2-圏の間の射としての豊穣圏
この記事について
論文 Categories enriched on two sides にて定義された、2-圏の間の豊穣圏について紹介する。
背景
任意のモノイダル圏$\mathbf{M}$に対して、$\mathbf{M}$上の豊穣圏の概念があり、それに伴って$\mathbf{M}$-函手や$\mathbf{M}$-自然変換といった概念もある。
これらは、直積をテンソル積として持つ集合の圏$\mathsf{Set}$上の豊穣圏が局所小圏と一致するような一般化になっている。
単一対象なbicategory $\mathfrak{B}$を与えることとモノイダル圏$\mathbf{M}$を与えることは、関係式$\mathbf{M}=\mathfrak{B}(\ast,\ast)$より同値となる。このとき、$\mathfrak{B}$は$\mathbf{M}$のサスペンションと呼ばれており、$\Sigma\mathbf{M}$で表される。
$\mathbf{M}{-}\mathsf{CAT}$と同様に、一般のbicategory $\mathfrak{B}$上の豊穣圏の概念によりbicategory $\mathfrak{B}{-}\mathsf{CAT}$が構成される。これは、$\mathfrak{B}=\Sigma\mathbf{M}$のとき$\mathbf{M}{-}\mathsf{CAT}$に一致する。
$\mathcal{C}$がbicategory $\mathfrak{B}$上の豊穣圏のとき、写像$\iota\colon\operatorname{Ob}\mathcal{C}\to\operatorname{Ob}\mathfrak{B}$により、各$a,b\in\mathcal{C}$に対して$\mathcal{C}(a,b)\in\mathfrak{B}(\iota(a),\iota(b))$となっている。
一般元の考え方から、$\mathcal{C}(a,b)$は射$\mathsf{pt}\to\mathfrak{B}(\iota(a),\iota(b))$であるため、$\mathsf{pt}$の部分をより一般化したのが、今回紹介する「2-圏の間の豊穣圏」である。
定義
2-圏$\mathcal{B}$の水平合成を$\otimes_{\mathcal{B}}$と表すこととする。
$\mathbf{V}$, $\mathbf{W}$をbicategoryとする。
$\mathbf{V}$から$\mathbf{W}$への豊穣圏(category enriched from $\mathbf{V}$ to $\mathbf{W}$)とは、以下のデータからなる:
(1) 対象: スパン
$$\operatorname{Ob}\mathbf{V}\xleftarrow{(-)_{-}}\operatorname{Ob}\mathcal{A}\xrightarrow{(-)_{+}}\operatorname{Ob}\mathbf{W}$$
(2) Hom: 各$A,B\in\mathcal{A}$に対して函手
$$\mathcal{A}(A,B)\colon\mathbf{V}(A_{-},B_{-})\to\mathbf{W}(A_{+},B_{+})$$
(3) 恒等子: 各$A\in\mathcal{A}$に対して$\mathbf{W}$の2-射
$$\mathsf{id}_A\colon\mathsf{id}_{A_{+}}\to\mathcal{A}(A,A)(\mathsf{id}_{A_{-}})\colon A_{+}\to A_{+}$$
(4) 合成子: 各$A,B,C\in\mathcal{A}$に対して自然変換
$$(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,C}^B\colon(\otimes_{\mathbf{W}})_{A_{+},C_{+}}^{B_{+}}\circ(\mathcal{A}(B,C)\times\mathcal{A}(A,B))\Rightarrow\mathcal{A}(A,C)\circ(\otimes_{\mathbf{V}})_{A_{-},C_{-}}^{B_{-}}$$
$f\in\mathbf{V}(A_{-},B_{-})$, $g\in\mathbf{V}(B_{-},C_{-})$による$(f,g)$-成分を書き下すと以下のようになる:
$$(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,C}^B(g,f)\colon\mathcal{A}(B,C)(g)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)\to\mathcal{A}(A,C)(g\otimes_{\mathbf{V}}f)$$
これらのデータは、以下の公理をそれぞれ満たす:
(R1) 左単位性: $A,B\in\mathcal{A}$と$f\in\mathbf{V}(A_{-},B_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
\begin{xy}
\xymatrix@C=80pt@R=20pt{
{\mathcal{A}(B,B)(\mathsf{id}_{B_{-}})\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)}
\ar[r]^{(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,B}^B(\mathsf{id}_{B_{-}},f)}&{\mathcal{A}(A,B)(\mathsf{id}_{B_{-}}\otimes_{\mathbf{V}}f)}\ar[d]^{\mathcal{A}(A,B)(\lambda)}\\
{\mathsf{id}_{B_{+}}\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)}\ar[r]_{\lambda}\ar[u]^{\mathsf{id}_B\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)}&{\mathcal{A}(A,B)(f)}
}
\end{xy}
(R2) 右単位性: $A,B\in\mathcal{A}$と$f\in\mathbf{V}(A_{-},B_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
\begin{xy}
\xymatrix@C=80pt@R=20pt{
{\mathcal{A}(A,B)(f)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,A)(\mathsf{id}_{A_{-}})}\ar[r]^{(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,B}^A(f,\mathsf{id}_{A_{-}})}&{\mathcal{A}(A,B)(f\otimes_{\mathbf{V}}\mathsf{id}_{A_{-}})}\ar[d]^{\mathcal{A}(A,B)(\rho)}\\
{\mathcal{A}(A,B)(f)\otimes_{\mathbf{W}}\mathsf{id}_{A_{+}}}\ar[r]_{\rho}\ar[u]^{\mathcal{A}(A,B)\otimes_{\mathbf{W}}\mathsf{id}_A}&{\mathcal{A}(A,B)(f)}
}
\end{xy}
(R3) 結合性: $A,B,C,D,E,F\in\mathcal{A}$と$f\in\mathbf{V}(A_{-},B_{-})$, $g\in\mathbf{V}(B_{-},C_{-})$, $h\in\mathbf{V}(C_{-},D_{-})$に対して以下の図式が可換となる:
\begin{xy}
\xymatrix@C=4em@R=2em{
{(\mathcal{A}(C,D)(h)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(B,C)(g))\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)}\ar[d]_{(\otimes_{\mathcal{A}})_{B,D}^C(h,g)\otimes_{\mathbf{W}}\mathsf{id}}\ar[r]^{\alpha}&
{\mathcal{A}(C,D)(h)\otimes_{\mathbf{W}}(\mathcal{A}(B,C)(g)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f))}\ar[d]^{\mathsf{id}\otimes_{\mathbf{W}}(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,C}^B(g,f)}
\\
{\mathcal{A}(B,D)(h\otimes_{\mathbf{V}}g)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,B)(f)}\ar[d]_{(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,D}^B(h\otimes_{\mathbf{V}}g,f)}&
{\mathcal{A}(C,D)(h)\otimes_{\mathbf{W}}\mathcal{A}(A,C)(g\otimes_{\mathbf{V}}f)}\ar[d]^{(\otimes_{\mathcal{A}})_{A,D}^C(h,g\otimes_{\mathbf{V}}f)}\\
{\mathcal{A}(A,D)((h\otimes_{\mathbf{V}}g)\otimes_{\mathbf{V}}f)}\ar[r]^{\mathcal{A}(A,D)(\alpha)}&
{\mathcal{A}(A,D)(h\otimes_{\mathbf{V}}(g\otimes_{\mathbf{V}}f))}
}
\end{xy}
2-sided enrichmentは、enrichment over bicategoryの一般化になっている。
事実、$\mathsf{pt}$から$\mathbf{V}$への豊穣圏は、bicategory $\mathbf{V}$上の豊穣圏の定義と一致する。
2-sided enrichmentは、bifunctorの一般化になっている。
事実、$\mathbf{V}$から$\mathbf{W}$への豊穣圏$\mathcal{C}$の持つスパン$\operatorname{Ob}\mathbf{V}\leftarrow\operatorname{Ob}\mathcal{C}\to\operatorname{Ob}\mathbf{W}$が特に写像$\operatorname{Ob}\mathbf{V}\to\operatorname{Ob}\mathbf{W}$な場合、$\mathcal{C}$は$\mathbf{V}$から$\mathbf{W}$へのbifunctorとなる。
豊穣圏$\mathcal{C}\colon\mathbf{V}\to\mathbf{W}$と$\mathcal{D}\colon\mathbf{W}\to\mathbf{X}$に対して、スパン$\operatorname{Ob}\mathbf{V}\leftarrow\operatorname{Ob}\mathcal{C}\to\operatorname{Ob}\mathbf{W}$と$\operatorname{Ob}\mathbf{W}\leftarrow\operatorname{Ob}\mathcal{D}\to\operatorname{Ob}\mathbf{X}$の合成と、函手$\mathcal{C}(A,B)\colon\mathbf{V}(A_{-},B_{-})\to\mathbf{W}(A_{+},B_{+})$と$\mathcal{D}(X,Y)\colon\mathbf{W}(X_{-},Y_{-})\to\mathbf{X}(X_{+},Y_{+})$の合成により、$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$の合成となる豊穣圏$\mathbf{V}\to\mathbf{X}$が定義できる。
