【教えてください！】岩波基礎数学 集合と位相Ⅰ
タイトルのように岩波の集合位相を読み進めているのですが，Zornの補題の証明で躓いています
$(a,\lt)$を帰納的順序集合，$\alpha\in a$とすれば，$a$の極大元$\beta$で$\alpha<\beta$となるものが存在する．
$\mathcal{C}=\lbrace C\in\mathcal{P}(a)|\alpha\in C \land Cはaの鎖\rbrace $とし，$C$の上界$\text{u.b.}(C)$に対して$\text{u.b.}(C)-C=\phi$となるような$C$が存在すれば定理は成り立つ．よって$\text{u.b.}(C)-C \neq \phi$として矛盾を導けばよい．いま
\begin{align}
\mathcal{D}=\lbrace D\in\mathcal{P}(a)| \exists C(C\in\mathcal{C}\land D=\text{u.b.}(C)-C)\rbrace
\end{align}
とし，$f$を$\mathcal{D}$の選出写像とする．$C\in\mathcal{C}$について，$C\cup f(\text{u.b.}(C)-C)$は明らかにまた$\mathcal{C}$の元となるから$\cdots$
のように証明がなされているのですが，最後に記した一行で躓いています．$\text{u.b.}(C)$が鎖となれば，つまり$\text{u.b.}(C)$の任意の元$c,d$について$c< d\lor d< c$となればよいと思うのですが，べき集合$\mathcal{P}(a)$について$(\mathcal{P}(a),<)$が全順序であるというような仮定がないため，どのようにして$\text{u.b.}(C)$の元の間で順序関係を考えているのかがわかりません．
どなたか教えてください！！！
厳密性に関するのであればどのような厳しい言い方であってもけっこうです（むしろ厳密なら歓迎）（アホやバカなどの言い方は嫌です）
