コエンドとエンドは和と積の関係に似ている．

記法について．

今回は，
コエンドを

$$\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}H(c,c)$$

エンドを
$$\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}H(c,c)$$
と表す．
また，プロ函手$H:{\mathbb{C}}^{\mathbb{op}}\times \mathbb{D}\to \mathbb{Set}$を
$$H_{\mathbb{D}}^{\mathbb{C}}$$
と書く．
上付きの添え字は反変成分，下付きの添え字は共変成分を表す．
つまり，$X_{\mathbb{CD}}^{\mathbb{E}}$は$X:\mathbb{C}\times \mathbb{D}\times {\mathbb{E}}^{\mathbb{op}}\to \mathbb{Set}$を表す．
代入されたプロ函手$H(a,-)$は括弧を付けて$H_{\mathbb{D}}^{(a)}$と表す．

プロ函手の合成．

$2$つのプロ函手それぞれに同じ添え字があり，それぞれ添え字が上下の関係になっていた場合，プロ函手は合成可能であり，
プロ函手$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}},F_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}$について
その合成$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}{F}_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}:{\mathbb{E}}^{\mathbb{op}}\times \mathbb{C}\to \mathbb{Set}$はコエンドを用いて次のように計算される．
$$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}{F}_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}=\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{\mathbb{E}}$$
ここで$E_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{\mathbb{E}}$とは函手${\mathbb{E}}^{\mathbb{op}}\times \mathbb{C}\to \mathbb{Set}$であり，$c\in \mathbb{C},e\in \mathbb{E}$に対して集合$E_{(c)}^{(d)}$と$F_{(d)}^{(e)}$の直積$E_{(c)}^{(d)}\otimes F_{(d)}^{(e)}$を対応づける函手である．

プロ函手の合成の結合性

プロ函手
$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}},F_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}},G_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}$の合成$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}{F}_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}{G}_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}$は次の二つの合成方法が考えられる．
$$\begin{array}{rl}{E}_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}\left(F_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}{G}_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}\right)& =E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}\left(\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}{F}_{\mathbb{D}}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)\\ & =\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}\left(\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)\end{array}$$
または，
$$\begin{array}{rl}\left(E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}{F}_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}\right)G_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}& =\left(\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{\mathbb{E}}\right)G_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}\\ & =\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}\left(\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}\right)G_{(e)}^{\mathbb{F}}\end{array}$$
しかしこれらは一致する．
エンドとコエンドは連続函手と交換し，直積は連続函手であることを用いる．
すると次が成り立つ．
$$\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}\left(\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)=\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}\left(\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)$$
また，コエンドとエンドにはFubiniの定理が成り立つので，
$$\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}\left(\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)=\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}\left(\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)$$
今一度直積とコエンドを交換する．
$$\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}\left(\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}{G}_{(e)}^{\mathbb{F}}\right)=\overline{\underset{e\in \mathbb{E}}{⨁}}\left(\overline{\underset{d\in \mathbb{D}}{⨁}}{E}_{\mathbb{C}}^{(d)}{F}_{(d)}^{(e)}\right)G_{(e)}^{\mathbb{F}}$$
つまりプロ函手の合成において結合順序を考えずに$E_{\mathbb{C}}^{\mathbb{D}}{F}_{\mathbb{D}}^{\mathbb{E}}{G}_{\mathbb{E}}^{\mathbb{F}}$と記しても問題ない．

プロ函手の指数法則

$\text{Hom}$函手のことを$\text{Hom}(a,b)=b^a$と表す．
ここで集合$E$とプロ函手$A_{\mathbb{C}}^{\mathbb{C}}$を考える．
この時次が成り立つ．
$$E^{\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{A}_{(c)}^{(c)}}=\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}{E}^{A_{(c)}^{(c)}}$$
$\text{Hom}$函手も連続函手であり，エンドとコエンドと交換するが，第一成分が反変成分となっていることに注意する．
$$\begin{array}{rl}{E}^{\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{A}_{(c)}^{(c)}}& =\text{Hom}(\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{A}_{(c)}^{(c)},E)\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}\text{Hom}(A_{(c)}^{(c)},E)\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}{E}^{A_{(c)}^{(c)}}\end{array}$$