2-圏の間の射としての豊穣圏

$\mathbf{V}$, $\mathbf{W}$をbicategoryとする。
$\mathbf{V}$から$\mathbf{W}$への豊穣圏(category enriched from $\mathbf{V}$ to $\mathbf{W}$)とは、以下のデータからなる:
(1) 対象: スパン
$$\mathrm{Ob}\mathbf{V}\stackrel{(-{)}_{-}}{\leftarrow }\mathrm{Ob}\mathcal{A}\stackrel{(-{)}_{+}}{\to }\mathrm{Ob}\mathbf{W}$$
(2) Hom: 各$A,B\in \mathcal{A}$に対して函手
$$\mathcal{A}(A,B):\mathbf{V}(A_{-},B_{-})\to \mathbf{W}(A_{+},B_{+})$$
(3) 恒等子: 各$A\in \mathcal{A}$に対して$\mathbf{W}$の2-射
$${\mathsf{id}}_A:{\mathsf{id}}_{A_{+}}\to \mathcal{A}(A,A)({\mathsf{id}}_{A_{-}}):A_{+}\to A_{+}$$
(4) 合成子: 各$A,B,C\in \mathcal{A}$に対して自然変換
$$({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,C}^B:({\otimes }_{\mathbf{W}}{)}_{A_{+},C_{+}}^{B_{+}}\circ (\mathcal{A}(B,C)\times \mathcal{A}(A,B))\Rightarrow \mathcal{A}(A,C)\circ ({\otimes }_{\mathbf{V}}{)}_{A_{-},C_{-}}^{B_{-}}$$
$f\in \mathbf{V}(A_{-},B_{-})$, $g\in \mathbf{V}(B_{-},C_{-})$による$(f,g)$-成分を書き下すと以下のようになる:
$$({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,C}^B(g,f):\mathcal{A}(B,C)(g){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)\to \mathcal{A}(A,C)(g{\otimes }_{\mathbf{V}}f)$$
これらのデータは、以下の公理をそれぞれ満たす:
(R1) 左単位性: $A,B\in \mathcal{A}$と$f\in \mathbf{V}(A_{-},B_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
$$\mathcal{A}(B,B)({\mathsf{id}}_{B_{-}}){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,B}^B({\mathsf{id}}_{B_{-}},f)\mathcal{A}(A,B)({\mathsf{id}}_{B_{-}}{\otimes }_{\mathbf{V}}f)\mathcal{A}(A,B)(\lambda ){\mathsf{id}}_{B_{+}}{\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)\lambda {\mathsf{id}}_B{\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)\mathcal{A}(A,B)(f)$$
(R2) 右単位性: $A,B\in \mathcal{A}$と$f\in \mathbf{V}(A_{-},B_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
$$\mathcal{A}(A,B)(f){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,A)({\mathsf{id}}_{A_{-}})({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,B}^A(f,{\mathsf{id}}_{A_{-}})\mathcal{A}(A,B)(f{\otimes }_{\mathbf{V}}{\mathsf{id}}_{A_{-}})\mathcal{A}(A,B)(\rho )\mathcal{A}(A,B)(f){\otimes }_{\mathbf{W}}{\mathsf{id}}_{A_{+}}\rho \mathcal{A}(A,B){\otimes }_{\mathbf{W}}{\mathsf{id}}_A\mathcal{A}(A,B)(f)$$
(R3) 結合性: $A,B,C,D,E,F\in \mathcal{A}$と$f\in \mathbf{V}(A_{-},B_{-})$, $g\in \mathbf{V}(B_{-},C_{-})$, $h\in \mathbf{V}(C_{-},D_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
$$(\mathcal{A}(C,D)(h){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(B,C)(g)){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{B,D}^C(h,g){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathsf{id}\alpha \mathcal{A}(C,D)(h){\otimes }_{\mathbf{W}}(\mathcal{A}(B,C)(g){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f))\mathsf{id}{\otimes }_{\mathbf{W}}({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,C}^B(g,f)\mathcal{A}(B,D)(h{\otimes }_{\mathbf{V}}g){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,D}^B(h{\otimes }_{\mathbf{V}}g,f)\mathcal{A}(C,D)(h){\otimes }_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,C)(g{\otimes }_{\mathbf{V}}f)({\otimes }_{\mathcal{A}}{)}_{A,D}^C(h,g{\otimes }_{\mathbf{V}}f)\mathcal{A}(A,D)((h{\otimes }_{\mathbf{V}}g){\otimes }_{\mathbf{V}}f)\mathcal{A}(A,D)(\alpha )\mathcal{A}(A,D)(h{\otimes }_{\mathbf{V}}(g{\otimes }_{\mathbf{V}}f))$$