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Srivastavaによる二重超幾何級数の展開公式

次はSrivastavaによって1970年に示された公式である.

Srivastava(1970)

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r)_m(c_1,\dots,c_u)_n(e)_{m+n}}{(b_1,\dots,b_s)m!(d_1,\dots,d_v)_nn!(f)_{m+n}}x^my^n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u,e,f-e)_n}{(f+n-1)_n(f)_{2n}(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v)_n}\frac{(xy)^n}{n!}\\ &\cdot\F{r}{s+1}{a_1+n,\dots,a_r+n,e+n}{b_1+n,\dots,b_s+n,f+2n}{x}\F{u}{v+1}{c_1+n,\dots,c_u+n,e+n}{d_1+n,\dots,d_v+n,f+2n}{y} \end{align}

$\alpha_n=\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_s)_n},\beta_n=\frac{(c_1,\dots,c_u)_n}{(d_1,\dots,d_v)_n}$とすると, 右辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(f)_{n-1}(f+2n-1)(f-e)_n}{n!(e)_n}\sum_{0\leq j,k}\frac{(e)_{n+j}(e)_{n+k}}{j!k!(f)_{2n+j}(f)_{2n+k}}\alpha_{n+j}\beta_{n+k}x^{n+j}y^{n+k}\\ &=\sum_{0\leq j,k}(e)_j(e)_k\alpha_j\beta_kx^jy^k\sum_{0\leq n}\frac{(f)_{n-1}(f+2n-1)(f-e)_n}{(j-n)!(k-n)!n!(e)_n(f)_{n+j}(f)_{n+k}}\qquad(j\mapsto j-n,k\mapsto k-n) \end{align}
ここで, Dougallの和公式より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(f)_{n-1}(f+2n-1)(f-e)_n}{(j-n)!(k-n)!n!(e)_n(f)_{n+j}(f)_{n+k}}\\ &=\frac{1}{j!k!(f)_j(f)_k}\F54{f-1,1+\frac{f-1}2,f-e,-j,-k}{\frac{f-1}2,e,f+j,f+k}1\\ &=\frac{1}{j!k!(f)_j(f)_k}\frac{(f)_j(f)_k(e)_{j+k}}{(e)_j(e)_k(f)_{j+k}}\\ &=\frac{(e)_{j+k}}{j!k!(e)_j(e)_k(f)_{j+k}} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

$x\mapsto \frac xe,y\mapsto \frac ye$としてから$e\to\infty$とすると以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r)_m(c_1,\dots,c_u)_n}{(b_1,\dots,b_s)m!(d_1,\dots,d_v)_nn!(f)_{m+n}}x^my^n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u)_n}{(f+n-1)_n(f)_{2n}(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v)_n}\frac{(-xy)^n}{n!}\\ &\cdot\F{r}{s+1}{a_1+n,\dots,a_r+n}{b_1+n,\dots,b_s+n,f+2n}{x}\F{u}{v+1}{c_1+n,\dots,c_u+n}{d_1+n,\dots,d_v+n,f+2n}{y} \end{align}

$x\mapsto fx,y\mapsto fy$としてから$f\to\infty$とすると以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r)_m(c_1,\dots,c_u)_n(e)_{m+n}}{(b_1,\dots,b_s)m!(d_1,\dots,d_v)_nn!}x^my^n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(e,a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u)_n}{(e+n-1)_n(e)_{2n}(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v)_n}\frac{(xy)^n}{n!}\\ &\cdot\F{r+1}{s}{a_1+n,\dots,a_r+n,e+n}{b_1+n,\dots,b_s+n}{x}\F{u+1}{v}{c_1+n,\dots,c_u+n,e+n}{d_1+n,\dots,d_v+n}{y} \end{align}

これらの等式において, 右辺の和に現れる超幾何級数になんらかの和公式が適用できるように特殊化すれば, 二重超幾何級数を超幾何級数で表す様々な等式を得ることができるだろう.