多項式のどの係数も0でないように変数を平行移動することができる
実係数（あるいはより一般に標数0の無限体係数）多項式$f(X)$が与えられたとき，定数$a$であって$f(X - a)$を展開した時の定数項含むすべての係数が$0$でないようなものをとることができる．
あまり難しくなく，また計算ほぼゼロでできるのでちょっと自分で考えてみてもいいかもしれません．
↓
↓ 証明
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
$f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dotsb + a_0\ \ (\text{各$a_i$は実数で$a_n \neq 0$})$とする．そして
\begin{equation}
f_0(x) = f(x), \quad f_i(x) = f'_{i - 1}(x) \quad (0 < i \leqq n)
\end{equation}
とすると$i = 0, 1, \dotsc, n$に対し$f_i(x) \neq 0$であり，そして
\begin{equation}
f_i(0) = i! \cdot a_i
\end{equation}
となる．ここで，実定数$a$をに対し
\begin{equation}
g_i(x) = f_i(x - a)
\end{equation}
とおく．すると$g'_i(x) = f'_i(x - a)$であり，したがって$g_i(0) = 0 \iff f_i(0 - a) = 0 \iff \text{$f_i(x - a)$の定数項が$0$} \iff \text{$f(x - a)$の$x^i$の係数が$0$.}$
それゆえ各$i$に対し$f_i(-a) \neq 0$となるような$a$が存在すればよいが，各$f_i(x)$は$0$でない多項式だから$f_i(-a) = 0$となる$a$は高々有限個．ゆえにそのような$a$が（無限に）存在する．
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
