とある漸化式の解き方

高校数学の問題集を見ていると$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n}{n}}$を求めよ.ただし$a_1=1$とする.という問題を見かけました.

多分解いたことがある人が多く,mathlogを見ているような人にとっては
簡単すぎる問題かもしれないですが(最近受験生からこの漸化式ってどう解くんですか？と質問されたので書きました.)
参考書の解答は両辺に$n!$をかけて置換して等比数列に帰着させると書いてあったのですが,発想的にどうなんだろうと思ったりしました(そういう変形もあるのかもしれないけど)

$a_{n+1}=f(n)a_n$のように見ると$f(n)={\displaystyle \frac{3}{n}}$は
${\displaystyle \frac{3}{1}},{\displaystyle \frac{3}{2}}のようになっていくので結局a_n={\displaystyle \frac{3^{n-1}}{(n-1)!}}{a}_1$

ようするに${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{k}}}$をかけているというふうに
式を見れば良いというだけでした〜(3は定数なので省略している部分がありますが)

解答
分母を払って等比数列とみなすこともできると思いますが
$a_n=$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{k}{k+1}}{a}_1}$(n$\ge 2$)と変形できるので答えは
$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$になります.

mathlogを使う練習のための記事になりました