積分問題祭り(思いつき次第更新予定)

問題1
$\displaystyle I_n =\int_{n}^{n+1} e^{-x}\left|\sin \pi x\right|~dx~~~~(n\in \mathbb{Z}_{\geq0})$とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$I_0$を求めよ。
$\displaystyle J_n =\int_{0}^{n} e^{-x}\left|\sin \pi x\right|~dx~~~~(n\in \mathbb{Z}_{\geq0})$とする。
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}J_n$が収束するかどうかを調べ、収束するならばその値を求めよ

問題2
(1)
$m,n$を自然数とするとき、次の積分$I$の値を求めよ。
$$\int_{0}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)~dx$$
(2)
自然数$n$に対して$f_n (x)$を次のように定める。
$\displaystyle f_n (x) = \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)$
この時、次の定積分$J$の値を求めよ
$\displaystyle J~=~\int_{0}^{\pi}\left\{f_n(x) \right\}^2 ~dx $

問題3
数列$\{a_n\}~~~(n\in\mathbb{N})$の一般項$a_n$を次のように定めるとき、以下の問いに答えよ。
$$a_n = \int_{0}^{1} x^{n}e^{-x}~dx$$
(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$を求めよ。
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n a_n$

問題4
定積分$I_n$を次のように定める。
$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin ^{n}x~dx ~~~~(n\in\mathbb{Z}_{\geq 0})$
(1)$I_0 , I_1$を求めよ。
(2)$I_{n+1}$を$I_n,n$を用いて表せ。
(3)$I_{n+1}>I_n$を示せ。
(4)$I_n$を$n$が偶数,奇数である場合それぞれにおいて$n$の式で表せ。
　 ただし、ある自然数$N$について、$N(N-2)(N-4)...$と$N-2k$が自然数であ
　 る限りかけ合わせていくことを$N!!$(二重階乗)と定義する。
(4)$\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}$を挟み撃ちの原理を用いて示せ。