二次ベジエ曲線の長さを求める

　二次ベジエ曲線の長さを求めます。これは積分で求めることができます。応用は特に考えていません。興味があって調べました。
quadraticCurveLength

二次ベジエ曲線

　まず、二次ベジエ曲線とは3つのコントロールポイント：

$$(a_0,b_0,c_0),(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)$$
により、次のように表される曲線である：

$$\begin{array}{rl}x& =a_0(1-t{)}^2+2a_{1}t(1-t)+a_2{t}^2,\\ y& =b_0(1-t{)}^2+2b_{1}t(1-t)+b_2{t}^2,\\ z& =c_0(1-t{)}^2+2c_{1}t(1-t)+c_2{t}^2.\end{array}$$
ただし$t_0\le t\le t_1$とする。曲線の長さを与える式を求める。
　はじめに、

$$u_0=a_0-a_1,v_0=b_0-b_1,w_0=c_0-c_1$$
とおく。さらに、

$$u_1=a_0-2a_1+a_2,v_1=b_0-2b_1+b_2,w_1=c_0-2c_1+c_2$$
とおく。そして、

$$A={u_1}^2+{v_1}^2+{w_1}^2,$$
$$B=u_1{u}_0+v_1{v}_0+w_1{w}_0,$$
$$C={u_0}^2+{v_0}^2+{w_0}^2,$$
$$D=AC-B^2$$
とおく。シュワルツの不等式より、$D\ge 0$がわかる。
　このとき、求める曲線の長さは次のようになる。まず補助関数を用意する。

$$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})+x\sqrt{x^2+1}.$$
曲線の長さ$L$は、まず$A>0$かつ$D>0$のとき、

$$L=\frac{D}{A\sqrt{A}}(g\left(\frac{A{t}_1-B}{\sqrt{D}}\right)-g\left(\frac{A{t}_0-B}{\sqrt{D}}\right)).$$
次に$A>0$かつ$D=0$の場合は、

$$L=\frac{1}{A\sqrt{A}}((A{t}_1-B)|A{t}_1-B|-(A{t}_0-B)|A{t}_0-B|).$$
最後に$A=0$の場合、$B$も$D$も0になるので、

$$L=2\sqrt{C}(t_1-t_0)$$
となる。
　以上です。