高校数学の問題集を見ているとan+1=3annを求めよ.ただしa1=1とする.という問題を見かけました.
多分解いたことがある人が多く,mathlogを見ているような人にとっては 簡単すぎる問題かもしれないですが(最近受験生からこの漸化式ってどう解くんですか?と質問されたので書きました.)参考書の解答は両辺にn!をかけて置換して等比数列に帰着させると書いてあったのですが,発想的にどうなんだろうと思ったりしました(そういう変形もあるのかもしれないけど)
an+1=f(n)anのように見るとf(n)=3nはのようになっていくので結局31,32のようになっていくので結局an=3n−1(n−1)!a1
ようするに∏k=1n−11kをかけているというふうに式を見れば良いというだけでした〜(3は定数なので省略している部分がありますが)
a1=1 ,an+1=nn+1an
解答分母を払って等比数列とみなすこともできると思いますがan=∏k=1n−1kk+1a1(n≥2)と変形できるので答えはan=1nになります.
mathlogを使う練習のための記事になりました
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