1F2の2乗のMaclaurin展開係数が満たす3項漸化式2

前の記事 で${}_1F_2$の二乗の係数が満たす漸化式を導いた. 今回はその特別な場合について考えたいと思う. まず, 前の記事 の定理1において, $b=\frac 13,c=\frac 23$とすると
\begin{align} \F12{a}{\frac 13,\frac 23}{x}^2&=\sum_{0\leq n}\frac{3^{3n}(2a)_n}{(3n)!}A_nx^n \end{align}
となる$A_n$は
\begin{align} A_n=\F43{a,n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 13,\frac 23,a+\frac 12}1 \end{align}
と表され, 漸化式
\begin{align} &\frac43n\left(n-a-\frac 12\right)\left(n-\frac 23\right)(A_{n-1}-A_n)\\ &+\frac 13n(n+2a)\left(n-\frac 13\right)(A_{n+1}-A_n)-an(3n-1)A_n=0 \end{align}
を満たすことが分かる. 両辺に$\frac 9{n(3n-1)}$を掛けて($n\neq 0$とする)
\begin{align} 2\left(2n-2a-1\right)(A_{n-1}-A_n)+(n+2a)(A_{n+1}-A_n)-9aA_n=0 \end{align}
つまり,
\begin{align} (n+2a)A_{n+1}-(5n+7a-2)A_n+2(2n-2a-1)A_{n-1}=0&&n>0 \end{align}
を得る.

次に, 前の記事 の定理1において, $b=\frac 23,c=\frac 43$とすると, 同様に
\begin{align} \F12{a}{\frac 23,\frac 43}{x}^2&=\sum_{0\leq n}\frac{3^{3n}(2a)_n}{(3n+2)!}B_nx^n \end{align}
となる$B_n$は
\begin{align} B_n=(3n+2)\F43{a,n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 23,\frac 43,a+\frac 12}{1} \end{align}
と表され, 漸化式
\begin{align} (n+2a)B_{n+1}-(5n+7a-1)B_n+2(2n-2a+1)B_{n-1}=0\qquad n>0 \end{align}
を満たすことが示される.

また, 同様に 前の記事 の定理1において, $b=\frac 43,c=\frac 53$とすると
\begin{align} \F12{a}{\frac 43,\frac 53}x^2&=\sum_{0\leq n}\frac{3^{3n}(2a)_n}{(3n+4)!}C_nx^n \end{align}
となる$C_n$は
\begin{align} C_n&=(3n+3)(3n+4)\F43{a,n+2,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 43,\frac 53,a+\frac 12}1 \end{align}
と表され, 漸化式
\begin{align} (n+2a)C_{n+1}-(5n+7a)C_n+2(2n-2a+3)C_{n-1}=0\qquad n>0 \end{align}
を満たすことが示される. まとめると以下を得る.

このような特別な場合に漸化式の係数が1次式になるもので書けるのは興味深い. これらの${}_1F_2$はAiry関数の2つの積の一般化になっていることから, 特にAiry関数の4乗のMaclaurin展開係数がこのような係数が1次式であるような漸化式を満たす数列で表すことができることが分かる.