コエンドとエンドは和と積の関係に似ている．

記法について．

今回は，
コエンドを

$$\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}H(c,c)$$

エンドを
$$ \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}H(c,c) $$
と表す．
また，プロ函手$H:\mathbb{C^{op}}\times \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{Set}$を
$$ H_{\mathbb{D}}^{\mathbb{C}} $$
と書く．
上付きの添え字は反変成分，下付きの添え字は共変成分を表す．
つまり，$X_{\mathbb{CD}}^\mathbb{E}$は$X:\mathbb{C}\times \mathbb{D}\times\mathbb{E^{op}}\rightarrow \mathbb{Set}$を表す．
代入されたプロ函手$H(a,-)$は括弧を付けて$H_\mathbb{D}^{(a)}$と表す．

プロ函手の合成．

$2$つのプロ函手それぞれに同じ添え字があり，それぞれ添え字が上下の関係になっていた場合，プロ函手は合成可能であり，
プロ函手$E_\mathbb{C}^\mathbb{D},F_\mathbb{D}^\mathbb{E}$について
その合成$E_\mathbb{C}^\mathbb{D}F_\mathbb{D}^\mathbb{E}:\mathbb{E^{op}}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{Set}$はコエンドを用いて次のように計算される．
$$ E_\mathbb{C}^\mathbb{D}F_\mathbb{D}^\mathbb{E}=\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^\mathbb{E} $$
ここで$E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^\mathbb{E}$とは函手$\mathbb{E^{op}}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{Set}$であり，$c\in\mathbb{C},e\in\mathbb{E}$に対して集合$E_{(c)}^{(d)}$と$F_{(d)}^{(e)}$の直積$E_{(c)}^{(d)}\otimes F_{(d)}^{(e)}$を対応づける函手である．

プロ函手の合成の結合性

プロ函手
$E_\mathbb{C}^\mathbb{D},F_\mathbb{D}^\mathbb{E},G_\mathbb{E}^\mathbb{F}$の合成$E_\mathbb{C}^\mathbb{D}F_\mathbb{D}^\mathbb{E}G_\mathbb{E}^\mathbb{F}$は次の二つの合成方法が考えられる．
$$ \begin{align} E_\mathbb{C}^\mathbb{D}\left(F_\mathbb{D}^\mathbb{E}G_\mathbb{E}^\mathbb{F}\right) &= E_\mathbb{C}^\mathbb{D}\left(\overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}F_\mathbb{D}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) \\ &= \overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}\left(\overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) \end{align} $$
または，
$$ \begin{align} \left(E_\mathbb{C}^\mathbb{D}F_\mathbb{D}^\mathbb{E}\right)G_\mathbb{E}^\mathbb{F} &= \left(\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^\mathbb{E}\right)G_\mathbb{E}^\mathbb{F} \\ &= \overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}\left(\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}\right)G_{(e)}^\mathbb{F} \end{align} $$
しかしこれらは一致する．
エンドとコエンドは連続函手と交換し，直積は連続函手であることを用いる．
すると次が成り立つ．
$$ \overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}\left(\overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) = \overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}\left(\overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) $$
また，コエンドとエンドにはFubiniの定理が成り立つので，
$$ \overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}\left(\overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) = \overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}\left(\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) $$
今一度直積とコエンドを交換する．
$$ \overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}\left(\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}G_{(e)}^\mathbb{F}\right) = \overline{\bigoplus_{e\in\mathbb{E}}}\left(\overline{\bigoplus_{d\in\mathbb{D}}}E_\mathbb{C}^{(d)}F_{(d)}^{(e)}\right)G_{(e)}^\mathbb{F} $$
つまりプロ函手の合成において結合順序を考えずに$E_\mathbb{C}^\mathbb{D}F_\mathbb{D}^\mathbb{E}G_\mathbb{E}^\mathbb{F}$と記しても問題ない．

プロ函手の指数法則

$\text{Hom}$函手のことを$\text{Hom}(a,b)=b^a$と表す．
ここで集合$E$とプロ函手$A_\mathbb{C}^\mathbb{C}$を考える．
この時次が成り立つ．
$$ E^{\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}A_{(c)}^{(c)}} = \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}E^{A_{(c)}^{(c)}} $$
$\text{Hom}$函手も連続函手であり，エンドとコエンドと交換するが，第一成分が反変成分となっていることに注意する．
$$ \begin{align} E^{\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}A_{(c)}^{(c)}} &= \text{Hom}\left(\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}A_{(c)}^{(c)},E\right) \\ &= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}\text{Hom}\left(A_{(c)}^{(c)},E\right) \\ &= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}} E^{A_{(c)}^{(c)}} \end{align} $$