東北大学 2023年 入学試験 前期理系数学 問題3

本稿は，筆者がタイトルに示す問題を解いたときに頭の中で考えていたことと，実際の解答を記述したものです。

方針検討

漸化式を見ると，次の項は前の項（と$n$の値）のみによって決まっているから，漸化式をこねくり回したら何とかならないかな……と考えて，とりあえず式変形をしてみる。$n=1,2,3,\cdots$に対して
$$ \begin{align} a_{n+1} &=\frac{na_n+2}{n+2} \\ &=\frac{n}{n+2}a_n+\frac{2}{n+2} \end{align} $$
おや……？　$\dfrac{n}{n+2}$と$\dfrac{2}{n+2}$……？
……せや！
$$ \frac{2}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n+2}=1-\frac{n}{n+2} $$
だから
$$ \begin{align} a_{n+1} &=\frac{n}{n+2}a_n+1-\frac{n}{n+2} \\ &=\frac{n}{n+2}(a_n-1)+1 \end{align} $$
すなわち
$$ a_{n+1}-1=\frac{n}{n+2}(a_n-1) $$
となる。じゃあ$b_n=a_n-1$とおいて進めてみよう！

(1)の解答

$b_n=a_n-1$とおくと，$n=1,2,3,\cdots$に対して
$$ \begin{align} b_{n+1} &=a_{n+1}-1 \\ &=\frac{na_n+2}{n+2}-1 \\ &=\frac{na_n+2-n-2}{n+2} \\ &=\frac{n}{n+2}(a_n-1) \\ &=\frac{n}{n+2}b_n \end{align} $$
となる。よって，
$$ \begin{align} b_1&=a_1-1=s-1，\\ b_2&=\frac{1}{3}b_1，\\ b_3&=\frac{2}{4}b_2=\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}b_1，\\ b_4&=\frac{3}{5}b_3=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}b_1，\\ &\cdots，\\ b_n&=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\cdots\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}b_1 \\ &=\frac{2}{n(n+1)}b_1 \\ &=\frac{2(s-1)}{n(n+1)} \end{align} $$
であるから，$b_n$の定義より
$$ a_n=b_n+1=\frac{2(s-1)}{n(n+1)}+1 $$
を得る。

(2)の解答

(1)の結果から
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^ma_n &=m+2(s-1)\sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)} \\ &=m+2(s-1)\sum_{n=1}^m\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=m+2(s-1)\left\{\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)\right\} \\ &=m+2(s-1)\left(1-\frac{1}{m+1}\right) \\ &=m+2(s-1)\frac{m}{m+1} \end{align} $$
となる。いま，$\displaystyle\sum_{n=1}^ma_n=0$であるから
$$ m+2(s-1)\frac{m}{m+1}=0 $$
が成り立つ。$m$は正の整数であるから，両辺を$m$で割って
$$ \begin{align} 1+\frac{2(s-1)}{m+1}&=0 \\ \frac{2(s-1)}{m+1}&=-1 \\ 2(s-1)&=-(m+1) \\ s-1&=-\frac{m+1}{2} \\ s&=1-\frac{m+1}{2} \end{align} $$
を得る。