量子群におけるq-二項定理

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$0 \neq q \in C$ に対して， $q -$ 整数 $[n]_{q}$ は通常
$[n]_{q} := \frac{q^{n} - 1}{q - 1} (= 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 2} + q^{n - 1})$
のように定義される．

しかし，ここでは次の定義を採用する．
$q \in C, | q | > 0$ に対して， $q -$ 整数 $[n]_{q}$ を
$[n]_{q} := \frac{q^{n} - q^{- n}}{q - q^{- 1}} (= q^{1 - n} + q^{3 - n} + \dots + q^{n - 3} + q^{n - 1})$
のように定義する．

これらを区別するため，通常の $q -$ 整数を $(n)_{q}$ と書き分ける．

$(n)_{q}$ と $[n]_{q}$ の間には次のような関係が成り立つ．
$[n]_{q} = \frac{q^{n} - q^{- n}}{q - q^{- 1}} = \frac{q (q^{2 n} - 1)}{q^{n} (q^{2} - 1)} = q^{1 - n} (n)_{q^{2}}$

$q -$ 整数 $(n)_{q}$ や， $[n]_{q}$ に対して $q \to 1$ と置き換えることでこれらは整数 $n$ と一致する．

$\begin{aligned} lim_{q \to 1} [n]_{q} & = lim_{q \to 1} \frac{q^{n} - q^{- n}}{q - q^{- 1}} = lim_{q \to 1} (q^{1 - n} + q^{3 - n} + \dots + q^{n - 3} + q^{n - 1}) \\ = 1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 = n \\ lim_{q \to 1} (n)_{q} & = lim_{q \to 1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = lim_{q \to 1} (n)_{q} (1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 2} + q^{n - 1}) \\ = 1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 = n \end{aligned}$

$q -$ 整数 $[n]_{q}$ に対して $q -$ 階乗 $[n]_{q}!$ を次のように定義する．
$\begin{aligned} [n]_{q}! & = [n]_{q} [n - 1]_{q}! \\ [0]_{q}! & = 1 \end{aligned}$
また同様に $(n)_{q}$ に対しても階乗を
$\begin{aligned} (n)_{q}! & = (n)_{q} (n - 1)_{q}! \\ (0)_{q}! & = 1 \end{aligned}$
と定義する．

また $[n]_{q}!$ と $(n)_{q}!$ には次の関係がある．
$\begin{aligned} [n]_{q}! & = [n]_{q} [n - 1]_{q} \\ = q^{1 - n} (n)_{q^{2}} [n - 1]_{q} \\ = q^{1 - n} q^{1 - (n - 1)} (n)_{q^{2}} (n - 1)_{q^{2}} [n - 2]_{q} \\ \dots \\ = q^{1 - n} q^{2 - n} \dots q^{- 1} q^{0} (n)_{q^{2}} (n - 1)_{q^{2}} \dots (2)_{q^{2}} (1)_{q^{2}} [0]_{q} \\ = q^{\frac{(1 - n) n}{2}} (n)_{q^{2}}! \end{aligned}$

$q -$ 二項関係を次のように定義する．
$\begin{aligned} {(\begin{array}{c} n \\ k \end{array})}_{q} & = \frac{(n)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q} & = \frac{[n]_{q}!}{[k]_{q}! [n - k]_{q}!} \end{aligned}$

これらの間には次の対応がある．
$(n)_{q}! = q^{\frac{(n - 1) n}{4}} [n]_{q^{\frac{1}{2}}}!$ であるので，
$\begin{aligned} {(\begin{array}{c} n \\ k \end{array})}_{q} & = \frac{(n)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = \frac{q^{\frac{(n - 1) n}{4}} [n]_{q^{\frac{1}{2}}}!}{q^{\frac{(k - 1) k}{4}} [k]_{q^{\frac{1}{2}}}! q^{\frac{(n - k - 1) (n - k)}{4}} [n - k]_{q^{\frac{1}{2}}}!} \\ = q^{\frac{(n - 1) n - (k - 1) k - (n - k - 1) (n - k)}{4}} \frac{[n]_{q^{\frac{1}{2}}}!}{[k]_{q^{\frac{1}{2}}}! [n - k]_{q^{\frac{1}{2}}}!} \\ = q^{\frac{(n - k) k}{2}} {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} \end{aligned}$

$q -$ 二項関係について次が成り立つ．
${(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})}_{q} = q^{k} {(\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix})}_{q} + {(\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix})}_{q}$

$\begin{aligned} q^{k} {(\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array})}_{q} + {(\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array})}_{q} & = q^{k} \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - 1 - k)_{q}!} + \frac{(n - 1)_{q}!}{(k - 1)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = q^{k} \frac{(n - k)_{q} (n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} + \frac{(k)_{q} (n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = (q^{k} (n - k)_{q} + (k)_{q}) \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = (q^{k} \frac{q^{n - k} - 1}{q - 1} + \frac{q^{k} - 1}{q - 1}) \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = (\frac{q^{n} - q^{k} + q^{k} - 1}{q - 1}) \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = (\frac{q^{n} - 1}{q - 1}) \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = (n)_{q} \frac{(n - 1)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = \frac{(n)_{q}!}{(k)_{q}! (n - k)_{q}!} \\ = {(\begin{array}{c} n \\ k \end{array})}_{q} \end{aligned}$

また，このことにより次が成り立つ．

${[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} = q^{k} {[\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}]}_{q} + q^{k - n} {[\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}]}_{q}$

$\begin{aligned} q^{\frac{(n - k) k}{2}} {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} & = q^{k} q^{\frac{(n - 1 - k) k}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} + q^{\frac{(n - k) (k - 1)}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} \\ {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} & = q^{\frac{(n + 1 - k) k - (n - k) k}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} + q^{\frac{(n - k) (k - 1) - (n - k) k}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} \\ = q^{\frac{k}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} + q^{\frac{k - n}{2}} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q^{\frac{1}{2}}} \\ {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q} & = q^{k} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} + q^{k - n} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q} \end{aligned}$

形式的に $x y = q^{- 2} y x$ が成り立つ文字 $x, y$ を考える．

この時次が成り立つ．

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} q^{k (n - k)} x^{n - k} y^{k}$

$n = 0$ のとき，
$(x + y)^{0} = \sum_{k = 0}^{0} {[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} q^{k (n - k)} x^{n - k} y^{k} = {[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]}_{q} q^{0} x^{0} y^{0} = 1$
が成り立つ．
$(x + y)^{n - 1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k}$
が成り立つことを仮定し， $(x + y)^{n}$ を考える．
$\begin{aligned} (x + y)^{n} & = (\sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k}) (x + y) \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k} x + \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} q^{2 k} x^{n - k} y^{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n + 1 - k)} x^{n - k} y^{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - 1 - k)} x^{n - 1 - k} y^{k + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n + 1 - k)} x^{n - k} y^{k} + \sum_{k = 1}^{n} {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q} q^{(k - 1) (n - k)} x^{n - k} y^{k} \\ = {[\begin{array}{c} n - 1 \\ 0 \end{array}]}_{q} x^{n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} ({[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k n + k - k^{2}} + {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q} q^{k n + k - k^{2} - n}) x^{n - k} y^{k} + {[\begin{array}{c} n - 1 \\ n - 1 \end{array}]}_{q} y^{n} \\ = {[\begin{array}{c} n - 1 \\ 0 \end{array}]}_{q} x^{n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} ({[\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}]}_{q} q^{k} + {[\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}]}_{q} q^{k - n}) q^{k n - k^{2}} x^{n - k} y^{k} + {[\begin{array}{c} n - 1 \\ n - 1 \end{array}]}_{q} y^{n} \\ = {[\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}]}_{q} x^{n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - k)} x^{n - k} y^{k} + {[\begin{array}{c} n \\ n \end{array}]}_{q} y^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} {[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}]}_{q} q^{k (n - k)} x^{n - k} y^{k} \end{aligned}$

投稿日：2024年6月14日

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