［平均値の定理]/京都大03年後期理系第５問

［解答］
　２回微分可能な関数で，区間[0,1]において，$f(x)$と$f'(x)$とがそれぞれ有界で，狭義単調増加関数であるとする．ここでは，$f(x)=x^{100}$を指す．
$$ \quad S_n:= \sum_{k=1}^{2n} {(-1)^kf( \frac{k}{2n} )}$$
とおく．
$$ \quad S_n= \sum_{k=1}^{n} \lbrace {f( \frac{2k}{2n} )-f( \frac{2k-1}{2n} )} \rbrace $$
　また，
$$ \quad T_n:= \sum_{k=1}^{n} \lbrace {f( \frac{2k-1}{2n} )-f( \frac{2k-2}{2n} )} \rbrace $$
とおく．すると，
$$ \quad S_n+T_n:= \sum_{k=1}^{n} \lbrace {f( \frac{2k}{2n} )-f( \frac{2k-2}{2n} )} \rbrace$$
$$ \quad S_n+T_n=f(1)-f(0) $$
となる．
　ここで，「平均値の定理」から，$0< \theta_{2k}<1$，
$0< \theta_{2k-1}<1$で，
$$ \quad f( \frac{2k}{2n} )-f( \frac{2k-1}{2n} )= \frac{1}{2n} f'(\frac{2k-1+\theta_{2k}}{2n}) $$
$$ \quad f( \frac{2k}{2n} )-f( \frac{2k-1}{2n} )< \frac{1}{2n} f'(\frac{2k}{2n}) ,$$
$$ \quad f( \frac{2k-1}{2n} )-f( \frac{2k-2}{2n} )=\frac{1}{2n}f'(\frac{2k-2+\theta_{2k-1}}{2n})$$
$$ \quad f( \frac{2k-1}{2n} )-f( \frac{2k-2}{2n} )>\frac{1}{2n}f'(\frac{2k-2}{2n})$$
　２つの不等式から，
$$ \quad \lbrace {f( \frac{2k}{2n} )-f( \frac{2k-1}{2n} )} \rbrace -\lbrace {f( \frac{2k-1}{2n} )-f( \frac{2k-2}{2n} )} \rbrace<\frac{1}{2n}\lbrace {f'( \frac{2k}{2n} )-f'( \frac{2k-2}{2n} )} \rbrace$$
よって，
$$ \quad 0< S_n-T_n<\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n} \lbrace {f'( \frac{2k}{2n} )-f'( \frac{2k-2}{2n} )}\rbrace $$
$$ \quad 0< S_n-T_n<\frac{f'(1)-f'(0)}{2n} $$
　「ハサミウチの原理」から，$n \rightarrow \infty$のとき，
$$ \quad \left| S_n-T_n \right| \rightarrow 0 $$
　すなわち，
$$ \quad \left| S_n-T_n \right|= \left| 2S_n-\lbrace {f(1)-f(0)} \rbrace \right|\rightarrow 0 $$
$$ \quad S_n\rightarrow \frac{f(1)-f(0)}{2} $$
以上から，
$$ \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} {(-1)^k( \frac{k}{2n} )^{100}}= \frac{1}{2} . $$
$ \quad \cdots $(ans)