すべての桁が同じ三角数

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48*10^k-39が平方数になるkを特定する問題に2016年回答した。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14159354364

そこに書いたように、これはすべての桁が6となる三角数が66と666以外に存在するかと同値で、この話題は2016/5の数学セミナーのエレガントな回答をもとむコーナーで取り上げられていた。

出題者が該当ページを公開していた。
https://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/elegant.html
読むと、BallewとWegerによる文献に沿った初等的な方針が紹介されていた。そんな手があったかと読んでいたが、少し数値を変えて自分で試すとうまくいかないことに気がついた。
模範解答の議論では、zの桁に0が現れる可能性を見逃しているほか、たとえば以下の系列を見逃している。

d=1
7-1-9-2-7-...
d=5
1-7-7-5-7-6-9-...
d=6
3-2-8-6-3-9-6-7-1-9-8-...

ヘンゼルの補題から無限に続く系列が4つあり、さらにd=5,6では挙動は周期的にはならないことが（循環小数が有理数になるとの同様の理屈で）示せる。だから、この方針ではうまくいかないことを確信した。この欠陥は、引用されたBallewとWegerによる文献にそのままあった。

オンライン整数列大辞典の関連ページを見てみると
https://oeis.org/A045914
linksに新しい文献が追加されていた
Christian Hercher and Karl Fegert, Triangular Numbers With a Single Repeated Digit, Journal of Integer Sequences, Vol. 28 (2025), Article 25.2.1.
https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL28/Hercher/hercher33.html

BallewとWegerによる議論は間違っていることを指摘し、別の初等的な証明を提示していた。（提示されていた別の初等的な証明は、冒頭の私の回答と同じような方針だった。）

感想
じゃあもう私が何か発表する必要はないや
でももっと早く気づいて形式を整えればJournal of Integer Sequencesに載るぐらいのことはできたんだ
まあしなかっただろうけど（恥ずかしながら、TeXでまともなドキュメントを書いたことがまだない程度のめんどくさがりやなので）

余談1
d=1で見逃された系列の下5桁72917は5^5で割ったあまりが66667で2^5で割ったあまりが33333な5桁である。
この系列の10進展開もたぶん（大域的な有理数ではないような理屈で）周期的でないと思う

余談2
d=1の場合は
$8 \cdot 10^{n} + 1 = 9 z^{2}$ から $(3 z + 1) (3 z - 1) = 8 \cdot 10^{n}$
と変形して考察しても解決できる。
（ $3 z + 1$ と $3 z - 1$ の公約数は2以下だから片方が $2^{n + 2}$ でもう片方が $2 \cdot 5^{n}$ の場合に限られ、 $2 \cdot 5^{n}$ のほうが圧倒的に速く増大する。