少し前の東進数学コン

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問題
平方剰余とか使ったら自然に思いつくと思います,初等的な解き方をします
(ごり押しで証明しようと思いましたが挫折しました)
(解)
$A_{k} = c o s \frac{2 k π}{5} + i s i n \frac{2 k π}{5}, a_{k} = c o s \frac{2 k π}{5}$
$B_{k} = c o s \frac{2 k π}{13} + i s i n \frac{2 k π}{13}, b_{k} = c o s \frac{2 k π}{13}$
$C_{k} = c o s \frac{2 k π}{31} + i s i n \frac{2 k π}{31}, c_{k} = c o s \frac{2 k π}{31}$
とおきます
$n$ を正の整数とする
$\sum_{i = 1}^{n} c o s \frac{2 k π}{2 n + 1} = - \frac{1}{2}$ を示す
$(c o s \frac{2 π}{2 n + 1} + i s i n \frac{2 π}{2 n + 1})^{2 n + 1} = 1$
$\sum_{i = 0}^{2 n} (c o s \frac{2 k π}{2 n + 1} + i s i n \frac{2 k π}{2 n + 1}) = 0$
$\sum_{i = 1}^{2 n} c o s \frac{2 k π}{2 n + 1} = - 1$
$\sum_{i = 1}^{n} c o s \frac{2 k π}{2 n + 1} = - \frac{1}{2}$ …①

$(A)$
$(X_{1}, Y_{1}) = (A_{1} + A_{4}, A_{2} + A_{3}) (= (2 a_{1}, 2 a_{2}))$ とおく
$X_{1} + Y_{1} = - 1$
$X_{1} Y_{1} = 4 a_{1} a_{2} = 2 (a_{1} + a_{2}) = - 1$
このとき $X_{1} > Y_{1}$ に注意すると
$X_{1} - Y_{1} = \sqrt 5$
$(B)$
$X_{2} = B_{1} + B_{3} + B_{4} + B_{9} + B_{10} + B_{12} (= 2 b_{1} + 2 b_{3} + 2 b_{4})$
$Y_{2} = B_{2} + B_{5} + B_{6} + B_{7} + B_{8} + B_{11} (= 2 b_{2} + 2 b_{5} + 2 b_{6})$
$X_{2} + Y_{2} = - 1$
$X_{2} Y_{2} = 4 (b_{1} b_{2} + b_{1} b_{2} + b_{1} b_{6} + b_{3} b_{2} + b_{3} b_{5} + b_{3} b_{6} + b_{2} b_{4} + b_{4} b_{5} + b_{5} b_{6})$
$= 6 (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6})$ ( $∵$ 積和)
$= - 3$
$X_{2} - Y_{2} = \sqrt 13$
( $C$ )
$X_{3} = B_{1} + B_{2} + B_{4} + B_{5} + B_{7} + B_{8} + B_{9} + B_{10} + B_{14} + B_{16}$
$+ B_{18} + B_{19} + B_{20} + B_{25} + B_{28}$
$Y_{3} = B_{3} + B_{6} + B_{11} + B_{12} + B_{13} + B_{15} + B_{17} + B_{21} +$ $B_{22} + B_{23} + B_{24} + B_{26} + B_{27} + B_{29} + B_{30}$
$X_{3} + Y_{3} = - 1$
気合で計算して $X_{3} Y_{3} = 8$
結果的に $X_{3} - Y_{3} = i \sqrt 31$
よって
$\sqrt{2015} = (- i) (X_{1} - Y_{1}) (X_{2} - Y_{2}) (X_{3} - Y_{3})$

投稿日：3月23日

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