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【教えてください！】岩波基礎数学　集合と位相Ⅰ

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タイトルのように岩波の集合位相を読み進めているのですが，Zornの補題の証明で躓いています

Zornの補題

$(a, <)$ を帰納的順序集合， $α \in a$ とすれば， $a$ の極大元 $β$ で $α < β$ となるものが存在する．

（途中まで）

$C = {C \in P (a) | α \in C \land C は a の鎖}$ とし， $C$ の上界 $u.b. (C)$ に対して $u.b. (C) - C = ϕ$ となるような $C$ が存在すれば定理は成り立つ．よって $u.b. (C) - C \neq ϕ$ として矛盾を導けばよい．いま
$\begin{array}{r} D = {D \in P (a) | \exists C (C \in C \land D = u.b. (C) - C)} \end{array}$
とし， $f$ を $D$ の選出写像とする． $C \in C$ について， $C \cup f (u.b. (C) - C)$ は明らかにまた $C$ の元となるから $\dots$

のように証明がなされているのですが，最後に記した一行で躓いています． $u.b. (C)$ が鎖となれば，つまり $u.b. (C)$ の任意の元 $c, d$ について $c < d \lor d < c$ となればよいと思うのですが，べき集合 $P (a)$ について $(P (a), <)$ が全順序であるというような仮定がないため，どのようにして $u.b. (C)$ の元の間で順序関係を考えているのかがわかりません．