切れないので結局$n$が$p$のべきの場合のみを考えればよいことがわかる.また$k=0$の時の成立は明らかであるので$k>0$の場合を考える.k=1のとき,$$x^{p}-y^{p}=(x-y)\sum_{t=0}^{p-1}(x^{t}y^{p-1-t})$$

$\displaystyle v_p(\sum_{t=0}^{p-1}(x^{t}y^{p-1-t}))=1$を示せばよい.$x,y$が$p$と互いに素であることをふまえると$$\sum_{t=0}^{p-1}(x^{t}y^{p-1-t})\equiv y^{p-1}\sum_{t=0}^{p-1}(xy^{-1})^t\pmod {p^2}$$

$x\equiv y\pmod {p^2}$のとき$\displaystyle\sum_{t=0}^{p-1}(xy^{-1})^t\equiv \sum_{t=0}^{p-1}1^t\equiv p\pmod {p^2}$より従う.

$x\not\equiv y\pmod{p^2}$であるときある$1$以上$p-1$未満の正整数$m$が存在して$xy^{-1}\equiv mp+1\pmod{p^2}$となること,二項定理より$(mp+1)^t=\displaystyle\sum_{k=0}^{t}(mp)^k{}_t \mathrm{C}_k\equiv mtp+1\pmod{p^2}$となることから$$\displaystyle\sum_{t=0}^{p-1}(xy^{-1})^t\equiv \sum_{t=0}^{p-1}mtp+1\equiv p+mp\sum_{t=0}^{p-1}t\equiv p\pmod{p^2}$$となるので$v_p(x^p-y^p)=v_p(x-y)+1$がわかる.ここで$n=p^k$のときに補題が成り立てば$v_p(x^{p^{k+1}}-y^{p^{k+1}})=v_p((x^{p^k})^p-(y^{p^k})^p)=v_p(x^{p^k}-y^{p^k})+1=v_p(x-y)+k+1$となるので帰納的に任意の$k$について補題は示され,それと同時に任意の$n$についても補題は示された.