本稿は,筆者がタイトルに示す問題を解いたときに頭の中で考えていたことと,実際の解答を記述したものです。
sを実数とし,数列{an}を, a1=s,(n+2)an+1=nan+2 (n=1,2,3,⋯)で定める。以下の問いに答えよ。(1) anをnとsを用いて表せ。(2) ある正の整数mに対して∑n=1man=0が成り立つとする。sをmを用いて表せ。
漸化式を見ると,次の項は前の項(とnの値)のみによって決まっているから,漸化式をこねくり回したら何とかならないかな……と考えて,とりあえず式変形をしてみる。n=1,2,3,⋯に対してan+1=nan+2n+2=nn+2an+2n+2おや……? nn+2と2n+2……?……せや!2n+2=(n+2)−nn+2=1−nn+2だからan+1=nn+2an+1−nn+2=nn+2(an−1)+1すなわちan+1−1=nn+2(an−1)となる。じゃあbn=an−1とおいて進めてみよう!
bn=an−1とおくと,n=1,2,3,⋯に対してbn+1=an+1−1=nan+2n+2−1=nan+2−n−2n+2=nn+2(an−1)=nn+2bnとなる。よって,,,,,,b1=a1−1=s−1,b2=13b1,b3=24b2=24⋅13b1,b4=35b3=35⋅24⋅13b1,⋯,bn=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋅⋯⋅35⋅24⋅13b1=2n(n+1)b1=2(s−1)n(n+1)であるから,bnの定義よりan=bn+1=2(s−1)n(n+1)+1を得る。
(1)の結果から∑n=1man=m+2(s−1)∑n=1m1n(n+1)=m+2(s−1)∑n=1m(1n−1n+1)=m+2(s−1){(1−12)+(12−13)+⋯+(1m−1m+1)}=m+2(s−1)(1−1m+1)=m+2(s−1)mm+1となる。いま,∑n=1man=0であるからm+2(s−1)mm+1=0が成り立つ。mは正の整数であるから,両辺をmで割って1+2(s−1)m+1=02(s−1)m+1=−12(s−1)=−(m+1)s−1=−m+12s=1−m+12を得る。
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