自作問題あなぐら 1（和の入った漸化式と数列の最小値）

問題

　数列 ${a_{n}}$ が以下の条件を満たしている．
$a_{1} = 3 ， \sum_{k = 2}^{n} \frac{k}{a_{k}} = \log (n!) (n = 2, 3, \dots)$

数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．
${a_{n}}$ の最小値 $m$ と $a_{n} = m$ となる $n$ を求めよ．

余話

　数列の和が入った漸化式と，数列の最小値に関する問題です．本問の原案は，塾バイトでちょうど良い難易度の演習問題として生徒さんに出したものです．~~ちょうど良い問題を探すのがめんどくさかった~~．優秀な生徒さんだったため，完答を阻止するためのトラップを仕掛けています．

解答

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(1) $n \geq 2$ に対して
$\begin{aligned} \sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{k}{a_{k}} & = \log ((n + 1)!), \\ \sum_{k = 2}^{n} \frac{k}{a_{k}} & = \log (n!) \end{aligned}$
が成り立つ．差をとって
$\frac{n + 1}{a_{n + 1}} = \log (n + 1), ∴ a_{n + 1} = \frac{n + 1}{\log (n + 1)}, ∴ a_{n} = \frac{n}{\log n} (n \geq 3) .$
また，元の漸化式で $n = 2$ とすると $\frac{2}{a_{2}} = \log 2$ ゆえ $a_{2} = \frac{2}{\log 2}$ を得る．以上のことから，
$a_{n} = {\begin{cases} 3 & (n = 1), \\ \frac{n}{\log n} & (n \geq 2) . \end{cases}$

(2) 関数 $f (x) = \frac{x}{\log x} (x \geq 2)$ を考える． $f^{'} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^{2}}$ ゆえ，関数 $f$ は区間 $[2, e]$ で単調減少，区間 $[e, \infty]$ で単調増加．よって $f (x)$ は $x = e$ で最小となり， $2 < e < 3$ であるから， ${a_{n}}$ から初項を除いた数列 ${a_{n}}_{n = 2}^{\infty}$ で最小となりうるのは $a_{2}$ または $a_{3}$ である．ここで
$a_{2} - a_{3} = \frac{\log (9 / 8)}{\log 2 \cdot \log 3} > 0, ∴ a_{2} > a_{3}$
ゆえ， ${a_{n}}_{n = 2}^{\infty}$ の最小値は $a_{3}$ である．最後に
$a_{1} - a_{3} = \frac{3 \log (3 / e)}{\log 3} > 0, ∴ a_{1} > a_{3} .$
以上より， ${a_{n}}$ の最小値は $a_{3}$ なので
$m = \frac{3}{\log 3}, a_{n} = m となるのは n = 3.$