量子群におけるq-二項定理
$0\neq q\in\CC$に対して，$q-$整数$[n]_q$は通常
$$
[n]_q:=\frac{q^n-1}{q-1}(=1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1})
$$
のように定義される．
しかし，ここでは次の定義を採用する．
$q\in\CC,|q|>0$に対して，$q-$整数$[n]_q$を
$$
[n]_q:=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}(=q^{1-n}+q^{3-n}+\dots+q^{n-3}+q^{n-1})
$$
のように定義する．
これらを区別するため，通常の$q-$整数を$(n)_q$と書き分ける．
$(n)_q$と$[n]_q$の間には次のような関係が成り立つ．
$$
[n]_q=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}=\frac{q(q^{2n}-1)}{q^n(q^2-1)}=q^{1-n}(n)_{q^2}
$$
$q-$整数$(n)_q$や，$[n]_q$に対して$q\to1$と置き換えることでこれらは整数$n$と一致する．
\begin{align*} \lim_{q\to1}[n]_q&=\lim_{q\to1}\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}=\lim_{q\to1}(q^{1-n}+q^{3-n}+\dots+q^{n-3}+q^{n-1}) \\ &=1+1+1+\dots+1+1=n\\ \lim_{q\to1}(n)_q&=\lim_{q\to1}\frac{q^n-1}{q-1}=\lim_{q\to1}(n)_q(1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1})\\ &=1+1+1+\dots+1+1=n \end{align*}
$q-$整数$[n]_q$に対して$q-$階乗$[n]_q!$を次のように定義する．
\begin{align*}
[n]_q!&= [n]_q[n-1]_q!\\
[0]_q!&= 1
\end{align*}
また同様に$(n)_q$に対しても階乗を
\begin{align*}
(n)_q!&= (n)_q(n-1)_q!\\
(0)_q!&= 1
\end{align*}
と定義する．
また$[n]_q!$と$(n)_q!$には次の関係がある．
\begin{align*}
[n]_q!&=[n]_q[n-1]_q \\
&=q^{1-n}(n)_{q^2}[n-1]_q \\
&=q^{1-n}q^{1-(n-1)}(n)_{q^2}(n-1)_{q^2}[n-2]_q \\
&\dots \\
&=q^{1-n}q^{2-n}\dots q^{-1}q^0(n)_{q^2}(n-1)_{q^2}\dots(2)_{q^2}(1)_{q^2}[0]_q \\
&=q^{\frac{(1-n)n}{2}}(n)_{q^2}! \label{eq:0.1}
\end{align*}
$q-$二項関係を次のように定義する．
\begin{align*}
\qbinom{n}{k}{q}&=\frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!} \\
\qBinom{n}{k}{q}&=\frac{[n]_q!}{[k]_q![n-k]_q!}
\end{align*}
これらの間には次の対応がある．
$(n)_{q}! =q^{\frac{(n-1)n}{4}}[n]_{q^\frac{1}{2}}!$であるので，
\begin{align*}
\qbinom{n}{k}{q}&=\frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!} \\
&=\frac{q^{\frac{(n-1)n}{4}}[n]_{q^\frac{1}{2}}!}{q^{\frac{(k-1)k}{4}}[k]_{q^\frac{1}{2}}!q^{\frac{(n-k-1)(n-k)}{4}}[n-k]_{q^\frac{1}{2}}!} \\
&=q^\frac{(n-1)n-(k-1)k-(n-k-1)(n-k)}{4}\frac{[n]_{q^\frac{1}{2}}!}{[k]_{q^\frac{1}{2}}![n-k]_{q^\frac{1}{2}}!} \\
&=q^\frac{(n-k)k}{2}\qBinom{n}{k}{q^\frac{1}{2}} \label{eq:0.2}
\end{align*}
$q-$二項関係について次が成り立つ．
$$
\qbinom{n}{k}{q}=q^k\qbinom{n-1}{k}{q}+\qbinom{n-1}{k-1}{q}
$$
\begin{align*} q^k\qbinom{n-1}{k}{q}+\qbinom{n-1}{k-1}{q}&=q^k\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-1-k)_q!}+\frac{(n-1)_q!}{(k-1)_q!(n-k)_q!}\\ &=q^k\frac{(n-k)_q(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}+\frac{(k)_q(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=(q^k(n-k)_q+(k)_q)\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=\left(q^k\frac{q^{n-k}-1}{q-1}+\frac{q^k-1}{q-1}\right)\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=\left(\frac{q^n-q^k+q^k-1}{q-1}\right)\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=\left(\frac{q^n-1}{q-1}\right)\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=(n)_q\frac{(n-1)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=\frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}\\ &=\qbinom{n}{k}{q} \end{align*}
また，このことにより次が成り立つ．
$$ \qBinom{n}{k}{q}=q^k\qBinom{n-1}{k}{q}+q^{k-n}\qBinom{n-1}{k-1}{q} $$
\begin{align*} q^\frac{(n-k)k}{2}\qBinom{n}{k}{q^\frac{1}{2}}&=q^kq^\frac{(n-1-k)k}{2}\qBinom{n-1}{k}{q^\frac{1}{2}}+q^\frac{(n-k)(k-1)}{2}\qBinom{n-1}{k-1}{q^\frac{1}{2}}\\ \qBinom{n}{k}{q^\frac{1}{2}}&=q^\frac{(n+1-k)k-(n-k)k}{2}\qBinom{n-1}{k}{q^\frac{1}{2}}+q^\frac{(n-k)(k-1)-(n-k)k}{2}\qBinom{n-1}{k-1}{q^\frac{1}{2}}\\ &=q^\frac{k}{2}\qBinom{n-1}{k}{q^\frac{1}{2}}+q^\frac{k-n}{2}\qBinom{n-1}{k-1}{q^\frac{1}{2}}\\ \qBinom{n}{k}{q}&=q^k\qBinom{n-1}{k}{q}+q^{k-n}\qBinom{n-1}{k-1}{q}\\ \end{align*}
形式的に$xy=q^{-2}yx$が成り立つ文字$x,y$を考える．
この時次が成り立つ．
$$ (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\qBinom{n}{k}{q}q^{k(n-k)}x^{n-k}y^k $$
$n=0$のとき，
$$
(x+y)^0=\sum_{k=0}^{0}\qBinom{n}{k}{q}q^{k(n-k)}x^{n-k}y^k=\qBinom{0}{0}{q}q^0x^0y^0=1
$$
が成り立つ．
$$
(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^k
$$
が成り立つことを仮定し，$(x+y)^n$を考える．
\begin{align*}
(x+y)^n&=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^k\right)(x+y)\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^kx + \sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}q^{2k}x^{n-k}y^k + \sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n+1-k)}x^{n-k}y^k + \sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n-1-k)}x^{n-1-k}y^{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\qBinom{n-1}{k}{q}q^{k(n+1-k)}x^{n-k}y^k + \sum_{k=1}^{n}\qBinom{n-1}{k-1}{q}q^{(k-1)(n-k)}x^{n-k}y^{k}\\
&=\qBinom{n-1}{0}{q}x^n+\sum_{k=1}^{n-1} \left(\qBinom{n-1}{k}{q}q^{kn+k-k^2}+\qBinom{n-1}{k-1}{q}q^{kn+k-k^2-n}\right)x^{n-k}y^k + \qBinom{n-1}{n-1}{q}y^n\\
&=\qBinom{n-1}{0}{q}x^n+\sum_{k=1}^{n-1} \left(\qBinom{n-1}{k}{q}q^k+\qBinom{n-1}{k-1}{q}q^{k-n}\right)q^{kn-k^2}x^{n-k}y^k + \qBinom{n-1}{n-1}{q}y^n\\
&=\qBinom{n}{0}{q}x^n+\sum_{k=1}^{n-1} \qBinom{n}{k}{q}q^{k(n-k)}x^{n-k}y^k + \qBinom{n}{n}{q}y^n\\
&=\sum_{k=0}^n \qBinom{n}{k}{q}q^{k(n-k)}x^{n-k}y^k
\end{align*}
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
