積分問題祭り(思いつき次第更新予定)

問題1
${\displaystyle I_n={\int }_n^{n+1}{e}^{-x}|\sin \pi x|dx(n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0})}$とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$I_0$を求めよ。
${\displaystyle J_n={\int }_0^n{e}^{-x}|\sin \pi x|dx(n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0})}$とする。
(2)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_n}$が収束するかどうかを調べ、収束するならばその値を求めよ

問題2
(1)
$m,n$を自然数とするとき、次の積分$I$の値を求めよ。
$${\int }_0^{\pi }\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)dx$$
(2)
自然数$n$に対して$f_n(x)$を次のように定める。
${\displaystyle f_n(x)=\sum _{k=1}^n\sin \left(kx\right)}$
この時、次の定積分$J$の値を求めよ
${\displaystyle J={\int }_0^{\pi }{\{f_n(x)\}}^{2}dx}$

問題3
数列$\{a_n\}(n\in \mathbb{N})$の一般項$a_n$を次のように定めるとき、以下の問いに答えよ。
$$a_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx$$
(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。
(2)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めよ。
(3)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n}$

問題4
定積分$I_n$を次のように定める。
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx(n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0})}$
(1)$I_0,I_1$を求めよ。
(2)$I_{n+1}$を$I_n,n$を用いて表せ。
(3)$I_{n+1}>I_n$を示せ。
(4)$I_n$を$n$が偶数,奇数である場合それぞれにおいて$n$の式で表せ。
　 ただし、ある自然数$N$について、$N(N-2)(N-4)...$と$N-2k$が自然数であ
　 る限りかけ合わせていくことを$N!!$(二重階乗)と定義する。
(4)${\displaystyle \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi }{2}}$を挟み撃ちの原理を用いて示せ。