自作問題あなぐら 1（和の入った漸化式と数列の最小値）

(1) $n \geq 2$に対して
\begin{align} \sum_{k=2}^{n+1}\frac{k}{a_k} &= \log((n+1)!), \\ \sum_{k=2}^{n}\frac{k}{a_k} &= \log(n!) \end{align}
が成り立つ．差をとって
$$ \frac{n + 1}{a_{n+1}} = \log{(n+1)}, \qquad \therefore a_{n+1} = \frac{n + 1}{\log{(n + 1)}}, \qquad \therefore a_n = \frac{n}{\log{n}} \ (n \geq 3). $$
また，元の漸化式で$n = 2$とすると$\dfrac{2}{a_2} = \log{2}$ゆえ$a_2 = \dfrac{2}{\log{2}}$を得る．以上のことから，
$$ a_n = \begin{cases} 3 & (n = 1), \\ \dfrac{n}{\log{n}} & (n \geq 2). \end{cases} $$

(2) 関数$f(x) = \dfrac{x}{\log{x}} \ (x \geq 2)$を考える．$f' = \dfrac{\log{x} - 1}{(\log{x})^2}$ゆえ，関数$f$は区間$[2,\ e]$で単調減少，区間$[e,\ \infty]$で単調増加．よって$f(x)$は$x = e$で最小となり，$2 < e < 3$であるから，$\{a_n\}$から初項を除いた数列$\{a_n\}_{n = 2}^{\infty}$で最小となりうるのは$a_2$または$a_3$である．ここで
$$ a_2 - a_3 = \frac{\log{(9/8)}}{\log{2} \cdot \log{3}} > 0, \qquad \therefore a_2 > a_3 $$
ゆえ，$\{a_n\}_{n = 2}^{\infty}$の最小値は$a_3$である．最後に
$$ a_1 - a_3 = \frac{3 \log{(3/e)}}{\log{3}} > 0, \qquad \therefore a_1 > a_3. $$
以上より，$\{a_n\}$の最小値は$a_3$なので
$$ m = \frac{3}{\log{3}},\qquad \text{$a_n = m$ となるのは}\ n = 3. $$