すべての桁が同じ三角数

48*10^k-39が平方数になるkを特定する問題に2016年回答した。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14159354364

そこに書いたように、これはすべての桁が6となる三角数が66と666以外に存在するかと同値で、この話題は2016/5の数学セミナーのエレガントな回答をもとむコーナーで取り上げられていた。

出題者が該当ページを公開していた。
https://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/elegant.html
読むと、BallewとWegerによる文献に沿った初等的な方針が紹介されていた。そんな手があったかと読んでいたが、少し数値を変えて自分で試すとうまくいかないことに気がついた。
模範解答の議論では、zの桁に0が現れる可能性を見逃しているほか、たとえば以下の系列を見逃している。

d=1
7-1-9-2-7-...
d=5
1-7-7-5-7-6-9-...
d=6
3-2-8-6-3-9-6-7-1-9-8-...

ヘンゼルの補題から無限に続く系列が4つあり、さらにd=5,6では挙動は周期的にはならないことが（循環小数が有理数になるとの同様の理屈で）示せる。だから、この方針ではうまくいかないことを確信した。この欠陥は、引用されたBallewとWegerによる文献にそのままあった。

オンライン整数列大辞典の関連ページ を見てみると 最近の文献 があり
Christian Hercher and Karl Fegert, Triangular Numbers With a Single Repeated Digit, Journal of Integer Sequences, Vol. 28 (2025), Article 25.2.1.

過去のBallewとWegerによる議論は間違っていることを指摘し、別の初等的な証明を提示していた。（提示されていた別の初等的な証明は、冒頭の私の回答と同じような方針だった。）