射影代数曲線のgenus-degree formulaの3通りの証明
以下の定理を3通りの方法で示します. なお, $C$が特異点を持つときは成り立たないのでご注意下さい.
$C$を射影平面$\mathbb{P}^{2}$内の非特異代数曲線で, 既約$d$次斉次多項式$F(X, Y, Z)$の零点として定義されるものとする. このとき, $g$を$C$の種数とすると,
$$ g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} $$
が成り立つ.
層係数コホモロジーを用いた証明
コホモロジーの長完全系列を用いて, 射影平面$\mathbb{P}^2$のコホモロジー群の次元の計算に帰着させます.
射影空間$\mathbb{P}^n$の可逆層はすべて, $\mathcal{O}(n)$の形のものに同型で, 次数$d$の因子に対応する可逆層は$\mathcal{O}(d)$に対応します. $\mathbb{P}^n$の可逆層のコホモロジー群は計算できます. まず, $\mathcal{O}(d)$の大域切断は, 次数$d$の単項式で張られるベクトル空間になります. 特に,
$$\displaystyle \mathrm{dim} \ H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \dbinom{d+n-1}{n} $$
です. 次に, $i \neq 0, n$であれば, $H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = 0$です. 最後に, $i = n$のときは,
$$ H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) \simeq H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(-n - 1 - d)))^{\lor} $$
です($\lor$は双対空間を表します). これは別に覚えなくても, セール双対性$H^p(X, \mathcal{L}) \simeq H^{n-p}(X, \omega_{X/k} \otimes \mathcal L^{-1})$と, 標準層$\omega_{\mathbb{P}^n}$が$\mathcal{O}(-(n+1))$に同型であることを知っていれば, その場で分かります.
$g = \mathrm{dim} \ H^1(C, \mathcal{O}_C)$であるので, これを求める.
$i: C \rightarrow \mathbb{P}^2$を射影平面への埋め込みとすると, $\mathbb{P}^2$上の層の完全系列
$$ 0 \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-C) \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \rightarrow i_* \mathcal{O}_C \rightarrow 0 $$
より, 長完全系列
\begin{eqnarray} 0 &\rightarrow H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-C)) &\rightarrow H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) &\rightarrow & H^0(C, \mathcal{O}_C) \\ &\rightarrow H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-C)) &\rightarrow H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) &\rightarrow & H^1(C, \mathcal{O}_C) \\ &\rightarrow H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-C)) &\rightarrow H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) &\rightarrow & 0 \end{eqnarray}
を得る.
$C$は$\mathbb{P}^2$の$d$次の超曲面なので, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-C) \simeq \mathcal{O}(-d)$. また, $\mathrm{dim} \ H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) = \mathrm{dim} \ H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) = 0$なので, $H^1(C, \mathcal{O}_C) \simeq H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-d))$.
$H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-d))
\simeq H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d-3))$なので, $\displaystyle g = \dbinom{d-1}{2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$. $\square$
adjunction formulaを用いた証明
adjunction formula $K_C = (K_{\mathbb{P}^2} + C)|_C$と, $C$の標準因子の次数が$2g - 2$に等しいことから証明します. ここでも, $K_{\mathbb{P}^n} \simeq -(n + 1)H$ ($H$は$\mathbb{P}^n$の超平面)を用います.
$K_C$を$C$の標準因子とすると, $\mathrm{deg} \ K_C = 2g - 2$. adjunction formulaより,
$$ K_C = (K_{\mathbb{P}^2} + C) |_{C}. $$
右辺の次数は, $\mathbb{P}^2$の次数$-3 + d$の超曲面と$C$との交点数に等しいので, ベズーの定理より, $d(-3 + d)$. よって,
\begin{eqnarray} 2g - 2 &=& (-3 + d)d \\ \therefore \ g &=& \frac{(d-1)(d-2)}{2}. \square \end{eqnarray}
フルヴィッツの公式を用いた証明
陰関数定理を使うので, $\mathbb{C}$上で考えます. (陰関数定理は代数的にも成り立つのでしょうか？ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください)
$C$と曲線$L: \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = 0$の交点数を2種類の方法で数えることで証明します. 一方は定義多項式の次数からベズーの定理を用いて計算し, もう一方は$C$から$x$軸への射影$\pi_x: C \rightarrow \mathbb{P}^1$の分岐指数を数え上げ, 両者をフルヴィッツの公式
$$ \chi (C) = \mathrm{deg}(\pi_x) \ \chi (\mathbb{P}^1) - \sum_{p: \pi_x\mathrm{の分岐点}} (e_p - 1) $$
で結びつけます. なお, この節の証明はGを参考にしました.
$L$を$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = 0$で定まる直線とする. $C$と$L$の交点数$\sum_{p \in C}(C. L)_p$を2通りの方法で求める.
まず, $\displaystyle \mathrm{deg} \ \frac{\partial F}{\partial y} = d - 1$であるから, ベズーの定理より$\sum_{p \in C}(C. L)_p = d(d - 1)$である.
適当に座標変換することにより, $[0:1:0] \notin C$としてよい. 写像$\pi_x: C \rightarrow \mathbb{P}^1$を, $p \in C$に対して, $[0: 1: 0] \in \mathbb{P}^2$から$p \in C$へ引いた直線と$x$軸との交点の$x$座標で定める.
$C$は非特異なので, $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} (p) = 0$となる$p \in C$では, $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} (p) \neq 0$である. したがって, 陰関数定理より$p \in C \cap L$の近傍で$F(x(y), y, 1) = 0$となる関数$x = x(y)$が存在する.
$p$における交点の重複度$(C.L)_p$は, $\displaystyle \frac{\partial F(x(y), y, 1)}{\partial y}$の$p$における零点の位数である. ふたたび陰関数定理より,
$$ \frac{\partial F(x(y), y, 1)}{\partial y} = -\frac{\partial F(x(y), y, 1)}{\partial x} \ \frac{dx}{dy}. $$
$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} (p) \neq 0$なので, $(C.L)_p = \mathrm{ord} (x(y)) - 1$である ($\mathrm{ord}(f)$は$f$の零点の位数). $\pi_x$は$x$軸への射影であるから, $\mathrm{ord} (x(y))$は$\pi_x$の点$p$における分岐指数でもある. また, $F$と$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}$が共通根を持たないところでは, $\pi_x$は異なる$d$点を$1$点に写す. よって, フルヴィッツの公式より,
\begin{eqnarray} \chi (C) &=& d \ \chi (\mathbb{P}^1) - \sum_{p: \pi_x\mathrm{の分岐点}} (\mathrm{ord} (x(y)) - 1) \\ &=& d \ \chi (\mathbb{P}^1) - \sum _{p \in C} (C. L)_p \\ &=& d \ \chi (\mathbb{P}^1) - d(d - 1). \end{eqnarray}
よって,
\begin{eqnarray} 2 - 2g &=& 2d - d(d - 1) \\ \therefore \ g &=& \frac{(d - 1)(d - 2)}{2}. \square \end{eqnarray}
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