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東北大学 2023年 入学試験 前期理系数学 問題3

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本稿は,筆者がタイトルに示す問題を解いたときに頭の中で考えていたことと,実際の解答を記述したものです。

sを実数とし,数列{an}
a1=s(n+2)an+1=nan+2 (n=1,2,3,)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1) annsを用いて表せ。
(2) ある正の整数mに対してn=1man=0が成り立つとする。smを用いて表せ。

方針検討

漸化式を見ると,次の項は前の項(とnの値)のみによって決まっているから,漸化式をこねくり回したら何とかならないかな……と考えて,とりあえず式変形をしてみる。n=1,2,3,に対して
an+1=nan+2n+2=nn+2an+2n+2
おや……? nn+22n+2……?
……せや!
2n+2=(n+2)nn+2=1nn+2
だから
an+1=nn+2an+1nn+2=nn+2(an1)+1
すなわち
an+11=nn+2(an1)
となる。じゃあbn=an1とおいて進めてみよう!

(1)の解答

bn=an1とおくと,n=1,2,3,に対して
bn+1=an+11=nan+2n+21=nan+2n2n+2=nn+2(an1)=nn+2bn
となる。よって,
b1=a11=s1b2=13b1b3=24b2=2413b1b4=35b3=352413b1bn=n1n+1n2nn3n1352413b1=2n(n+1)b1=2(s1)n(n+1)
であるから,bnの定義より
an=bn+1=2(s1)n(n+1)+1
を得る。

(2)の解答

(1)の結果から
n=1man=m+2(s1)n=1m1n(n+1)=m+2(s1)n=1m(1n1n+1)=m+2(s1){(112)+(1213)++(1m1m+1)}=m+2(s1)(11m+1)=m+2(s1)mm+1
となる。いま,n=1man=0であるから
m+2(s1)mm+1=0
が成り立つ。mは正の整数であるから,両辺をmで割って
1+2(s1)m+1=02(s1)m+1=12(s1)=(m+1)s1=m+12s=1m+12
を得る。

投稿日:202481
更新日:202481
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